2023届山东省临沂市高三学业水平等级考试模拟（一模）数学试题及答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）

数学

2023.2

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则下列集合为空集的是（    ）

A．    B．    C．     D．

2．在复平面内，复数对应的点分别是，则的虚部是（    ）

A．     B．    C．1    D．

3．某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是（    ）

A．8.5    B．9    C．9.5    D．10

4．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ）

A．     B．     C．    D．

5．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

6．古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，表示平面图形的面积，表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）．如图，直角梯形，已知，则其重心到的距离为（    ）

A．    B．    C．    D．1

7．已知，则（    ）

A．     B．     C．     D．

8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知为定义在上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ）

A．    B．     C．     D．

10．已知圆，点，点在圆上，为坐标原点，则（    ）

A．线段长的最大值为6                 B．当直线与圆相切时，

C．以线段为直径的圆不可能过原点    D．的最大值为20

11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（    ）

A．     B．延长交直线于点，则三点共线

C．    D．若平分，则

12．已知正方体的棱长为4，点分别是的中点，则（    ）

A．直线是异面直线         B．平面截正方体所得截面的面积为

C．三棱锥的体积为    D．三棱锥的外接球的表面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有_______．（若，）

14．的展开式中常数项为_______．

15．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则________．

16．已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在中，角所对的边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，求面积的取值范围．

18．（12分）

为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间，从中随机抽取1000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）若此次活动中获奖的学生占参赛总人数30%，试估计获奖分数线；

（2）采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，记成绩在的人数为，求的分布列和数学期望．

19．（12分）

已知数列为等比数列，是与的等差中项，为的前项和．

（1）求的通项公式及；

（2）集合为正整数集的某一子集，对于正整数，若存在正整数，使得，则，否则．记数列满足求的前20项和．

20．（12分）

如图，三棱锥，平面平面，点为的中点．

（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；

（2）若，求的长．

21．（12分）

已知动点与点的距离和它到直线的距离之比是，点的轨迹为曲线．

（1）求的方程；

（2）若点在上，且与交于点，点在椭圆上，证明：的面积为定值．

22．（12分）

已知函数．

（1）若恒成立，求实数的最小值；

（2）证明：有且只有两条直线与函数的图象都相切．

2023年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）

数学试题参考答案及评分标准

2023.2

说明：

一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分．

二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．B    2．D    3．C     4．C     5．A     6．C    7．B     8．D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．BD    10．ABD    11．AB     12．ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．1359    14．    15．    16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1）由正弦定理得：，            2分

所以，即，

所以，

所以．            4分

（2）由余弦定理得：，即，            6分

所以，即．                8分

又，

．                    10分

18．解：（1）根据直方图可知，成绩在的频率为，大于0.3，

成绩的频率为0.1，小于0.2，

因此获奖的分数线应该介于之间．            2分

设分数线为，使得成绩在的概率为0.3，

即，

可得，                4分

所以获奖分数线划定为82．                        5分

（2）应从和两组内分别抽取5人和2人，                6分

则的可能取值为0，1，2，                    7分

，

，

，                10分

的分布列为

∴数学期望．                    12分

19．解：（1）设的公比为是与的等差中项，

，

，                2分

，                4分

．            6分

（2）由题意知，，

又，

，即，                    8分

故．

又，

            10分

                11分

．                12分

20．解：取得中点，由于，因此，又∵平面平面平面．

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．                1分

，

则．                2分

（1）当时，，                    3分

取平面的一个法向量为，                    4分

，                    5分

设直线与平面所成的角为，

，

∴直线与平面所成角的正弦值为．                 6分

（2）由题意知．                7分

又，                8分

．                    9分

即，                10分

在中，，

．                    12分

21．解：（1）由题意知，                 2分

化简整理得曲线的轨迹方程为．                4分

（2）证明：设，

由题意知．

由，可知分别为的中点，

所以，．                 5分

由得，                6分

．

同理，

所以都在直线上．                7分

由得，                8分

又因为直线过坐标原点，

所以，            9分

又点到直线的距离，                10分

所以，．             11分

又，

故．

所以的面积为定值．                12分

22．（1）解：显然，

恒成立，

即恒成立．                1分

只要恒成立，

即恒成立，

即恒成立．                    2分

当时，上式显然成立，故上式恒成立，只需满足时恒成立即可．        3分

设，则上式化为

而，可得在单调递减，在单调递增．

因此（*）式恒成立，只需恒成立，                        4分

即对恒成立．

于是恒成立，

即．                    5分

设，则，

可得在单调递增，在单调递减，

则，于是，

∴实数的最小值为．                    6分

（2）证明：设直线分别切的图象于点，

由可得，得的方程为，

即．                    7分

由可得，

得的方程为，

即．                    8分

比较的方程，得

消去，得．                    9分

令，

则．                 10分

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

．

，

在上有一个零点．                11分

由，得，

在上有一个零点，

在上有且只有两个零点，

故有且只有两条直线与函数的图象都相切．                    12分