2023届高考数学二轮复习讲义——第二十五讲直线方程及圆的方程

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直线的方程
倾斜角、斜率，五种直线方程（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）
两直线关系
平行、垂直
圆的方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
直线与圆的位置关系
几何法、代数法（相离、相切、相交）
两圆的位置关系
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
【典型题型讲解】
考点一：直线的方程
【典例例题】
例1.若一次函数所表示直线的倾斜角为，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的斜率为即
故选：D．
例2.下列四个命题中真命题有_________个．
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两点的直线都可以用方程表示；
③不经过原点的直线都可以用方程表示；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
【答案】1
【解析】①由于直线过定点，当直线斜率存在时，可用方程表示，
当直线斜率不存在时，方程是，①不正确；
②当时，经过任意两个不同的点的直线方程是，满足方程，
当时，经过任意两个不同的点的直线的斜率是，
则直线方程是，整理得，②正确；
③当直线斜率不存在时，不经过原点的直线方程是，不可以用方程表示，
当直线的斜率存在时，不经过原点的直线可以用方程表示，③不正确；
④当直线斜率不存在时，经过点的直线方程是，不可以用方程表示，
当直线的斜率存在时，经过点的直线可以用方程表示，④不正确，
所以给定的4个命题中，真命题只有1个.
故答案为：1
例3.已知，，则满足的的值是（ ）
A．B．0C．或0D．或0
【答案】C
【解析】由可得，得或，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
故满足的的值为0或．
故选：C．
例4.直线和直线垂直，则实数__________．
【答案】0或1【解析】因直线和直线垂直，
则有，即，解得或，
所以或．
故答案为：0或1
【方法技巧与总结】
熟记直线方程的公式
【变式训练】
1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2
【答案】D
【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.
直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，
因此k1＜k3＜k2.
故选:D.
2.已知集合，集合，，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．且D．且且
【答案】C
【解析】集合表示直线上去掉点所构成的两条射线，
在方程中，令可得，
集合表示过定点且斜率存在的直线，
由得两直线斜率不同，则，解得．
故选：C.
3.已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】C
【解析】由，得．
∴直线恒过定点，即，
∵点A在直线上，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号．∴的最小值为：8．
故选:C．
4.“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】直线与直线垂直，
则，解得：或，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件．
故选：B．
5.已知直线：．
（1）求经过的定点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②当取最小值时，求直线的方程．
【解析】（1）由可得：，
由可得，所以经过的定点坐标；
（2）直线：，
令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面积
，
当且仅当即时等号成立，的最小值为，
此时直线的方程为：即；
②设直线的倾斜角为，则，可得，，
所以，
令，
因为，可得，，
，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以
，所以，此时，
可得，所以，
所以直线的方程为.
考点二：圆的方程
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）“”是“点在圆外”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】将化为标准方程，得
当点在圆外时，有，解得
∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.
故选：B.
例2．（2022·广东清远·高三期末）直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】将圆化为一般方程为，因此可知圆C的圆心为，半径为4，
因为直线l过定点，所以当圆心到直线l的距离为时，
直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为．
故选：D
例3．（2022·广东·金山中学高三期末）（多选）已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为B．到的距离的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】ABD
【详解】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；
设，则，
所以，所以的最小值为，所以C错误；
当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D正确；
当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.
故选：ABD
【方法技巧与总结】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
【变式训练】
1．（2022·广东广州·二模）已知抛物线，圆，直线与交于A、B两点，与交于M、N两点，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由得，，
设，，∵，∴，
∵过抛物线的焦点(1，0)，故AB为焦点弦，
∴，∴，∴，解得，
由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时相同，
故不妨取k＝1，l为y＝x－1，即x－y－1＝0，
圆心(2，1)到l的距离，∴﹒
故选：B．
2．（2022·广东湛江·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交于、两点，且，
所以圆心到直线的距离，即，解得（舍去）或；
故选：B
3．（2022·广东梅州·二模）已知直线与圆交于、两点，若为等边三角形，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题意可知，圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得.
故选：D.
4．（2022·广东肇庆·二模）在中，，，，点D是线段AB上的动点﹐以D为圆心、AD长为半径的圆与线段BC有公共点，则半径AD的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【详解】如图，当圆与BC相切时，半径AD最小，设此时半径，所以，
解得，
故选:A．
5．（2022·广东·珠海市第三中学二模）已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可知，圆是圆心为原点，半径为的圆，抛物线的准线方程为，
由于抛物线的准线方程与圆相切，则，解得.
故选：B.
6．（2022·广东韶关·二模）已知直线 与圆 交于A、B两点，若 则a=（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【详解】由题知是等腰直角三角形，由及勾股定理得点O到直线的距离是，故，解得．
故选：B．
7．（2022·广东茂名·二模）（多选）已知a>0，圆C：，则（ ）
A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等
C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点
D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分
【答案】ACD
【详解】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝ln x上运动．
对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当，即a＝e或时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a有3个，A正确；
对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在上，又圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝-x有一个交点，所以满足要求的a仅有一个，B错误；
对于C，若圆C过坐标原点，则，如下图可知，曲线y＝lnx与有两个交点，所以满足要求的a有2个，C正确；
对于D，若圆C的面积被直线平分，则直线经过圆心（a，ln a），计算可知曲线y＝lnx在x＝e处的切线恰好为，即满足要求的a仅有一个，故D正确．
故选：ACD.
8．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充分必要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若圆与圆有且只有一个公共点，则
D．若直线与曲线有公共点，则实数b的取值范围是
【答案】AC
【详解】对于A,当时，与直线互相平行，即“”不是“直线与直线互相垂直”的充分条件，故A错误；
对于B, 直线的倾斜角满足 ，
故 ，故B正确；
对于C，圆的圆心为，半径，
圆的圆心为 ，半径，
两圆有且只有一个公共点， 则两圆外切或内切，
则 或，
解得 或 ，故C错误；
对于D, 曲线可化为 ，表示以 为圆心，半径为 的半圆，如图示：
直线与曲线有公共点，则直线与圆相切或过点(0,3),
当直线和圆相切时， ，解得 ，
当直线过点(0,3)时， ，则数b的取值范围是，故D正确，
故选：AC
9．（2022·广东深圳·二模）（多选）P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（ ）
A．弦长的最小值为B．存在点P，使得
C．直线经过一个定点D．线段的中点在一个定圆上
【答案】ACD
【详解】解：依题意，即，设，则为的中点，且，
所以，所以，，又，
所以，，所以，，故A正确，B不正确；
设，则，所以以为直径的圆的方程为，
则，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，故C正确；
又，，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确；
故选：ACD
10.（2022·广东·二模）若直线和直线将圆的周长四等分，则__________．
【答案】2
【详解】设直线和圆相交与点，直线与圆相交于点，圆心为，
因为直线和直线将圆的周长四等分，
所以圆心位于两直线之间，且,
所以为等腰直角三角形，所以圆心为到直线的距离为，
同理可得圆心为到直线的距离为，
故直线和直线间的距离为，
所以，所以，
故答案为：2.
【巩固练习】
一、单选题
1．已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，如图所示，
显然当P运动到坐标原点时，有最小值，
最小值为原点到直线的距离，
即，
故选：D
2．已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线l：，即，所以直线过定点，，圆半径，
点在圆内，所以当直线与垂直的时候，最短，
此时．
故选：C．
3．已知圆截直线所得的弦长为，则圆C与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
【答案】C
【解析】圆C的圆心为，半径为a，其圆心到直线的距离为，
所截得的弦长为，解得．
所以，C的圆心为，半径为2；
又的圆心为，半径为1，
，
故可得，则两圆的位置关系是相交．
故选：．
4．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，
，
，即．
点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线上存在点Q使得，
则PQ为圆的切线时最大，如图，
，即．
圆心到直线的距离，
或．
故选：B．
5．点M为直线上一点，过点M作圆O：的切线MP，MQ，切点分别为P，Q，当四边形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为（ ）
A．x＋y－2＝0B．
C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0
【答案】A
【解析】因为直线MP，MQ与圆O：相切，切点为，
所以，，
所以四边形MPOQ的面积，
又，
所以，所以当取最小值时，四边形MPOQ的面积最小，
又当且仅当与直线垂直时，取最小值，
所以当与直线垂直时，四边形MPOQ的面积最小，
此时直线的方程为，联立可得，
所以点的坐标为，
因为，所以四点共圆，圆的直径为,
该圆的圆心为，半径为，
所以该圆的方程为：，
又在圆上，所以为两圆的公共弦，
所以的方程为：
故选：A.
二、多选题
6．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为B．圆的半径为5
C．圆被轴截得的弦长为6D．圆被轴截得的弦长为6
【答案】BD
【解析】因为，
所以圆的圆心为，半径为，故A错误，B正确．
对选项C，圆心到轴的距离为，
所以圆被轴截得的弦长为，故C错误；
对选项D，圆心到轴的距离为，
所以圆被轴截得的弦长为，故D正确．
故选：BD
7.已知圆被轴分成两部分的弧长之比为，且被轴截得的弦长为4，当圆心到直线的距离最小时，圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】设圆心为，半径为，
圆被轴分成两部分的弧长之比为，则其中劣弧所对圆心角为，由圆的性质可得，
又圆被轴截得的弦长为4，∴，
∴，变形为，即在双曲线上，
易知双曲线上与直线平行的切线的切点为，此点到直线有距离最小．
设切线方程为，
由，消法得，
∴，解得，
时，，时，，
即切点为或，半径为，
∴圆的方程为或．
故选：AB
8．已知点是圆上的任意一点，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与圆的位置关系只有相交和相切两种
B．圆的圆心到直线距离的最大值为
C．点到直线距离的最小值为
D．点可能在圆上
【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为直线的方程可化为．
令解得，所以直线过定点，
直线是过点的所有直线中除去直线外的所有直线，
圆心到直线的距离为，即直线与圆相交，
又点在圆上，所以直线与至少有一个公共点，
所以直线与圆的位置关系只有相交和相切两种，A正确；
对于B选项，当直线为圆的切线时，点到直线的距离最大，且最大值为，B错误；
对于C选项，因为圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最小值为，C正确；
对于D选项，圆的圆心为原点，半径为，
因为，所以，圆与圆内切，故点可能在圆上，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．已知直线与圆O：相交于A，B两点（O为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数a的值为___________.
【答案】
【解析】如图：
因为 是等于直角三角形，所以圆心（0,0）到直线的距离为 ，
应用点到直线的距离公式得： ；
故答案为： .
10．设与相交于两点，则________．
【答案】
【解析】将和两式相减：
得过两点的直线方程： ，
则圆心到的距离为，
所以 ，
故答案为：
15．已知点，，动点满足，则点M到直线的距离可以是___________.（写出一个符合题意的整数值）
【答案】1(答案不唯一)
【解析】由题设知，即在以为直径的圆上，且圆心为，半径为2，
所以的轨迹为，
而到的距离为，即直线与圆相离，
所以M到直线的距离范围，
由，故1满足.
故答案为：1(答案不唯一)
11．已知点为圆与圆公共点，圆+1，圆+1 ，若，则点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为_________．
【答案】2．
【解析】设，则，令，则，同理可得，因此为方程
两根，由韦达定理得，从而点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0