高中数学高考70第十二章 系列4选讲 12 2 第2课时 不等式的证明

第2课时　不等式的证明

1.比较法

(1)作差比较法

知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明         即可，这种方法称为作差比较法.

(2)作商比较法

由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法.

2.综合法

从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法.

3.分析法

从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法.

4.反证法

先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立.

5.放缩法

证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的.

概念方法微思考

1.综合法与分析法有何内在联系？

2.分析法的过程中为什么要使用“要证”，“只需证”这样的连接“关键词”？

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　 　)

(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”.(　 　)

(3)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　 　)

(4)若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.(　 　)

题组二　教材改编

2.已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)

A.1   B.2

C.4   D.8

3.若a，b，m∈R＋，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A.≥   B.>

C.≤   D.<

题组三　易错自纠

4.已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的反设为(　　)

A.a<0，b<0，c<0   B.a≤0，b>0，c>0

C.a，b，c不全是正数   D.abc<0

5.若a>b>1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)

A.x>y  B.x<y  C.x≥y  D.x≤y

6.若a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.a>b>c  B.a>c>b  C.b>c>a  D.c>a>b

题型一　用综合法与分析法证明不等式

例1 (1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；

(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.

跟踪训练1 (2017·全国Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；

(2)a＋b≤2.

题型二　放缩法证明不等式

例2 (1)设a>0，<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a.

跟踪训练2 设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).

1.已知函数f(x)＝|x－a|.

(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；

(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋4n≥2＋3.

2.已知函数f(x)＝|x－3|.

(1)求不等式f(x)<x＋1的解集M；

(2)设a，b∈M，证明：(a2＋1)(b2＋1)>2a2＋2b2.

3.已知函数f(x)＝|x－5|，g(x)＝5－|2x－3|.

(1)解不等式f(x)<g(x)；

(2)设F＝f(x2＋y2)－g(3y＋12)，求证：F≥2.

4.已知a>0，b>0，且a2＋b2＝2.

(1)若＋≥|2x－1|－|x－1|恒成立，求x的取值范围；

(2)证明：(a5＋b5)≥4.

5.(1)如果关于x的不等式|x＋3|＋|x－2|<m的解集不是空集，求参数m的取值范围；

(2)已知正实数a，b，且h＝min，求证：h≤.

6.已知函数f(x)＝|x－3|.

(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥5；

(2)若|a|>1，且f(ab)>|a|·f，证明：|b|>3.