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高中数学高考43第七章 不等式、推理与证明 7 5 合情推理与演绎推理课件PPT
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这是一份高中数学高考43第七章 不等式、推理与证明 7 5 合情推理与演绎推理课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，基础知识自主学习，题型分类深度剖析，题型一归纳推理，题型二类比推理，题型三演绎推理等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
ZHISHISHULI
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到 的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
1.合情推理所得结论一定是正确的吗？
提示 合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确.
2.合情推理对我们学习数学有什么帮助？
提示 合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.
3.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？
提示 大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( )(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( )
(5)一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*).( )(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( )
2.[P71例1]已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是A.an＝3n－1 B.an＝4n－3C.an＝n2 D.an＝3n－1
解析 a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想an＝n2.
3.[P84A组T5]在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为_________________________________.
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)
解析 利用类比推理，借助等比数列的性质，
可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*).
4.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理A.结论正确 B.大前提不正确C.小前提不正确 D.全不正确
解析 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误.
解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交.
5.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.则正确的结论是_____.(填序号)
解析 左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n个关系式为(1＋x)n≥1＋nx(n∈N*).
(1＋x)n≥1＋nx
命题点1 与数式有关的的推理
例1 (1)(2018·成都模拟)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当做数字“1”，把阴爻
“ ”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如右上：
以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是
A.18 B.17 C.16 D.15
解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号 “ ”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.
解析 由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2 018，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a2 017＝3＋(2 017－1)×2＝4 035.
命题点2 与图形变化有关的推理
例2 (2019·哈师大附中模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构.也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为
A.81 B.121C.364 D.1 093
解析 由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝3＋1＝4；n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；n＝6时，a6＝3×121＋1＝364，故选C.
归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.
跟踪训练1 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2 ， 3 ， 5，则预计第10年树的分枝数为
解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.
A.21 B.34 C.52 D.55
例3 (1)已知{an}为等差数列，a1 010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝5×2 019.若{bn}为等比数列，b1 010＝5，则{bn}类似的结论是A.b1＋b2＋b3＋…＋b2 019＝5×2 019B.b1b2b3…b2 019＝5×2 019C.b1＋b2＋b3＋…＋b2 019＝52 019D.b1b2b3…b2 019＝52 019
解析 在等差数列{an}中，令S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019，则S＝a2 019＋a2 018＋a2 017＋…＋a1，∴2S＝(a1＋a2 019)＋(a2＋a2 018)＋(a3＋a2 017)＋…＋(a2 019＋a1)＝2 019(a1＋a2 019)＝2 019×2a1 010＝10×2 019，∴S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝5×2 019.在等比数列{bn}中，令T＝b1b2b3…b2 019，则T＝b2 019b2 018b2 017…b1，
∴T＝b1b2b3…b2 019＝(b1 010)2 019＝52 019.
(2)(2019·甘肃省银川二中模拟)祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体.(圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)
利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在xOy坐标系中，设抛物线C的方程为y＝1－x2(－1≤x≤1)，将曲线C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为
解析 构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直边长为2，1，
下面说明截面面积相等，设截面距底面为t，矩形截面长为a，圆形截面半径为r，
由右图得到，t＝1－r2(坐标系中易得)，∴r2＝1－t，∴截面面积为(1－t)π，∴二者截面面积相等，∴体积相等.
类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等.
解析 设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(2)Sn＋1＝4an.
＝4an(n≥2)， (小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an. (结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略.
跟踪训练3 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行.某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是A.今天是周六 B.今天是周四C.A车周三限行 D.C车周五限行
解析 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四.故选B.
1.(2018·豫南九校联考)“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝lg2|x|是对数函数，因此 f(x)＝lg2|x|是非奇非偶函数”，以上推理A.结论正确 B.大前提错误C.小前提错误 D.推理形式错误
解析 本命题的小前提是f(x)＝lg2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝lg2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝lgax(a>0且a≠1)的才是对数函数.故选C.
2.(2018·四川冲刺演练)中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为 .
1～9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则 的运算结果可用算筹表示为
解析 根据题意， ＝36＝729，用算筹记数表示为 ，故选D.
3.(2018·西北师大附中冲刺诊断)下列推理是归纳推理的是A.M，N为定点，动点P满足||PM|－|PN||＝2a<|MN|(a>0)，则动点P的轨迹是以 M，N为焦点的双曲线B.由a1＝2，an＝3n－1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
解析 A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求.B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求.D选项用的是演绎推理，不符合要求.故选B.
4.观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102.根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63等于A.192 B.202 C.212 D.222
解析 因为13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，等式的右端依次为(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选C.
5.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为A.丙酉年 B.戊申年 C.己申年 D.己酉年
解析 天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80÷10＝8，则2029的天干为己，80÷12＝6余8，则2029的地支为酉，故选D.
6.甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级.老师说：“你们四人中有2人A等，1人B等，1人C等，我现在给甲看乙、丙的成绩等级，给乙看丙的成绩等级，给丙看丁的成绩等级”.看后甲对大家说：“我知道我的成绩等级了”.根据以上信息，则A.甲、乙的成绩等级相同B.丁可以知道四人的成绩等级C.乙、丙的成绩等级相同D.乙可以知道四人的成绩等级
解析 由题意，四个人所知的只有自己看到的，以及甲最后所说的话，甲知道自己的等级，则甲已经知道四个人等级，其甲、乙的成绩等级不一定是相同的，所以A是不对的，乙、丙的成绩等级不一定是相同的，所以C是不正确的，丁没有看任何人的成绩等级，所以丁不可能知道四人的成绩等级，所以B是不对的，只有乙可能知道四人的成绩等级，所以D是正确的.
解析 二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；观察发现S′＝l，三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，∴四维空间中“特级球”的三维测度V＝12πr3，猜想其四维测度W，则W′＝V＝12πr3，∴W＝3πr4.
10.如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面的结论有______________.
解析 三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，
11.(2019·吉林调研)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 018这2 017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为_____.
解析 因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项an＝6n＋1，设6n＋1≤2 018，所以6n≤2 017，所以n≤336 .所以此数列的项数为336.
13.一质点从坐标原点出发，按如图的运动轨迹运动，每步运动一个单位，例如第3步结束时该质点所在位置的坐标为(0，1)，第4步结束时质点所在位置的坐标为(－1，1)，那么第2 018步结束时该质点所在位置的坐标为___________.
解析 当运动：1＋1＋2＋2步时，坐标为(－1，－1)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步时，坐标为(－2，－2)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步时，坐标为(－3，－3)；……当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n＋n(n为偶数)步时，而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n＋n≤2 018，即n(n＋1)≤2 018(n∈N*)，解得n≤44.当n＝44时，该点的坐标为(－22，－22)，共走了1 980步，此时还需向右走38步，故最终坐标为(16，－22).
14.(2019·贵州适应性考试)为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设原信息为a1a2a3，传输信息为h1a1a2a3h2，其中h1＝a1a2，h2＝h1a3， 运算规则为：00＝0，01＝1，10＝1，11＝0.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是A.01100 B.11010 C.10110 D.11000
解析 A选项原信息为110，则h1＝a1a2＝11＝0，h2＝h1a3＝00＝0，所以传输信息为01100，A选项正确；B选项原信息为101，则h1＝a1a2＝10＝1，h2＝h1a3＝11＝0，所以传输信息为11010，B选项正确；C选项原信息为011，则h1＝a1a2＝01＝1，h2＝h1a3＝11＝0，所以传输信息为10110，C选项正确；D选项原信息为100，则h1＝a1a2＝10＝1，h2＝h1a3＝10＝1，所以传输信息为11001，D选项错误；故选D.
A.6 B.7 C.8 D.9
15.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为
解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1).设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，由题意，得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层.
记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题：①数列{Sn}不是等比数列；②数列{Sn}是递增数列；③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn>2 019；④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn<2 019.其中真命题的序号是________.(请写出所有真命题的序号)
解析 由题意，得图1中的线段为a，S1＝a，
即{Sn}为递增数列，且不是等比数列，即①，②正确；因为Sn＝S1＋(S2－S1)＋(S3－S2)＋…＋(Sn－Sn－1)
使得对任意的正整数n，都有Sn<2 019，即④正确，③错误.
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
ZHISHISHULI
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到 的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
1.合情推理所得结论一定是正确的吗？
提示 合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确.
2.合情推理对我们学习数学有什么帮助？
提示 合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.
3.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？
提示 大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( )(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( )
(5)一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*).( )(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( )
2.[P71例1]已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是A.an＝3n－1 B.an＝4n－3C.an＝n2 D.an＝3n－1
解析 a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想an＝n2.
3.[P84A组T5]在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为_________________________________.
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)
解析 利用类比推理，借助等比数列的性质，
可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*).
4.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理A.结论正确 B.大前提不正确C.小前提不正确 D.全不正确
解析 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误.
解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交.
5.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.则正确的结论是_____.(填序号)
解析 左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n个关系式为(1＋x)n≥1＋nx(n∈N*).
(1＋x)n≥1＋nx
命题点1 与数式有关的的推理
例1 (1)(2018·成都模拟)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当做数字“1”，把阴爻
“ ”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如右上：
以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是
A.18 B.17 C.16 D.15
解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号 “ ”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.
解析 由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2 018，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a2 017＝3＋(2 017－1)×2＝4 035.
命题点2 与图形变化有关的推理
例2 (2019·哈师大附中模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构.也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为
A.81 B.121C.364 D.1 093
解析 由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝3＋1＝4；n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；n＝6时，a6＝3×121＋1＝364，故选C.
归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.
跟踪训练1 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2 ， 3 ， 5，则预计第10年树的分枝数为
解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.
A.21 B.34 C.52 D.55
例3 (1)已知{an}为等差数列，a1 010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝5×2 019.若{bn}为等比数列，b1 010＝5，则{bn}类似的结论是A.b1＋b2＋b3＋…＋b2 019＝5×2 019B.b1b2b3…b2 019＝5×2 019C.b1＋b2＋b3＋…＋b2 019＝52 019D.b1b2b3…b2 019＝52 019
解析 在等差数列{an}中，令S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019，则S＝a2 019＋a2 018＋a2 017＋…＋a1，∴2S＝(a1＋a2 019)＋(a2＋a2 018)＋(a3＋a2 017)＋…＋(a2 019＋a1)＝2 019(a1＋a2 019)＝2 019×2a1 010＝10×2 019，∴S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝5×2 019.在等比数列{bn}中，令T＝b1b2b3…b2 019，则T＝b2 019b2 018b2 017…b1，
∴T＝b1b2b3…b2 019＝(b1 010)2 019＝52 019.
(2)(2019·甘肃省银川二中模拟)祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体.(圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)
利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在xOy坐标系中，设抛物线C的方程为y＝1－x2(－1≤x≤1)，将曲线C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为
解析 构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直边长为2，1，
下面说明截面面积相等，设截面距底面为t，矩形截面长为a，圆形截面半径为r，
由右图得到，t＝1－r2(坐标系中易得)，∴r2＝1－t，∴截面面积为(1－t)π，∴二者截面面积相等，∴体积相等.
类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等.
解析 设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(2)Sn＋1＝4an.
＝4an(n≥2)， (小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an. (结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略.
跟踪训练3 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行.某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是A.今天是周六 B.今天是周四C.A车周三限行 D.C车周五限行
解析 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四.故选B.
1.(2018·豫南九校联考)“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝lg2|x|是对数函数，因此 f(x)＝lg2|x|是非奇非偶函数”，以上推理A.结论正确 B.大前提错误C.小前提错误 D.推理形式错误
解析 本命题的小前提是f(x)＝lg2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝lg2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝lgax(a>0且a≠1)的才是对数函数.故选C.
2.(2018·四川冲刺演练)中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为 .
1～9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则 的运算结果可用算筹表示为
解析 根据题意， ＝36＝729，用算筹记数表示为 ，故选D.
3.(2018·西北师大附中冲刺诊断)下列推理是归纳推理的是A.M，N为定点，动点P满足||PM|－|PN||＝2a<|MN|(a>0)，则动点P的轨迹是以 M，N为焦点的双曲线B.由a1＝2，an＝3n－1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
解析 A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求.B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求.D选项用的是演绎推理，不符合要求.故选B.
4.观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102.根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63等于A.192 B.202 C.212 D.222
解析 因为13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，等式的右端依次为(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选C.
5.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为A.丙酉年 B.戊申年 C.己申年 D.己酉年
解析 天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80÷10＝8，则2029的天干为己，80÷12＝6余8，则2029的地支为酉，故选D.
6.甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级.老师说：“你们四人中有2人A等，1人B等，1人C等，我现在给甲看乙、丙的成绩等级，给乙看丙的成绩等级，给丙看丁的成绩等级”.看后甲对大家说：“我知道我的成绩等级了”.根据以上信息，则A.甲、乙的成绩等级相同B.丁可以知道四人的成绩等级C.乙、丙的成绩等级相同D.乙可以知道四人的成绩等级
解析 由题意，四个人所知的只有自己看到的，以及甲最后所说的话，甲知道自己的等级，则甲已经知道四个人等级，其甲、乙的成绩等级不一定是相同的，所以A是不对的，乙、丙的成绩等级不一定是相同的，所以C是不正确的，丁没有看任何人的成绩等级，所以丁不可能知道四人的成绩等级，所以B是不对的，只有乙可能知道四人的成绩等级，所以D是正确的.
解析 二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；观察发现S′＝l，三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，∴四维空间中“特级球”的三维测度V＝12πr3，猜想其四维测度W，则W′＝V＝12πr3，∴W＝3πr4.
10.如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面的结论有______________.
解析 三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，
11.(2019·吉林调研)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 018这2 017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为_____.
解析 因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项an＝6n＋1，设6n＋1≤2 018，所以6n≤2 017，所以n≤336 .所以此数列的项数为336.
13.一质点从坐标原点出发，按如图的运动轨迹运动，每步运动一个单位，例如第3步结束时该质点所在位置的坐标为(0，1)，第4步结束时质点所在位置的坐标为(－1，1)，那么第2 018步结束时该质点所在位置的坐标为___________.
解析 当运动：1＋1＋2＋2步时，坐标为(－1，－1)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步时，坐标为(－2，－2)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步时，坐标为(－3，－3)；……当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n＋n(n为偶数)步时，而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n＋n≤2 018，即n(n＋1)≤2 018(n∈N*)，解得n≤44.当n＝44时，该点的坐标为(－22，－22)，共走了1 980步，此时还需向右走38步，故最终坐标为(16，－22).
14.(2019·贵州适应性考试)为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设原信息为a1a2a3，传输信息为h1a1a2a3h2，其中h1＝a1a2，h2＝h1a3， 运算规则为：00＝0，01＝1，10＝1，11＝0.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是A.01100 B.11010 C.10110 D.11000
解析 A选项原信息为110，则h1＝a1a2＝11＝0，h2＝h1a3＝00＝0，所以传输信息为01100，A选项正确；B选项原信息为101，则h1＝a1a2＝10＝1，h2＝h1a3＝11＝0，所以传输信息为11010，B选项正确；C选项原信息为011，则h1＝a1a2＝01＝1，h2＝h1a3＝11＝0，所以传输信息为10110，C选项正确；D选项原信息为100，则h1＝a1a2＝10＝1，h2＝h1a3＝10＝1，所以传输信息为11001，D选项错误；故选D.
A.6 B.7 C.8 D.9
15.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为
解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1).设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，由题意，得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层.
记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题：①数列{Sn}不是等比数列；②数列{Sn}是递增数列；③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn>2 019；④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn<2 019.其中真命题的序号是________.(请写出所有真命题的序号)
解析 由题意，得图1中的线段为a，S1＝a，
即{Sn}为递增数列，且不是等比数列，即①，②正确；因为Sn＝S1＋(S2－S1)＋(S3－S2)＋…＋(Sn－Sn－1)
使得对任意的正整数n，都有Sn<2 019，即④正确，③错误.
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