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2022-2023学年广东省惠州市惠城区河南岸中学九年级（下）开学数学试卷(解析版)
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这是一份2022-2023学年广东省惠州市惠城区河南岸中学九年级（下）开学数学试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了单选题，四象限，那么k的取值范围是，解答题(每题8分，共3题），解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省惠州市惠城区河南岸中学九年级（下）开学数学试卷
一、单选题（每小题3分，共10题）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．“小明经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
3．抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
5．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（ ）
A．60° B．50° C．100° D．80°
7．如图，△ABC中，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°，得到△AB′C′，则∠BAC′的度数为（ ）
A．34° B．36° C．44° D．70°
8．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm
9．已知k1＜0＜k2，则是函数y＝和y＝k2x﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，则下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③4ac＞b2④a﹣b+c＞2．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共5题）
11．已知x1＝1是关于x的一元二次方程x2﹣a＝0的一个根，则常数a的值是 ．
12．一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的4个白球和2个红球，从袋子中任意摸出一个球是白球的概率是 ．
13．已知关于x的方程x2+2x﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是 ．
14．如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是 ．
15．如图，从一块边长为12的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
三、解答题(每题8分，共3题）
16．解方程：x2+4x+3＝0．
17．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，5，5，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是6的概率为 ；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，求点A到A2所经过的路径长．
四、解答题（每小题9分，共3题）
19．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
20．已知：如图，两点A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△AOB的面积．
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b≥的解集．
21．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
五、解答题（每小题12分，共2题）
22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于？
（3）探究经过多少秒后，以点B，P，Q为顶点的三角形与△CBA相似？
23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB﹣PC|最大，求点P的坐标；
（3）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点M运动到何处时，四边形ACMB的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形ACMB面积的最大值．
参考答案
一、单选题（每小题3分，共10题）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项A、C、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．“小明经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是随机事件．
故选：A．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是关键．
3．抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2是顶点式，
∴顶点坐标是（1，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
解：x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
5．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2
【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出k﹣2＜0，即可得出结果．
解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（ ）
A．60° B．50° C．100° D．80°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．如图，△ABC中，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°，得到△AB′C′，则∠BAC′的度数为（ ）
A．34° B．36° C．44° D．70°
【分析】根据∠BAC′＝∠CAC′﹣∠CAB计算即可解决问题．
解：∵∠CAC′＝70°，∠CAB＝36°，
∴∠BAC′＝∠CAC′﹣∠CAB＝70°﹣36°＝34°，
故选：A．
【点评】本题考查旋转变换，角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm
【分析】利用相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比得到两三角形的周长的比为5：3，于是可设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，所以5x﹣3x＝12，然后解方程求出x后就是3x即可．
解：根据题意得两三角形的周长的比为5：3，
设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，
则5x﹣3x＝12，解得x＝6，
所以3x＝18，
即小三角形的周长为18cm．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
9．已知k1＜0＜k2，则是函数y＝和y＝k2x﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用反比例函数以及一次函数图象的性质分别分析得出答案．
解：∵k1＜0＜k2，函数y＝和y＝k2x﹣1在同一坐标系中，
∴反比例函数的图象分布在二四象限，一次函数图象经过一三象限，且过（0，﹣1）点，
∴只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象以及一次函数图象，正确掌握各函数图象分布规律是解题关键．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，则下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③4ac＞b2④a﹣b+c＞2．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴方程得到为b＝2a＜0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数得到Δ＝b2﹣4ac＞0，则可对②进行判断；利用b＝2a可对③进行判断；利用x＝﹣1时函数值为正数可对④进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，
所以②错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以③错误；
∵抛物线开口向下，x＝﹣1是对称轴，所以x＝﹣1对应的y值是最大值，
∴a﹣b+c＞2，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每小题3分，共5题）
11．已知x1＝1是关于x的一元二次方程x2﹣a＝0的一个根，则常数a的值是 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程x2﹣a＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．
解：∵x1＝1是关于x的一元二次方程x2﹣a＝0的一个根，
∴12﹣a＝0，
解得，a＝1；
故答案是：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解均满足该方程的解析式．
12．一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的4个白球和2个红球，从袋子中任意摸出一个球是白球的概率是 ．
【分析】根据题目中总的球的个数和白球个数，可以计算出从袋中任意摸出一个球是白球的概率．
解：由题意可得，
从袋中任意摸出一个球是白球的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13．已知关于x的方程x2+2x﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是 m＜﹣1 ．
【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．
解：∵关于x的方程x2+2x﹣m＝0没有实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＜0，
解得：m＜﹣1．
故答案为：m＜﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根．”是解题的关键．
14．如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是 1＜x＜3 ．
【分析】根据图象，找出一次函数位于二次函数上方时x的范围即可．
解：直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），
由图象得：不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
【点评】此题考查了二次函数与不等式（组），利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
15．如图，从一块边长为12的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
【分析】连接AD，根据等边三角形的性质可求AD，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式即可求解．
解：连接AD，
∵△ABC是边长为12的等边三角形，
∴AD＝12×＝6，
∴扇形的弧长为＝2π，
∴圆锥的底面圆的半径是2π÷π÷2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
三、解答题(每题8分，共3题）
16．解方程：x2+4x+3＝0．
【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
解：x2+4x+3＝0，
分解因式得：（x+1）（x+3）＝0，
可得x+1＝0或x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
17．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，5，5，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是6的概率为 ；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是6的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，
则抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，求点A到A2所经过的路径长．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．再利用弧长公式求解即可．
解：（1）如图所示△A1B1C1即为所求
（2）如图所示△A2B2C2即为所求．
点A到A2经过的路径长．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
四、解答题（每小题9分，共3题）
19．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意，得3（1+x）2＝3.63，解一元二次方程即可；
（2）假设保持相同的月平均增长率，求出2022年的销量，然后比较即可．
解：（1）设月平均增长率为x，
根据题意，得3（1+x）2＝3.63，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
（2）假设保持相同的月平均增长率，
那么2022年2月“冰墩墩”的销量为：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（万件），
∵3.993＜4，
∴2022年2月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键．
20．已知：如图，两点A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△AOB的面积．
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b≥的解集．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m＝﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n＝2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y＝﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．
解：（1）∵A（﹣4，2）在上，
∴m＝﹣4×2＝﹣8．
∴反比例函数的解析式为．
∵B（n，﹣4）在上，
∴n＝2，
∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴，
解之得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝﹣2．
∴点C（﹣2，0）．
∴OC＝2．
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝＝6；
（3）由图可得，不等式kx+b≥的解集为x≤﹣4或0＜x≤2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
21．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF＝CF＝3，
∴OF＝＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE＝OF＝4．
【点评】本题考查切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．
五、解答题（每小题12分，共2题）
22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于？
（3）探究经过多少秒后，以点B，P，Q为顶点的三角形与△CBA相似？
【分析】（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；
（2）根据题意表示出QP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；
（3）分两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比相等列出方程求解即可．
解：根据题意知QB＝2t（cm），BP＝（12﹣t）（cm）．
（1）根据三角形的面积公式，得BQ•PB＝35，
∴×2t•（12﹣t）＝35，
∴t2﹣12t+35＝0，
解得t1＝5，t2＝7．
故当t为5或7时，△PBQ的面积等于35cm2．
（2）设t秒后，PQ的长度等于，根据勾股定理，得，
PQ2＝BP2+BQ2＝（12﹣t）2+（2t）2＝128，
∴5t2﹣24t+16＝0，
解得，t2＝4．
故当t为或4时，PQ的长度等于．
（3）设经过x秒后，两三角形相似
①当时，△BPQ∽△BAC，
即，
∴，
②当时，△BQP∽△BAC，即，
∴，
∴经过秒或4秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△CBA相似．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、相似三角形的判定、三角形的面积；熟练掌握一元二次方程的应用和相似三角形的判定，进行分类讨论是解决问题（3）的关键．
23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB﹣PC|最大，求点P的坐标；
（3）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点M运动到何处时，四边形ACMB的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形ACMB面积的最大值．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作C点关于对称轴的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点P，|PB﹣PC|＝|PB﹣PC'|≤BC'，此时|PB﹣PC|有最大值，直线BC'与对称轴的交点即为P点；
（3）过点M作MN∥y轴交BC于点N，设M（t，t2﹣t﹣2），则N（t，t﹣2），分别求出S△BCM＝﹣t2+2t，S△ABC＝3，可得S四边形ACMB＝﹣（t﹣1）2+4，当t＝1时，四边形ACMB的面积最大值为4，此时M（1，﹣2）．
解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
作C点关于对称轴的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点P，
∵CP＝C'P，
∴|PB﹣PC|＝|PB﹣PC'|≤BC'，此时|PB﹣PC|有最大值，
∵C（0，﹣2），
∴C'（1，﹣2），
设直线BC'的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝2x﹣4，
∴P（，﹣3）；
（3）过点M作MN∥y轴交BC于点N，
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
设M（t，t2﹣t﹣2），则N（t，t﹣2），
∴MN＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∴S△BCM＝×2×（﹣t2+2t）＝﹣t2+2t，
∵S△ABC＝×3×2＝3，
∴S四边形ACMB＝3﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+4，
当t＝1时，四边形ACMB的面积最大值为4，
此时M（1，﹣2）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最大距离的方法是解题的关键．
2022-2023学年广东省惠州市惠城区河南岸中学九年级（下）开学数学试卷
一、单选题（每小题3分，共10题）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．“小明经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
3．抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
5．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（ ）
A．60° B．50° C．100° D．80°
7．如图，△ABC中，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°，得到△AB′C′，则∠BAC′的度数为（ ）
A．34° B．36° C．44° D．70°
8．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm
9．已知k1＜0＜k2，则是函数y＝和y＝k2x﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，则下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③4ac＞b2④a﹣b+c＞2．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共5题）
11．已知x1＝1是关于x的一元二次方程x2﹣a＝0的一个根，则常数a的值是 ．
12．一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的4个白球和2个红球，从袋子中任意摸出一个球是白球的概率是 ．
13．已知关于x的方程x2+2x﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是 ．
14．如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是 ．
15．如图，从一块边长为12的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
三、解答题(每题8分，共3题）
16．解方程：x2+4x+3＝0．
17．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，5，5，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是6的概率为 ；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，求点A到A2所经过的路径长．
四、解答题（每小题9分，共3题）
19．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
20．已知：如图，两点A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△AOB的面积．
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b≥的解集．
21．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
五、解答题（每小题12分，共2题）
22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于？
（3）探究经过多少秒后，以点B，P，Q为顶点的三角形与△CBA相似？
23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB﹣PC|最大，求点P的坐标；
（3）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点M运动到何处时，四边形ACMB的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形ACMB面积的最大值．
参考答案
一、单选题（每小题3分，共10题）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项A、C、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．“小明经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是随机事件．
故选：A．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是关键．
3．抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2是顶点式，
∴顶点坐标是（1，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
解：x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
5．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2
【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出k﹣2＜0，即可得出结果．
解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（ ）
A．60° B．50° C．100° D．80°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．如图，△ABC中，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°，得到△AB′C′，则∠BAC′的度数为（ ）
A．34° B．36° C．44° D．70°
【分析】根据∠BAC′＝∠CAC′﹣∠CAB计算即可解决问题．
解：∵∠CAC′＝70°，∠CAB＝36°，
∴∠BAC′＝∠CAC′﹣∠CAB＝70°﹣36°＝34°，
故选：A．
【点评】本题考查旋转变换，角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm
【分析】利用相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比得到两三角形的周长的比为5：3，于是可设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，所以5x﹣3x＝12，然后解方程求出x后就是3x即可．
解：根据题意得两三角形的周长的比为5：3，
设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，
则5x﹣3x＝12，解得x＝6，
所以3x＝18，
即小三角形的周长为18cm．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
9．已知k1＜0＜k2，则是函数y＝和y＝k2x﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用反比例函数以及一次函数图象的性质分别分析得出答案．
解：∵k1＜0＜k2，函数y＝和y＝k2x﹣1在同一坐标系中，
∴反比例函数的图象分布在二四象限，一次函数图象经过一三象限，且过（0，﹣1）点，
∴只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象以及一次函数图象，正确掌握各函数图象分布规律是解题关键．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，则下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③4ac＞b2④a﹣b+c＞2．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴方程得到为b＝2a＜0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数得到Δ＝b2﹣4ac＞0，则可对②进行判断；利用b＝2a可对③进行判断；利用x＝﹣1时函数值为正数可对④进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，
所以②错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以③错误；
∵抛物线开口向下，x＝﹣1是对称轴，所以x＝﹣1对应的y值是最大值，
∴a﹣b+c＞2，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每小题3分，共5题）
11．已知x1＝1是关于x的一元二次方程x2﹣a＝0的一个根，则常数a的值是 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程x2﹣a＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．
解：∵x1＝1是关于x的一元二次方程x2﹣a＝0的一个根，
∴12﹣a＝0，
解得，a＝1；
故答案是：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解均满足该方程的解析式．
12．一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的4个白球和2个红球，从袋子中任意摸出一个球是白球的概率是 ．
【分析】根据题目中总的球的个数和白球个数，可以计算出从袋中任意摸出一个球是白球的概率．
解：由题意可得，
从袋中任意摸出一个球是白球的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13．已知关于x的方程x2+2x﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是 m＜﹣1 ．
【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．
解：∵关于x的方程x2+2x﹣m＝0没有实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＜0，
解得：m＜﹣1．
故答案为：m＜﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根．”是解题的关键．
14．如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是 1＜x＜3 ．
【分析】根据图象，找出一次函数位于二次函数上方时x的范围即可．
解：直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），
由图象得：不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
【点评】此题考查了二次函数与不等式（组），利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
15．如图，从一块边长为12的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
【分析】连接AD，根据等边三角形的性质可求AD，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式即可求解．
解：连接AD，
∵△ABC是边长为12的等边三角形，
∴AD＝12×＝6，
∴扇形的弧长为＝2π，
∴圆锥的底面圆的半径是2π÷π÷2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
三、解答题(每题8分，共3题）
16．解方程：x2+4x+3＝0．
【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
解：x2+4x+3＝0，
分解因式得：（x+1）（x+3）＝0，
可得x+1＝0或x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
17．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，5，5，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是6的概率为 ；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是6的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，
则抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，求点A到A2所经过的路径长．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．再利用弧长公式求解即可．
解：（1）如图所示△A1B1C1即为所求
（2）如图所示△A2B2C2即为所求．
点A到A2经过的路径长．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
四、解答题（每小题9分，共3题）
19．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意，得3（1+x）2＝3.63，解一元二次方程即可；
（2）假设保持相同的月平均增长率，求出2022年的销量，然后比较即可．
解：（1）设月平均增长率为x，
根据题意，得3（1+x）2＝3.63，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
（2）假设保持相同的月平均增长率，
那么2022年2月“冰墩墩”的销量为：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（万件），
∵3.993＜4，
∴2022年2月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键．
20．已知：如图，两点A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△AOB的面积．
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b≥的解集．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m＝﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n＝2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y＝﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．
解：（1）∵A（﹣4，2）在上，
∴m＝﹣4×2＝﹣8．
∴反比例函数的解析式为．
∵B（n，﹣4）在上，
∴n＝2，
∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴，
解之得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝﹣2．
∴点C（﹣2，0）．
∴OC＝2．
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝＝6；
（3）由图可得，不等式kx+b≥的解集为x≤﹣4或0＜x≤2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
21．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF＝CF＝3，
∴OF＝＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE＝OF＝4．
【点评】本题考查切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．
五、解答题（每小题12分，共2题）
22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于？
（3）探究经过多少秒后，以点B，P，Q为顶点的三角形与△CBA相似？
【分析】（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；
（2）根据题意表示出QP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；
（3）分两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比相等列出方程求解即可．
解：根据题意知QB＝2t（cm），BP＝（12﹣t）（cm）．
（1）根据三角形的面积公式，得BQ•PB＝35，
∴×2t•（12﹣t）＝35，
∴t2﹣12t+35＝0，
解得t1＝5，t2＝7．
故当t为5或7时，△PBQ的面积等于35cm2．
（2）设t秒后，PQ的长度等于，根据勾股定理，得，
PQ2＝BP2+BQ2＝（12﹣t）2+（2t）2＝128，
∴5t2﹣24t+16＝0，
解得，t2＝4．
故当t为或4时，PQ的长度等于．
（3）设经过x秒后，两三角形相似
①当时，△BPQ∽△BAC，
即，
∴，
②当时，△BQP∽△BAC，即，
∴，
∴经过秒或4秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△CBA相似．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、相似三角形的判定、三角形的面积；熟练掌握一元二次方程的应用和相似三角形的判定，进行分类讨论是解决问题（3）的关键．
23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB﹣PC|最大，求点P的坐标；
（3）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点M运动到何处时，四边形ACMB的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形ACMB面积的最大值．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作C点关于对称轴的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点P，|PB﹣PC|＝|PB﹣PC'|≤BC'，此时|PB﹣PC|有最大值，直线BC'与对称轴的交点即为P点；
（3）过点M作MN∥y轴交BC于点N，设M（t，t2﹣t﹣2），则N（t，t﹣2），分别求出S△BCM＝﹣t2+2t，S△ABC＝3，可得S四边形ACMB＝﹣（t﹣1）2+4，当t＝1时，四边形ACMB的面积最大值为4，此时M（1，﹣2）．
解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
作C点关于对称轴的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点P，
∵CP＝C'P，
∴|PB﹣PC|＝|PB﹣PC'|≤BC'，此时|PB﹣PC|有最大值，
∵C（0，﹣2），
∴C'（1，﹣2），
设直线BC'的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝2x﹣4，
∴P（，﹣3）；
（3）过点M作MN∥y轴交BC于点N，
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
设M（t，t2﹣t﹣2），则N（t，t﹣2），
∴MN＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∴S△BCM＝×2×（﹣t2+2t）＝﹣t2+2t，
∵S△ABC＝×3×2＝3，
∴S四边形ACMB＝3﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+4，
当t＝1时，四边形ACMB的面积最大值为4，
此时M（1，﹣2）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最大距离的方法是解题的关键．
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