湘教版初中数学七年级下册期末测试卷（标准难度）（含答案解析）

这是一份湘教版初中数学七年级下册期末测试卷（标准难度）（含答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=k+1x−2y=9的解互为相反数，则k的值是( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
2. 如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的周长为( )
A. 2cmB. 6cmC. 12cmD. 16cm
3. 三个连续奇数，若中间一个数为n，则它们的积是( )
A. 6n3−6nB. 4n3−nC. n3−4nD. n3−n
4. 已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c=192，则a+b+c的取值不可能是( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
5. 设n是任意正整数，代入n3−n=n·n2−1=n−1·n·n+1中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果可能是( )
A. 388947B. 388944C. 388953D. 388949
6. 已知496−1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个整数是( )
A. 61，63B. 63，65C. 65，67D. 63，64
7. 如图1是AD // BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=18°，则图2中∠AEF的度数为( )
A. 108°B. 114°C. 116°D. 120°
8. 已知平面上有5条直线a，b，c，d，e，若a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥e，则下面结论正确的是( )
A. a//c//eB. a//d//eC. b//c//dD. c//e//d
9. 如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形(忽略拼接线)小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置(摆放时无缝隙不重叠)，还能拼接成不同轴对称图形的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
10. 将数字“6”旋转180∘，得到数字“9”，将数字“9”旋转180∘，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180∘，得到的数字是( )
A. 96B. 69C. 66D. 99
11. 下列说法正确的是( )
A. 九年级某班的英语测试平均成绩是98.5，说明每个同学的得分都是98.5分
B. 数据4，4，5，5，0的中位数和众数都是5
C. 要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查
D. 若甲、乙两组数据中各有20个数据，两组数据的平均数相等，方差S甲2=1.25，S乙2=0.96，则说明乙组数数据比甲组数据稳定
12. 某科普小组有5名成员，身高分别为(单位：cm)：160，165，170，163，167.增加1名身高为165cm的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是( )
A. 平均数不变，方差不变B. 平均数不变，方差变大
C. 平均数不变，方差变小D. 平均数变小，方差不变
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 三个同学对问题“若方程组{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是{x=3y=4，求方程组{3a1x+2b1y=5c13a2x+2b2y=5c2的解．”提出各自的想法.甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是__________.
14. 若x2−2ax+49是完全平方式，则a=______．
15. 已知AB//CD，∠BAD=40°，点M在直线AD上，N为线段CD上一点，若∠MNC=α，则∠AMN=______.(用含α的式子表示)
16. 如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED的位置．若CE // AB，则∠BAD=______°．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知方程组2x+y=7x=y−1的解也是关于x，y的方程ax+y=4的一个解，求a的值．
18. (本小题8.0分)
星期天，小明和同学们共8人去郊游，途中，小明用20元钱去买可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完，求可乐和奶茶各有多少杯?如果设可乐有x杯，奶茶有y杯．
(1)请列出方程，并探究有哪几种购买方式?
(2)每人至少一杯饮料，且奶茶至少二杯时，有哪几种购买方式?
19. (本小题8.0分)
(1)已知(x+y)2=25，(x−y)2=9，求xy和x2+y2的值．
(2)若a2+b2=15，(a−b)2=3，求ab和(a+b)2的值．
20. (本小题8.0分)
定义：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”.如4=22−02，12=42−22，20=62−42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．
(1) 28是“和谐数”，且n，m为连续偶数(m>n).当28=m2−n2时，m+n= ．
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗?为什么?
21. (本小题8.0分)
已知三角形的三边a、b、c满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试利用乘法公式判断这个三角形的形状．
22. (本小题8.0分)
如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD.∠BAF=110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
23. (本小题8.0分)
如图，AD//BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC．

(1)若∠DBC=30°，求∠A的度数；
(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC−2∠ABF=180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．
24. (本小题8.0分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A(−1,3)，B(−4,3)，O(0,0)．
(1)画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；
(2)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求点B旋转到点B2所经过的路径长(结果保留π)．
25. (本小题8.0分)
学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．
调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t(单位：h)，并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t(单位：h)，按同样的分组方法制成如下扇形统计图．其中A组为0≤t<1，B组为1≤t<2，C组为2≤t<3，D组为3≤t<4，E组为4≤t<5，F组为t≥5．
(1)判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；
(2)该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了解二元一次方程组和方程组的解，掌握加减消元法和代入消元法是解决本题的关键．由题意可得x+y=0，它与方程组中的第二个方程组成一个新的方程组，先求出x、y的值，再代入组中第一个方程求出k．
【解答】
解：∵x，y的二元一次方程组3x+2y=k+1x−2y=9的解互为相反数，
∴x+y=0．
解方程组x+y=0x−2y=9，得x=3y=−3．
把x=3，y=−3代入方程3x+2y=k+1，得9−6=k+1，
解得k=2．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，
由题意得：x=3yx+y=8，
解得：x=6y=2，
则每块小长方形地砖的周长为2(x+y)=2×(6+2)=16(cm)，
故选：D．
设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，由图示可得等量关系：①1个长=3个宽，②一个长+一个宽=8cm，列出方程组，解方程组即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，熟练掌握运算法则，明确连续奇数相差2，设出未知数是解题的关键.先设三个连续奇数为：n−2，n，n+2，然后求它们的积即可
【解答】
解：设中间的数为n，那么最小的奇数是n−2，最大的奇数是n+2，那么有：
(n−2)×n(n+2)=n3−4n．
故选C．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了幂的运算，难度较大，根据a，b，c为自然数求出a，c的值是解题的关键．
将原等式化为2a+2c⋅3b=26⋅3，得到a+2c=6，b=1，再根据a，b，c为自然数，求出a，c的值，进而求出答案．
【解答】
解：根据题意得：2a+2c⋅3b=26⋅3，
∴a+2c=6，b=1，
∵a，b，c为自然数，
∴当c=0时，a=6；
当c=1时，a=4；
当c=2时，a=2；
当c=3时，a=0，
∴a+b+c不可能为8．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了因式分解的应用，关键是熟练掌握因式分解的方法.根据分解的结果可以判断三个数是三个连续整数的积，且积为偶数，即可确定结果．
【解答】
解： ∵n3−n=nn2−1=n−1·n·n+1是三个连续整数的积，且积为偶数，
A，C，D都是奇数，B是偶数，
故选B．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了平方差公式和因式分解，解题思路：496−1的形式要先想到平方差公式，然后用平方差公式进行分解到最后，从而计算出结果.看到496−1的形式要联想到平方差公式a2−b2=(a+b) (a−b)；再对496−1进行因式分解．
【解答】
解：利用平方式公式进行分解该数字：
496−1=(448+1)(448−1)
=(448+1)(424+1)(424−1)
= (448+1)(424+1) (412+1)(46+1)(43+1)(43−1)
=(448+1)(424+1)(412+1)(46+1)×65×63．
故选B．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了折叠问题以及平行线的性质，设∠B′FE=x，根据折叠的性质得∠BFE=∠B′FE=x，∠AEF=∠A′EF，则∠BFC=x−18°，再由第2次折叠得到∠C′FB=∠BFC=x−18°，于是利用平角定义可计算出x=66°，接着根据平行线的性质得∠A′EF=180°−∠B′FE=114°，所以∠AEF=114°．
【解答】
解：如图，设∠B′FE=x，
∵纸条沿EF折叠，
∴∠BFE=∠B′FE=x，∠AEF=∠A′EF，
∴∠BFC=∠BFE−∠CFE=x−18°，
∵纸条沿BF折叠，
∴∠C′FB=∠BFC=x−18°，
而∠B′FE+∠BFE+∠C′FB=180°，
∴x+x+x−18°=180°，
解得x=66°，
∵A′D′//B′C′，
∴∠A′EF=180°−∠B′FE=180°−66°=114°，
∴∠AEF=114°，
故选B．
8.【答案】A
【解析】略
9.【答案】B
【解析】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．
故选：B．
能拼接为等腰梯形，等腰直角三角形，长方形，由此即可判断．
本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的性质．
10.【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确想象出旋转后图形是解题关键.直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案．
【解答】解：根据数字“6”和“9”的特点及旋转的定义知，数字“69”旋转180∘得到“69”．
故选B．
11.【答案】D
【解析】解：英语测试平均成绩是98.5，说明这个班的英语成绩的平均水平是98.5分，并不是每个同学的得分都是98.5分，因此A选项不符合题意，
数据4，4，5，5，0的中位数是4.5和众数是5或4，因此选项B不符合题意，
要了解一批日光灯的使用寿命，应采用抽查的方式，不能采取全面调查，也没有全面调查的必要，因此C选项不符合题意，
甲的方差比乙的方差小，因此甲数据比较稳定，因此D选项符合题意，
故选：D．
根据选项内容逐个进行剖析，判断正误，做出选择即可，
考查全面调查、抽样调查的意义，中位数、众数、平均数以及方差的意义，理解这些概念的意义是正确做出判断的前提．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了方差以及算术平均数．
根据平均数公式、方差的公式代入数值计算，可得答案．
【解答】
解：x原=160+165+170+163+1675=165，
S原2=15160−1652+165−1652+170−1652+163−1652+167−1652=585，
x新=160+165+170+163+167+1656=165，
S新2=16160−1652+165−1652+170−1652+163−1652+167−1652+165−1652=586，
∵586<585，
∴平均数不变，方差变小，
故选C．
13.【答案】x=5y=10
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，换元思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．
【解答】
解：∵方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是{x=3y=4,
方程组{3a1x+2b1y=5c13a2x+2b2y=5c2 可化为35a1x+25b1y=c135a2x+25b2y=c2,
∴35x=325y=4,∴x=5y=10,
故答案为x=5y=10．

14.【答案】±7
【解析】
【分析】
本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的2倍的符号，避免漏解.这里首末两项是x和7这个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和7积的2倍，则−2a=±14，a=±7．
【解答】
解：因为x2−2ax+49是完全平方式，
所以−2ax=±2×x×7
所以a=±7．
故填：±7．

15.【答案】220°−α或α−140°或α−40°
【解析】解：如图，当点M在线段AD上时，

过点M作ME//AB，
∴∠AME=∠BAD=40°，
∵ME//AB，AB//CD，
∴ME//CD，
∴∠EMN+∠MNC=180°，
∵∠MNC=α，
∴∠EMN=180°−α，
∴∠AMN=∠AME+∠EMN=40°+(180°−α)=220°−α；
如图，当点M在AD的延长线上时，

过点M作ME//AB，
∴∠AME=∠BAD=40°，
∵ME//AB，AB//CD，
∴ME//CD，
∴∠EMN+∠MNC=180°，
∵∠MNC=α，
∴∠EMN=180°−α，
∴∠AMN=∠AME−∠EMN=40°−(180°−α)=α−140°；
如图，当点M在DA的延长线上时，

过点M作ME//AB，
∴∠AME=∠BAD=40°，
∵ME//AB，AB//CD，
∴ME//CD，
∴∠EMN=∠MNC=α，
∴∠AMN=∠EMN−∠AME=α−40°；
故答案为：220°−α或α−140°或α−40°．
根据平行线的性质分三种情况求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理并会分情况讨论是解题的关键．
16.【答案】40
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质并求出∠DAB=∠CAE是解题的关键．
根据两直线平行，内错角相等可得∠ACE=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AE，∠BAC=∠DAE，再根据等腰三角形两底角相等列式求出∠CAE，然后求出∠BAD=∠CAE，从而得解．
【解答】
解：∵CE//AB，∠CAB=70°，
∴∠ACE=∠CAB=70°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，
∴AC=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠CAE=180°−70°×2=40°，
∵∠CAE+∠CAD=∠DAE，
∠DAB+∠CAD=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE=40°．
17.【答案】解：方程组2x+y=7①x=y−1②，
把②代入①得：2(y−1)+y=7，
解得：y=3，
把y=3，代入①中，
解得：x=2，
把x=2，y=3代入方程ax+y=4得，2a+3=4，
解得：a=12．
【解析】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值．
18.【答案】(1)列方程为2x+3y=20．
∴2x=20−3y，x=10−32y.
当y=0时，x=10;当y=2时，x=7;
当y=4时，x=4;当y=6时，x=1;
即有4种购买方式：
①购买10杯可乐和0杯奶茶;
②购买7杯可乐和2杯奶茶;
③购买4杯可乐和4杯奶茶;
④购买1杯可乐和6杯奶茶;
(2)有2种购买方式：
①购买7杯可乐和2杯奶茶;
②购买4杯可乐和4杯奶茶．

【解析】略
19.【答案】解：(1)∵(x+y)2=25，(x−y)2=9，
∴x2+2xy+y2=25①，x2−2xy+y2=9②，
∴①+②得：2(x2+y2)=34，
∴x2+y2=17，
∴17+2xy=25，
∴xy=4；
(2)∵(a−b)2=3，
∴a2−2ab+b2=3，
∵a2+b2=15，
∴15−2ab=3，
∴−2ab=−12，
∴ab=6，
∵a2+b2=15，
∴a2+2ab+b2=15+12=27，
∴(a+b)2=27．

【解析】此题主要考查了完全平方公式，正确应用公式是解题关键．
(1)利用完全平方公式将原式变形，进而得出x2+y2的值，即可求出xy的值；
(2)直接利用完全平方公式将原式变形得出答案．
20.【答案】【小题1】
14
【小题2】
解：(2k+2)2−(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2−2k)=2(4k+2)=4(2k+1)．
∵k为非负整数，∴2k+1一定为正整数，
∴4(2k+1)一定能被4整除，则由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．

【解析】1.
解：∵28=m2−n2=(m+n)(m−n)，且m−n=2，
∴m+n=14．
故答案为14．
2. 略
21.【答案】解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ca，
两边乘以2得：2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0，
即(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(c2−2ac+a2)=0，
∴(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，
∵偶次方总是大于或等于0，
∴a−b=0，b−c=0，c−a=0，
∴a=b，b=c，c=a．
所以这是一个等边三角形．
【解析】此题主要考查利用完全平方公式因式分解，等边三角形的判定，以及非负数的性质等知识点．由a2+b2+c2=ab+bc+ca整理得，(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，由非负数的性质求得三边相等，所以这是一个等边三角形．
22.【答案】2秒或38秒
【解析】解：存在．分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF=110°，∠DCF=60°，
∴∠ACD=180°−60°−(6t)°=120°−(6t)°，∠BAC=110°−t°，
要使AB//CD，则∠ACD=∠BAF，
即120°−(6t)°=110°−t°，
解得t=2；
此时(180°−60°)÷6=20，
∴0②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF=110°，∠DCF=60°，
∴∠DCF=360°−(6t)°−60°=300°−(6t)°，∠BAC=110°−t°，
要使AB//CD，则∠DCF=∠BAC，
即300°−(6t)°=110°−t°，
解得t=38，
此时(360°−60°)÷6=50，
∴20③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF=110°，∠DCF=60°，
∴∠DCF=(6t)°−(180°−60°+180°)=(6t)°−300°，∠BAC=t°−110°，
要使AB//CD，则∠DCF=∠BAC，
即(6t)°−300°=t°−110°，
解得t=38，
此时t>50，
∵38<50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为2秒或38秒时，CD与AB平行．
故答案为：2秒或38秒．
分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
23.【答案】解：(1)∵BD平分∠EBC，∠DBC=30°，
∴∠EBC=2∠DBC=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=120°，
∵AD//BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=60°；
(2)存在∠DFB=∠DBF，
设∠DBC=x°，则∠ABC=2∠ABE=(4x)°．
∵7∠DBC−2∠ABF=180°，
∴(7x)°−2∠ABF=180°，
∴∠ABF=72x−90°，
∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=12x+90°，
∠DBF=∠ABC−∠ABF−∠DBC=90−12x°，
∵AD//BC，
∴∠DFB+∠CBF=180°，
∴∠DFB=90−12x°，
∴∠DFB=∠DBF．
【解析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
(1)根据角平分线的定义得到∠EBC=2∠DBC=60°，∠ABC=2∠EBC=120°，根据平行线的性质得到∠A+∠ABC=180°，于是得到结论；
(2)设∠DBC=x°，则∠ABC=2∠ABE=(4x)°，根据已知条件得到∠ABF=(72x−90)°，求得∠DBF=(90−12x)°，根据平行线的性质得到∠DFB+∠CBF=180°，于是得到∠DFB=(90−12x)°，即可得到结论．
24.【答案】解：(1)如图，△A1B1O即为所求，B1(−4,−3)．
(2)如图，△A2B2O即为所求，B2(3,4)．
(3)点B旋转到点B2所经过的路径长=90π⋅5180=5π2．
【解析】(1)根据轴对称的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可．
(2)根据旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可．
(3)利用弧长公式求解即可．
本题考查作图−轴对称变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)把第1次调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列，处在中间位置的两个数，
即处在第25、第26位的两个数都落在C组，
因此第1次调查学生课外劳动时间中位数在C组；
把第2次调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列各个分组，计算所占百分比的和，
和为50%和52%的都在D组，
因此第2次调查学生课外劳动时间的中位数在D组；
(2)2000×(30%+24%+16%)=1400(人)，
答：该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数大约是1400人．
【解析】(1)根据中位数的定义进行判断即可；
(2)根据第2次课外劳动时间不小于3h的人数所占调查总人数的百分比，进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数，掌握条形统计图、扇形统计图的意义以及中位数的计算方法是解决问题的前提．