高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：4 4 数系的扩充与复数的引入 Word版含答案

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(1)理解复数的基本概念．
(2)理解复数相等的充要条件．
2．复数的运算
(1)了解复数的代数表示法及其几何意义．
(2)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．
知识点一 复数的概念及几何意义
1．复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a＋bi为纯虚数．
2．复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
3．共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模
向量Oeq \(Z,\s\up6(→))的长度叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ eq \r(a2＋b2).
5．几何意义
易误提醒
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
3．z2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z＝3i时z2＝－9<0.
[自测练习]
1．设i是虚数单位，eq \x\t(z)表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则eq \f(z,i)＋i·eq \x\t(z)＝( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
解析：因为z＝1＋i，所以eq \f(z,i)＋i·eq \x\t(z)＝－i＋1＋i＋1＝2.
答案：C
2．已知复数eq \f(a＋3i,1－2i)是纯虚数，则实数a＝( )
A．－2 B．4
C．－6 D．6
解析：eq \f(a＋3i,1－2i)＝eq \f(a－6＋2a＋3i,5)，∴a＝6时，复数eq \f(a＋3i,1－2i)为纯虚数．
答案：D
3．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵z＝i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i，
∴复数z在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限．
答案：A
知识点二 复数的代数运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(4)除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)
＝eq \f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)(c＋di≠0)．
2．复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
必记结论 掌握复数代数运算中常用的几个结论：
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋.
[自测练习]
4．已知i是虚数单位，则eq \f(2＋i,3－i)＝( )
A.eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i B.eq \f(7,2)－eq \f(1,2)i
C.eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i D.eq \f(7,2)＋eq \f(1,2)i
解析：eq \f(2＋i,3－i)＝eq \f(2＋i3＋i,3－i3＋i)＝eq \f(5＋5i,10)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i.
答案：C
5．设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则eq \f(2,z)＋z2＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：eq \f(2,z)＋z2＝eq \f(2,1＋i)＋(1＋i)2＝eq \f(21－i,1＋i1－i)＋1＋2i＋i2＝1－i＋2i＝1＋i.
答案：D
考点一 复数的有关概念|
1．若a＋bi＝eq \f(5,1＋2i)(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：a＋bi＝eq \f(5,1＋2i)＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2.
答案：A
2．(2015·高考湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数为( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
解析：i607＝i4×151·i3＝－i，又－i的共轭复数为i，选A.
答案：A
3．(2015·高考天津卷)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析：由题意知，复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，则实部a＋2＝0，虚部1－2a≠0，解得a＝－2.
答案：－2
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

考点二 复数的几何意义|
1．(2015·山西四校联考)复数z＝eq \f(i,－2－i2)(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为z＝eq \f(i,－2－i2)＝eq \f(i,4＋4i－1)＝eq \f(i,3＋4i)＝eq \f(i3－4i,25)＝eq \f(4,25)＋eq \f(3,25)i，所以z在复平面内所对应的点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,25)，\f(3,25)))在第一象限，故选A.
答案：A
2．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：由条件得eq \(OC,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1,2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，
根据eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－λ＋μ＝3，,2λ－μ＝－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－1，,μ＝2.))∴λ＋μ＝1.
答案：1
判断复数在平面内的点的位置的方法
首先将复数化成a＋bi(a，b∈R)的形式，其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限．


考点三 复数的代数运算|
1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析：因为(z－1)i＝1＋i，所以z＝eq \f(1＋i,i)＋1＝2－i，选C.
答案：C
2．(2015·高考湖南卷)已知eq \f(1－i2,z)＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：由题意得z＝eq \f(1－i2,1＋i)＝eq \f(－2i,1＋i)＝－i(1－i)＝－1－i，故选D.
答案：D
3．设复数z1和z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z1＝3－2i，则z1·z2＝( )
A．－5＋12i B．－5－12i
C．－13＋12i D．－13－12i
解析：∵z1＝3－2i，∴z2＝－3＋2i，z1·z2＝(3－2i)(－3＋2i)＝－5＋12i，故选A.
答案：A
复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
(3)利用复数相等求参数．a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．

15.方程思想在复数问题中的应用
【典例】 已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
[思路点拨] (1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来．(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．
[解] 设x＝a＋bi(a，b∈R)，
则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，
代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
根据复数相等得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a2＝4，,－3a2＋b2＝－6，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－1.))
故所求复数为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋i，,y＝1－i))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－i，,y＝1＋i))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋i，,y＝－1－i))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1－i，,y＝－1＋i.))
[方法点评] (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．
(2)本题求解的关键是先把x，y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．
(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．
[跟踪练习] (2015·高考福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )
A．3，－2 B．3,2
C．3，－3 D．－1,4
解析：因为(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi，所以3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2，故选A.
答案：A
A组 考点能力演练
1．(2016·洛阳模拟)设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为(2＋ai)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2，故选B.
答案：B
2．复数eq \f(1＋2i,i)的共轭复数是a＋bi(a，b∈R)，i是虚数单位，则点(a，b)为( )
A．(1,2) B．(2，－1)
C．(2,1) D．(1，－2)
解析：eq \f(1＋2i,i)＝2－i，其共轭复数为2＋i，即a＋bi＝2＋i，所以a＝2，b＝1.故选C.
答案：C
3．设x∈R，i是虚数单位，则“x＝－3”是“复数z＝(x2＋2x－3)＋(x－1)i为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：复数z＝(x2＋2x－3)＋(x－1)i为纯虚数，则x2＋2x－3＝0且x－1≠0，解得x＝－3，故x＝－3⇔复数z为纯虚数，选C.
答案：C
4．在复平面内，复数eq \f(－2＋3i,3－4i)(i是虚数单位)所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵eq \f(－2＋3i,3－4i)＝eq \f(－2＋3i3＋4i,3－4i3＋4i)＝eq \f(－18＋i,25)＝－eq \f(18,25)＋eq \f(1,25)i，∴－eq \f(18,25)＋eq \f(1,25)i对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(18,25)，\f(1,25)))，在第二象限，故选B.
答案：B
5．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cs θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是( )
A．[－1,1] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，7))
解析：由复数相等的充要条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2cs θ，,4－m2＝λ＋3sin θ，))化简得4－4cs2 θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cs2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin θ＋4＝4sin2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sin θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7)).
答案：C
6．(2015·高考江苏卷)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析：设复数z＝a＋bi，a，b∈R，则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，a，b∈R，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝3，,2ab＝4，))a，b∈R，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2,b＝－1))，则z＝±(2＋i)，故|z|＝eq \r(5).
答案：eq \r(5)
7．(2015·高考重庆卷)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq \r(3)，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
解：设z＝a＋bi，则(a＋bi)(a－bi)＝zeq \x\t(z)＝|z|2＝3.
答案：3
8．已知m∈R，复数eq \f(m＋i,1＋i)－eq \f(1,2)的实部和虚部相等，则m＝________.
解析：eq \f(m＋i,1＋i)－eq \f(1,2)＝eq \f(m＋i1－i,1＋i1－i)－eq \f(1,2)＝eq \f(m＋1＋1－mi,2)－eq \f(1,2)＝eq \f(m＋1－mi,2)，由已知得m＝1－m，则m＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9．计算：(1)eq \f(－1＋i2＋i,i3)；
(2)eq \f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；
(3)eq \f(1－i,1＋i2)＋eq \f(1＋i,1－i2)；
(4)eq \f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2).
解：(1)eq \f(－1＋i2＋i,i3)＝eq \f(－3＋i,－i)＝－1－3i.
(2)eq \f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq \f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq \f(i,2＋i)＝eq \f(i2－i,5)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i.
(3)eq \f(1－i,1＋i2)＋eq \f(1＋i,1－i2)＝eq \f(1－i,2i)＋eq \f(1＋i,－2i)＝eq \f(1＋i,－2)＋eq \f(－1＋i,2)＝－1.
(4)eq \f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)＝eq \f(\r(3)＋i－i,\r(3)＋i2)
＝eq \f(－i,\r(3)＋i)＝eq \f(－i\r(3)－i,4)
＝－eq \f(1,4)－eq \f(\r(3),4)i.
10．复数z1＝eq \f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq \f(2,1－a)＋(2a－5)i，若eq \x\t(z)1＋z2是实数，求实数a的值．
解：eq \x\t(z)1＋z2＝eq \f(3,a＋5)＋(a2－10)i＋eq \f(2,1－a)＋(2a－5)i
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a＋5)＋\f(2,1－a)))＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝eq \f(a－13,a＋5a－1)＋(a2＋2a－15)i.
∵eq \x\t(z)1＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.
B组 高考题型专练
1．(2014·高考天津卷)i是虚数单位，复数eq \f(7＋i,3＋4i)＝( )
A．1－i B．－1＋i
C.eq \f(17,25)＋eq \f(31,25)i D．－eq \f(17,7)＋eq \f(25,7)i
解析：eq \f(7＋i,3＋4i)＝eq \f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq \f(25－25i,25)＝1－i.选A.
答案：A
2．(2014·高考江西卷)eq \x\t(z)是z的共轭复数．若z＋eq \x\t(z)＝2，(z－eq \x\t(z))i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi，又z＋eq \x\t(z)＝2，即(a＋bi)＋(a－bi)＝2，所以2a＝2，解得a＝1.又(z－eq \x\t(z))i＝2，即[(a＋bi)－(a－bi)]·i＝2，所以bi2＝1，解得b＝－1.所以z＝1－i.
答案：D
3．(2015·高考山东卷)若复数z满足eq \f(\x\t(z),1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
解析：由已知eq \x\t(z)＝i(1－i)＝i－i2＝i＋1，所以z＝1－i.故选A.
答案：A
4．(2015·高考全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由于(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝0，,a2－4＝－4，))解得a＝0.故选B.
答案：B
5．(2015·高考安徽卷)设i是虚数单位，则复数eq \f(2i,1－i)在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：eq \f(2i,1－i)＝eq \f(2i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋i，其在复平面内所对应的点位于第二象限．
答案：B
6．(2015·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足eq \f(1＋z,1－z)＝i，则|z|＝( )
A．1 B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
解析：由题意知1＋z＝i－zi，所以z＝eq \f(i－1,i＋1)＝eq \f(i－12,i＋1i－1)＝i，所以|z|＝1.
答案：A
7．(2015·高考四川卷)设i是虚数单位，则复数i3－eq \f(2,i)＝( )
A．－i B．－3i
C．i D．3i
解析：i3－eq \f(2,i)＝－i－eq \f(2i,i2)＝－i＋2i＝i，选C.
答案：C
8．(2015·高考重庆卷)复数(1＋2i)i的实部为________．
解析：因为(1＋2i)i＝－2＋i，所以实部为－2.
答案：－2