2022-2023学年安徽省合肥四十五中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥四十五中八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在平面直角坐标系中，点所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，下列个防疫知识图片是轴对称图形的图片是(    )

A. 打喷嚏捂口鼻 B. 喷嚏后慎揉眼
C. 勤洗手勤通风 D. 戴口罩讲卫生

3.  如图，表示一次函数与正比例函数、是常数，图象的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这三角形一定是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 直角三角形或锐角三角形 D. 钝角三角形

5.  已知等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D.

6.  如图，已知≌，平分，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等不与重合的格点三角形顶点都在格点上的三角形共有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10.  如图在平面直角坐标系中，点，，，和，，，分别在直线和轴上，，，，都是等腰直角三角形，如果点，那么的纵坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  命题“如果，那么”是______命题填“真”或“假”

12.  如图在中，与的平分线交于点，设的度数为度，的度数为度，则与之间的函数关系式为        ．

13.  等边的边长为，点、分别是边、上的动点，点、分别从顶点、同时出发，且速度都是，则经过        秒后，是直角三角形．

14.  如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为______度．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
已知点，解答下列各题：
若点在轴上，试求出点的坐标；
若，且轴，试求出点的坐标．

16.  本小题分
已知三角形的三边长分别为，，，化简：．

17.  本小题分
如图，正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形顶点都在格点上的三角形．
画出关于轴对称的；
画出向下平移个单位长度得到的；
若点为边上一点，请直接写出点经过两次图形变换后的对应点的坐标        ．

18.  本小题分
如图，在中，是高，，是外角的平分线，平分交于点，若，求的度数．

19.  本小题分
已知一次函数，一次函数图象经过点．
求的值；
在平面直角坐标系中，画出函数图象；
当时，的取值范围为        ．

20.  本小题分
如图，是等边三角形，延长到，使点是边的中点，连接并延长交于．
求的度数；
求证：．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于，点为延长线上一动点，以为直角边在其上方作等腰三角形，连接．
求证；
求直线与轴交点的坐标．

22.  本小题分
某商场购进甲、乙两种空气净化器共台进行销售，甲空气净化器每台利润为元，乙空气净化器每台利润为元．设购进甲空气净化器台，这台空气净化器全部售出的总利润为元．
求关于的函数表达式；
若乙空气净化器的数量不超过甲空气净化器的倍，当甲空气净化器购进多少台时，销售总利润最大？最大总利润是多少？

23.  本小题分
已由在中，，过点引一条射线，是上一点．

【问题解决】
如图，若，射线在内郃，，求证：．
小明的做法是：在上取一点，使得，再通过已知条件，求得的度数．
请你帮助小明写出证明过程：
【类比探究】
如图，已知当射线在内，求的度数．
【变式迁移】
如图，已知当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数：若不变，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点坐标为，即横坐标为负数，纵坐标为正数，则它位于第二象限，
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形．
故选：．
根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正比例函数及一次函数的图像．
由图象信息结合正比例函数及一次函数的图像性质逐一判断即可．
【解答】
解：由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不同，故本选项错误；
B.由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不同，故本选项错误；
C.由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确；
D.由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不同，故本选项错误；
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：设这个外角的度数为，则与它相邻的内角的度数为，
由题意可得：，
，
，
这个三角形是钝角三角形，
故选：．
设这个外角的度数为，则与它相邻的内角的度数为，列出不等式可求解．
本题考查了三角形的外角的性质，列出不等式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：当为腰时，三边为，，，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当为腰时，三边为，，，符合三角形三边关系定理，周长为：．
故选：．
根据和可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分类讨论求解．
本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理．关键是根据，，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
 

6.【答案】 

【解析】解：≌，，
，，
，
在四边形中，，
，
平分，，
，
故选：．
根据全等三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，根据四边形的内角和定理求出，求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是能熟记全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
又，
≌，
，，即为等腰三角形，
，
又，
，
，
故选：．
根据题意可得为等腰三角形，，，即可求解．
此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握掌握相关基本性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数．
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，
以为公共边可画出，，三个三角形和原三角形全等．
以为公共边可画出，，三个三角形和原三角形全等．
以为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等，
所以可画出个．
故选：．
根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可．
本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

在直线上，
，
，
设，，，，，
 则有，
，

，
又，，，都是等腰直角三角形，
，
，

，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，
 ，
 ，
 
，
又，
，
 ，
 ，

，
故选：．
设点，，，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．
 

11.【答案】假 

【解析】解：命题“如果，那么”是假命题；
故答案为假．
利用，可判断命题“如果，那么”是假命题．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，，
．
平分，平分，
，．
在中，，
，

故答案为：
在中，利用三角形内角和定理，可得出，由角平分线的性质，可得出，，再在中，利用三角形内角和定理，可得出
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及函数关系式，根据各角之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：由题意得：，
所以，
是等边三角形，
，
若时，，
，
即，
解得：；
若，
，
，
即，
解得：，
所以当或时，是直角三角形；
故答案为：或．
根据题意得出，求出，根据等边三角形的性质得出，若时，，根据含角的直角三角形的性质得出，得出方程，求出方程的解即可；若，，根据得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了等边三角形的性质和直角三角形的性质，关键是利用分类讨论思想解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：分别连接，，如图所示，
，为的平分线，
．
又，
．
是的垂直平分线，
；
．
．
是的垂直平分线，为的平分线，，
点是的外心，
；
；
将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，
．
；
在中，
，
故答案为：．
如图，作辅助线，首先求出；进而求出；求出问题即可解决．
该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
 

15.【答案】解：点在轴上，
，，
，
，且轴，
，，
，
 

【解析】轴上的点纵坐标为；
轴时，横坐标相等．
本题运用了平面直角坐标系中点的坐标特征来解决问题，关键是用好数形结合的数学思想．
 

16.【答案】解：因为的三边长分别是、、，
所以必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则，，，
所以． 

【解析】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求；

如图所示，即为所求；
点的坐标为．
故答案为：．
根据轴对称即可画出关于轴对称的；
根据平移的性质即可画出向下平移个单位长度得到；
结合即可写出点经过上述两次图形变换后的对应点的坐标．
本题考查了作图轴对称变换，平移变换，规律型：点的坐标，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 

18.【答案】解：是高，
，
，
又，
，
，
是外角的平分线，
，
平分，
，
． 

【解析】根据直角三角形的性质求出的度数，得到的度数，根据邻补角的性质求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：由题意得，当，则．
．
由得，该一次函数的解析式为，则、在该函数图象上．
该函数图象如下图所示：

由中的函数图象可知，当时，则．
故答案为：．
根据一次函数图象上的点的坐标特征解决此题．
根据列表、描点、连线画出函数图象．
根据一次函数的图象与不等式的关系解决此题．
本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的图象的画法、一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的图象的画法、一次函数的性质是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：是等边三角形，
，，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
；

证明：连接，

是等边三角形，
，，
为的中点，
，
，
，
，
，，
，
即． 

【解析】根据等边三角形的性质得出，，求出，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出，求出即可；
连接，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，即可得出答案．
本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
 

21.【答案】证明：过点作轴，如图所示，

，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
；
解：如图，

，，
，
，
点的坐标为． 

【解析】过点作轴，证明≌，可得，推出，可得出，由得，即可得出结论；
由可得出，即可得出点坐标．
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是作辅助线构造全等三角形．
 

22.【答案】解：根据题意得，；
乙空气净化器的数量不超过甲空气净化器的倍，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，的值最大，最大值元，
答：当甲空气净化器购进台时，销售总利润最大，最大利润是元． 

【解析】 根据两种型号的利润的和就是总利润即可列出函数解析式；
根据一次函数的性质，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，此题的关键在列式表示利润和台数之间的函数关系式．
 

23.【答案】证明：如图，在上取一点，使，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，即，
在和中，
，
≌，
，
；
解：如图，在上取一点，，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
的度数会变化，
理由：如图在延长线上取一点，使得，
同理的方法可证：≌，
，
． 

【解析】根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明≌，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
在上取一点，，证明≌，得到，可求出答案；
在延长线上取一点，使得，同理证明≌，求出，进而求出．
本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．