2022-2023学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1.  中国空间站离地球的远地点距离约为，其中用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，分别是从上面、正面、左面看某立体图形得到的平面图形，则该立体图形是下列的(    )

A. 长方体 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱

4.  下列等式变形正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

5.  如图，点，，在直线上，下列说法正确的是(    )

A. 点在线段上 B. 点在线段的延长线上
C. 射线与射线是同一条射线 D.

6.  若，则多项式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，直角三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，两地相距千米，甲每小时走千米，乙每小时走千米．甲、乙分别从，两地出发，背向而行，请问几小时后，两人相距千米？设小时后，两人相距千米，则下面列出的方程中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知点，在数轴上的位置如图所示，若点，分别表示数，，且满足，则下列各式的值一定是正数的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为，，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是(    )

A.
B. 小长方形的周长为
C. 与的周长和恰好等于长方形的周长
D. 只需知道和的值，即可求出与的周长和

二、填空题（本题共6小题，共18分）

11.  计算：          ．

12.  写出一个整式，这个整式与进行加减运算后，结果是单项式：          ．

13.  若是关于的方程的解，则的值为          ．

14.  如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为          ．

15.  一个角的补角恰好是这个角的倍，则这个角的度数是          ．

16.  从正整数，，，，中，选出组数，满足以下三个条件：

每组个数不相等；

任意两组都不含有相同的数；

每组个数的和互不相同且不超过．

根据以上条件，回答下列问题：

若，请写出一种选取方案：第组：          ，第组：          ；

的最大值为          ．

三、解答题（本题共10小题，共76分）

17.  计算：

；

．

18.  先化简，再求值：，其中．

19.  解方程：

；

．

20.  如图，已知线段．

选择合适的画图工具，按下列步骤画图：

延长线段至点，使；

在线段上方画射线，使；

在射线上取一点不与点重合，连接，．

根据画出的图形，判断与的长短直接写出答案．

21.  北京奥林匹克森林公园位于北京中轴延长线的最北端，是亚洲最大的城市绿化景观．某校七年级班学生计划去奥森公园划船，游船价格如表：

已知所有学生均有座位且划船小时，请解决下面问题：

若租用条游船，所有船恰好坐满，需花费元．那么租用了几条四座电瓶船？

请你直接写出一种比中省钱的租船方案：____条四座电瓶船，____条六座电瓶船．

22.  如图，已知，点在线段上，，为的中点．

求的长；

点在线段的延长线上，且请判断点是否为线段的中点，并说明理由．

23.  已知关于的方程．

当，时，方程的解为____；

若是方程的解，用等式表示与满足的数量关系：____；

若这个方程的解与关于的方程的解相同，则的值为____．

24.  定义一种新运算：当时，；当时，例如，．

计算：____；

对于式子，

若，求的值；

当的值分别取，，，为整数时，式子的值的和的最大值为____．

25.  已知，，且不与重合．

当时，若射线在内，请用量角器在图中画出射线，则的度数为____；

当时，平分，求的度数．

26.  对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数，给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数．

例如，对于数组：，，，因为：，，，取为原点，为表示数的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．

已知是数组的收纳系数，此时线段的端点，表示的数分别为，

对数组：，，，在，，这三个数中，可能是____；

对数组：，，，若的最大值为，求的值；

已知个连续整数中第一个整数为，从中选择个数，组成数组．

当，且时，直接写出的最大值；

当时，直接写出的最大值和相应的的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．

【解答】解：．

故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】根据绝对值的定义进行解答即可．

【解答】解：，

故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

【解答】解：一个立体图形从正面、左面看到的平面图形是一个长方形，从上面看到的平面图形是一个三角形，则这个立体图形是有两个底面是三角形的三棱柱．

故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】根据等式的性质，可得答案．

【解答】解：、由，得，原变形错误，故本选项不符合题意；

、由，得，原变形错误，故本选项不符合题意；

、由，得，原变形错误，故本选项不符合题意；

、由，得，原变形正确，故本选项符合题意．

故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】根据两点间的距离的含义和求法，以及直线、射线和线段的认识，逐项判断即可．

【解答】解：点在线段的延长线上，

选项不符合题意；

点在线段的反向延长线上，

选项不符合题意；

射线与射线是两条射线，

选项不符合题意；

，

选项符合题意．

故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】化简整理等式和代数式，整体代入求值．

【解答】解：，

，

，

故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】根据平角定义，可得，而，，代入易求．

【解答】解：根据图，可知

，

，，

，

故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】设小时后，两人相距千米，根据题意列方程即可得到结论．

【解答】解：设小时后，两人相距千米，

根据题意得，，

故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】根据数轴可知，再根据逐项判断即可．

【解答】解：由，可知可能是负数，是正数，故不符合题意；

由，，可知一定是正数，所以一定是负数，故不符合题意；

由，，可知一定是正数，所以一定是正数，故符合题意；

由，，可知可能是正数，所以可能是负数，故不符合题意；

故选：．

10.【答案】 

【解析】解：、由图可知，，故本选项结论错误，不符合题意；

、小长方形的周长为：，故本选项结论错误，不符合题意；

、小长方形的周长为，小长方形的周长为：，

所以与的周长和为：，

长方形的周长为：，

如果与的周长和恰好等于长方形的周长，那么，即，但是图中，

故本选项结论错误，不符合题意；

、由知，与的周长和为，

所以只需知道和的值，即可求出与的周长和，

故本选项结论正确，符合题意．

故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】利用度分秒的进制，进行计算即可解答．

【解答】解：

，

故答案为：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】根据题意得出要写出的这个整式是的同类项．

【解答】解：写出一个整式，这个整式与进行加减运算后，结果是单项式，

这个整式是的同类项，可以是．

故答案为：答案不唯一．

13.【答案】 

【解析】

【分析】将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．

【解答】解：将代入原方程得，

解得：，

的值为．

故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】首先根据题意可得，再根据题意可得，然后再根据角的和差关系可得答案．

【解答】解：在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，

，

，

轮船在南偏东的方向，

，

．

故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】首先根据补角的定义，设这个角为，则它的补角为，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．

【解答】解：设这个角为，则它的补角为，

依题意，得

解得．

答：这个角的度数为．

故答案为：．

16.【答案】，

，

【解析】

【分析】利用题干中的条件解答即可；

利用列举的方法解答即可得出结论．

【解答】解：若，选出组数，第一组为：，；第二组为：，，

，，，互不相同，互不相等，且，，

第一组为：，；第二组为：，，符合题意，

故答案为：，；，；答案不唯一．

若取最大值，方案如下：

，，，

，，，

，，，

，，，

，，，

的最大值为，

故答案为：．

17.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】先计算乘法，再计算加减即可；

先计算乘方、除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算减法即可．

18.【答案】解：原式

，

当时，

原式

．

【解析】根据整式的加减运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
 

19.【答案】解：移项得：，

合并得：，

解得：；

去分母得：，

去括号得：，

移项合并得：，

解得：．

【解析】方程移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解；

方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解．

20.【答案】解：如图：

观察图形可知：．

【解析】利用几何语言画出对应的图形；

观察图形直接可以得出答案．

21.【答案】解：设租用了条四座电瓶船，

根据题意得，

解得，

答：租用了条四座电瓶船．

由可知，共有学生名，

在每船都坐满的情况下，乘四座电瓶船平均每人元，乘六座电瓶船平均每人元，

应尽可能多用六座电瓶船，

设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，

根据题意得，

整理得，

、都是整数，

或或或，

当，时，总费用为元，

当，时，总费用为元，

若只租用条六座电瓶船，总费用为元，

最省钱的方案是租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，

故答案为：，．

注：答案不唯一，，，或，．

【解析】

【分析】设租用了条四座电瓶船，则租用四座电瓶船用了元，租用六座电瓶船用了元，可列方程，解方程求出的值即可；

先计算出学生人数为名，在每船都坐满的情况下，乘四座电瓶船平均每人元，乘六座电瓶船平均每人元，因此应应尽可能多用六座电瓶船，设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，则，则或或或，显然，在都坐满的情况下比省钱的方案有两种，即租用条四座电瓶船，条六座电瓶船或租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，在还有空座位的情况下，可只租用条六座电瓶船．

22.【答案】解：，，

．

为的中点，

，

的长为．

点是线段的中点，

理由：由得，

，

，

，

点是线段的中点．

【解析】根据，，得，由为的中点，即可得；

证明，即可得点是线段的中点．

23.【答案】解：，，

，

，

故答案为：．

是方程的解，

，

，

故答案为：．

解关于的方程，

得，

解关于的方程，

得，

两方程的解相同，

，

，

．

故答案为：．

【解析】把、的值代入等式，求即可；

把的值代入等式，求、的关系式；

分别解两个关于的方程，令解得解相等，求出的值．

24.【答案】解：，

，

故答案为：．

当时，即时，

，，

，

．

当时，即时，

，，

．

综上，的值为或．

当时，即时，

的值取，

，

，

同理：当时，，

当时，，

当时，，

式子的值的和为：，

，

，

，

式子的值的和的最大值为．

当时，即时，

的值取，

，

，

同理：当时，，

当时，，

当时，，

式子的值的和为：，

，

，

为整数，

的最大值为．

式子的值的和的最大值为，

综上，式子的值的和的最大值为，

故答案为：．

【解析】利用新运算的规定解答即可；

利用新运算的规定和分类讨论的思想方法转化成方程，解方程即可得出结论；

利用新运算的规定和分类讨论的思想方法分别求得的值，相加后利用不等式的性质解答即可．

25.【答案】解：如图所示：

，

当时，，

是角平分线．

，

．

故答案为：．

，

当时，．

平分，

，

．

，，

，

，

．

的度数为．

【解析】，当时，即，是角平分线，计算求值即可；

，当时，即，平分，计算求值即可．

26.【答案】解：．

对数组：，，，若的最大值为，

将各数乘得：，，．

是一条长为个单位长度的线段，且这三个数都可以用线段上的某个点来表示，

或，

解得：或．

的值为或．

．

的最大值为，相应的的最小值．

【解析】分析：利用收纳系数的定义解答即可；

根据分类讨论的思想方法，利用收纳系数的定义列出方程解答即可；

利用收纳系数的定义求出的最小值，进而求得数组中的最大值，利用最小值为即可求得的最大值；

利用收纳系数的定义列出不等式，解不等式即可得出的最大值，再依据值和收纳系数的定义解答即可．
 

解：，，，，

不可能为；

，，，，

不可能为．

，，，，

可能为．

故答案为：．

见答案

，

．

个连续整数中第一个整数为，

，

，

的最小值．

设数组中的最大的数为，

，

，

的最大值为，

的最大值为．

当时，

这个数是连续整数，

数组中的最大的数与最小数之差为，

的最大值．

的最大值为．

当中间的数字为时，的值最小．

，

第个或第个数字为时，的值最小．

当个数字为时，，，

；

当个数字为时，，，

．

综上，的最大值为，相应的的最小值．