2022-2023学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  二次函数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分．在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关．下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列事件中是随机事件的是(    )

A. 明天太阳从东方升起 B. 经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C. 平面内不共线的三点确定一个圆 D. 任意画一个三角形，其内角和是

4.  如图，在中，弦，相交于点，，，则的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是(    )

A. 先向右平移个单位，再向上平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 先向右平移个单位，再向下平移个单位
D. 先向左平移个单位，再向上平移个单位

6.  要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式每两队之间都只赛一场，计划安排场比赛．如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，

根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  一元二次方程的解是          ．

10.  已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在          填“内”“上”或“外”．

11.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为          ．

12.  圆心角是的扇形的半径为，则这个扇形的面积是          ．

13.  点是抛物线上一点，则的值是          ，点关于原点对称的点的坐标是          ．

14.  已知二次函数满足条件：图象过原点；当时，随的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：          ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径画圆．将绕点逆时针旋转得到，使得与轴相切，则的度数是          ．

16.  如图，是的直径，为上一点，且，为圆上一动点，为的中点，连接若的半径为，则长的最大值是          ．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

17.  解方程：．

四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分

已知：点，，在上，且．

求作：直线，使其过点，并与相切．

作法：连接；

分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；

作直线．

直线就是所求作直线．

使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；

完成下面的证明．

证明：连接，，

，

四边形是菱形．

点，，在上，且，

________填推理的依据．

四边形是正方形．

，即．

为半径，

直线为的切线____填推理的依据．

19.  本小题分

已知二次函数．

将化成的形式，并写出它的顶点坐标；

在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；

当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围．

20.  本小题分

如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，若，，求的面积．

21.  本小题分

在学习用频率估计概率时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共个，这个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．

根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是____，其中红球的个数是____；

如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．

22.  本小题分

如图，在四边形中，，是对角线，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，，．

求的度数；

若是等边三角形，且，，，求的长．

23.  本小题分

已知关于的方程．

求证：方程有两个不相等的实数根；

设此方程的两个根分别为，，且，若，求的值．

24.  本小题分

如图，在中，，，点是上一点，以为圆心，长为半径作圆，使与相切于点，与相交于点过点作，交的延长线于点．

若，求的半径；

连接，求证：四边形是平行四边形．

25.  本小题分

跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系已知，，落点的水平距离是，竖直高度是．

点的坐标是____，点的坐标是____；

求满足的函数关系；

运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．

26.  本小题分

在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且．

当时，求的值；

点，，在抛物线上，若，判断，与的大小关系，并说明理由．

27.  本小题分

如图，在中，，，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．

依题意，补全图形，并证明：；

求的度数；

若为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

28.  本小题分

给定图形 和点，，若图形上存在两个不重合的点，，使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合．在平面直角坐标系中，已知点，，．

在点，，中，与点关于线段 双对合的点是____；

点是轴上一动点，的直径为，

若点与点关于双对合，求的取值范围；

当点运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点 的横坐标的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】根据二次函数的性质解答即可．

【解答】解：二次函数，

当时，最小值是，

故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【解答】解：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．

故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．

【解答】解：、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；

、经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，符合题意；

、平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，不符合题意；

、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，不符合题意；

故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】根据圆周角定理以及三角形的内角和定理可求出答案．

【解答】解：，，

，

故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】先通过抛物线解析式得到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．

【解答】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，

将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到抛物线．

故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，个球队比赛总场数，
由此可得出方程．

【解答】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，

由题意得，，

故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求得与的度数，再由旋转性质得与的度数，并得，根据等腰三角形与三角形的内角和定理求得的度数，便可求得．

【解答】解：，，

，

由旋转性质知，，，

，

，

故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】利用二次函数的图象的对称性求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得，的值，再利用二次函数与直线的交点的特性解答即可．

【解答】解：由表中信息可知：抛物线经过点和，

抛物线的对称轴为直线，

，

．

根据表中信息，抛物线经过点，

，

，

解得：

抛物线的解析式为．

，

该抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口方向向下，抛物线经过
，．

当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，

．

故选：．

9.【答案】， 

【解析】

【分析】方程变形后，开方即可求出解．

【解答】解：方程变形得：，

开方得：，

解得：，．

故答案为：，

10.【答案】外 

【解析】

【分析】根据的半径为和点到圆心的距离的大小关系判断即可．

【解答】解：的半径为，点到圆心的距离为，，

点在外．

故答案为：外．

11.【答案】 

【解析】

【分析】由判别式求解．

【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根，

，

解得．

故答案为：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】根据扇形的面积公式计算，即可得出结果．

【解答】解：该扇形的面积．

故答案为：．

13.【答案】

【解析】

【分析】将代入即可求得的值，进一步求得点关于原点对称的点的坐标．

【解答】解：点是抛物线上一点，

，

，

点关于原点对称的点的坐标是．

故答案为：，．

14.【答案】 

【解析】

【分析】根据该函数的增减性确定其系数的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式．

【解答】解：当时，随的增大而增大，

抛物线方程中的二次项系数，对称轴是直线．

图象过原点，

抛物线方程中的常数项符合题意．

答案不唯一，如：．

15.【答案】或 

【解析】

【分析】分两种情况，一是点在第一象限，设与轴相切于点，连接、，由切线的性质得，由旋转的性质得，，根据勾股定理求得，则，此时；二是点在第二象限，设与轴相切于点，连接、，则，此时．
【解答】解：如图，点在第一象限，设与轴相切于点，连接、，

，

，

的半径为，，

，

由旋转得，

的半径为，

，

，

，

，

．

如图，点在第二象限，设与轴相切于点，连接、，

，

，

，，

，

，

，

．

故答案为：或．

16.【答案】 

【解析】

【分析】根据题意得出点的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．

【解答】解：如图，当点在上移动时，的中点的轨迹是以为直径的，

因此交于点，此时的值最大，

由题意得，，，

在中，，，

，

，

故答案为：．

17.【答案】解：

，

则，

解得：，．

【解析】

【分析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案．  

18.【答案】解：补全图形，如图所示：

证明：连接，，如图：

，

四边形是菱形．

点，，在上，且，

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

四边形是正方形．

，即．

为半径，

直线为的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【解析】

【分析】按要求作图即可；

证明四边形是正方形，即可得，从而证明直线为的切线．

19.【答案】解：．

该函数的顶点坐标为．

，

该函数的顶点坐标为，与轴的交点为，，经过点和点，

函数图象如下图所示．

当时，由图象可知，的取值范围是．

【解析】

【分析】根据配方法，可以将题目中的函数解析式化为顶点式，然后即可写出顶点坐标；

先求出抛物线的顶点坐标，与轴的两个点，及其它的两个点，然后即可画出相应的函数图象；

根据中的函数图象，可以写出当时，函数值的取值范围．

20.【答案】解：设的半径是，

点是的中点，过圆心，

，

，，

，，

，

，

，

，

的面积．

【解析】

【分析】设的半径是，由勾股定理，垂径定理求出圆的半径，由三角形的面积公式即可计算。  

21.【答案】解：，；

由可知帆布袋中有个红球和个白球．

列表如下：

可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有种，即白，红，白，红，白，红，红，红，红，红，红，红，且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球记为事件共有种结果，即白，红，白，红，白，红，

所以摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率是．

【解析】

【分析】通过图中的数据，随着次数的增多，摸到红球的频率越稳定在左右，得出红球的概率，再用红球的概率乘总球数，即可得出红球的个数；

列表得出所有等可能的情况是，找出符合条件的情况是，然后根据概率公式即可得出答案．

22.【答案】解：将点绕点逆时针旋转得到点，

，，

是等边三角形，

，

的度数为．

是等边三角形，

，．

，

，

．

，

≌，

．

，，

，

在中，，

，

的长为．

【解析】

【分析】由旋转的性质可得，，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答；

利用等边三角形的性质可得，，再利用等式的性质可得，从而利用证明≌，进而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答．

23.【答案】证明：

，

方程有两个不相等的实数根．

解：解方程，得，

，

，，

，

，

．

【解析】

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；

利用因式分解法可得出方程的根，结合，根据，即可找出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

24.【答案】解：连接．

，，

．

与相切于点，

，

是等腰直角三角形，

，

，

．

故的半径为．

证明：在与中，

≌，

，

．

，

，

  ，

  ，

四边形是平行四边形．

【解析】

【分析】连接，根据等腰直角三角形的判定和性质以及切线的性质即可得到结论；

根据全等三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，
根据平行线的判定定理得到  ，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．

25.【答案】解：，．

把，代入得：

解得，

所以二次函数的表达式为．

如图，作  轴分别交抛物线和于、两点．

，

，

设线段的关系式为，则，

解得：，

所以线段的关系式为．

设，则，

则，

，

当时，有最大值，最大值为．

答：运动员到坡面竖直方向上的最大距离时水平距离是．

【解析】

【分析】根据题意可知直接求出，坐标；

把，坐标代入，用待定系数法求函数解析式即可；

作  轴分别交抛物线和于、两点，先求出的关系式，再分别表示出、的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案．

26.【答案】解：，

当时，得，

．

，对称轴为直线，

．

．

理由：，

，

．

，

，

．

点关于直线的对称点的坐标是，

．

．

，

当时，随的增大而增大，

．

【解析】

【分析】将的值代入抛物线和，然后即可求得的值；

先求出的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得到，与的大小关系．

27.【答案】如图．
证明：，

，

在和中，

≌，

．

解：≌，

，

，

，

，

．

解：结论：．

理由：如图，延长到，使得，连接．

在和中，

，

≌，

，

  ，

．

，

．

，，

，

在和中，

，

≌，

，

，

．

【解析】

【分析】证明≌，可得；

证明，可得结论；

结论：如图，延长到，使得，连接利用全等三角形的性质证明，可得结论．

28.【答案】解：、；

设，

，，

点关于点对称点为，点关于点对称点为，

点与点关于双对合，

点关于点的对称点在以点为圆心，为半径的圆上，点关于点的对称点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示，

点与点关于双对合，

当圆与圆有交点，

，

，

解得．

，，，，

点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，

上任意一点关于点对称点在阴影区域，

上存在一点与上任意一点关于双对合，

阴影区域与圆有公共交点，

阴影部分是由边上任意一点为圆心，为半径的圆构成的区域，

如图时，，解得；

如图时，，解得；

时，上存在一点与上任意一点关于双对合；

过点作交于，直线交轴于点，

设直线的解析式为，

，

解得，

，

，

直线与平行，

，

，

如图时，，解得，

如图时，，解得，

时，上存在一点与上任意一点关于双对合；

综上所述：或时，上存在一点与上任意一点关于双对合．

【解析】

【分析】

当点是点的中点时，对应点为；当点是点的中点时，对应点为；

当点是点的中点时，对应点为；当点是点的中点时，对应点为；

当点是点的中点时，对应点为；当点是点的中点时，对应点为；

当点是点的中点时，对应点为；当点是点的中点时，对应点为；

、与点关于线段双对合，

故答案为：、；

设，分别求出点关于点对称点为，点关于点对称点为，由题意可知点关于点的对称点在以点为圆心，为半径的圆上，点关于点的对称点在以为圆心，为半径的圆上，当圆与圆有交点时，点与点关于双对合再由，可得，求出的值即可；

分别求出点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，上的点的对称点在边上任意一点为圆心，为半径的圆构成的区域，当此区域与圆有公共交点时，上存在一点与上任意一点关于双对合，画出图形，分别求解即可．