高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题5.4   三角恒等变换

【知识清单】

知识点1．两角和与差的三角函数公式

（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；

S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；

S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；

T(α＋β)：tan(α＋β)＝；

T(α－β)：tan(α－β)＝.

（2）变形公式：

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；

.

（3）辅助角公式

一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ) .

知识点2．二倍角公式

（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：

S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

T2α：tan 2α＝.

（2）变形公式：

cos2α＝，sin2α＝

1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2

【考点分类剖析】

考点一  两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用

【典例1】（2021·全国高三其他模拟）已知点，为坐标原点，线段绕原点逆时针旋转，到达线段，则点的坐标为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】

根据三角函数的定义确定出终边经过点的的三角函数值，然后根据位置关系判断出的终边经过，结合两角和的正、余公式求解出的坐标.

【详解】

由的坐标可知在单位圆上，设的终边经过点，所以，

又因为由绕原点逆时针旋转得到，所以的终边经过点且也在单位圆上，

所以，

又因为，

所以，

故选：D.

【典例2】（2020·山东聊城�高一期末）角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由角的终边经过点，得，

因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的，

所以

，

故选：.

【典例3】【多选题】（2020·广东高一期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+）﹣cos（ωx+）（0＜ω＜6）的图象关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

因为，

由，，

因为，所以，，

由题意可得，，得，，

因为，所以或.

故选：BC.

【规律方法】

1.三角函数求值的两种类型：

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

2.三角公式化简求值的策略

(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．

(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．

(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．

3.给值求角问题，解题的一般步骤是：

(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；

(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；

(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．

【变式探究】

1.（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，.若，则的值是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

依题意，有：，，，，

＝.

故答案为：C.

2.（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）已知为锐角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

∵cos（α）（α为锐角），

∴α为锐角，

∴sin（α），

∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin

，

故选B．

3.（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．

【答案】

【解析】

由题意知：，，由，得，

，故答案为：.

【总结提升】

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

高频考点二  两角和与差的正切公式的应用

【典例4】（2021·安徽高三其他模拟（文））已知，为锐角，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由已知求出，再利用差的正切公式可求.

【详解】

因为，为锐角，所以.所以，，

又，

则.

故选：C.

【典例5】（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知为锐角，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由正切的二倍角公式求得，再由可求.

【详解】

因为，

所以

.

故选：A.

【规律方法】

1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．

2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．

提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用诱导公式化简．

【变式探究】

1. （2018年全国卷II文）已知，则__________．

【答案】.

【解析】

，

解方程得.

2. （2021·广东高三其他模拟）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则___________.

【答案】

【解析】

根据题意得到，，结合两角差的正切公式，即可求解.

【详解】

由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得，，

所以.

故答案为：.

【总结提升】

1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．

2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．

3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．

考点三  二倍（半）角公式的应用

【典例6】（2021·全国高考真题（文））若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】

，

，，，解得，

，.

故选：A.

【典例7】（2020·浙江高一期末）已知，若，则__；__.

【答案】7       

【解析】

因为，若，

故可得sin，cos.

则tan；

.

故答案为：7；.

【典例8】(2019年高考全国Ⅰ卷文)函数的最小值为___________．

【答案】

【解析】

，

，当时，，

故函数的最小值为．

【总结提升】

1.转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题

(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．

(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．

2.已知θ的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可

【变式探究】

1.（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知，，且．

（1）求角的大小；

（2），给出的一个合适的数值使得函数的值域为．

【答案】（1）；（2）的值可取．

【解析】

（1）根据，结合，可得或，再根据求解；

（2）由，根据值域为，结合正弦函数的性质求解．

【详解】

（1）因为，

所以，

又，所以，

可得或，可得或，

又，所以．

（2），

，

，

当时，，

当时，，

所以由题意可得，可得，

所以即可，的值可取．

2.（2020·河南林州一中高一月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2

【解析】

（Ⅰ）由题意得：

原式

（Ⅱ），

=．

【特别提醒】

1.倍角的含义：

对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．

2．公式的适用条件：

在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠＋且α≠kπ＋(k∈Z)，当α＝kπ＋(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式．

考点四  简单的三角恒等变换---化简与证明
【典例9】（2021·重庆一中高三其他模拟）已知，，，，则______．

【答案】

【解析】

注意综合已知条件，进一步缩小的范围，以及的范围，利用同角三角函数关系和二倍角公式正确求出，, 的值，由，利用两角差的正弦公式计算.

【详解】

，∴，，∴，又∵，

∴，∴，

，,

又∵，∴，又∵，∴，

∴

,

故答案为：.

【典例10】求证：.

【答案】见解析

【解析】左边＝＋

      ＝右边．

故原式得证．

【总结提升】

1.三角函数式化简的方法

(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．

(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．

2．三角函数式的化简遵循的三个原则

(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．

(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．

(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．

3．三角恒等式的证明方法

(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．

(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．

(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．

提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．

【变式探究】

1．（2021·全国高三其他模拟（理））若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据正切三角函数值，求得二倍角的三角函数值，由正弦的两角和公式求得结果.

【详解】

由知，，或，

则，

由知，，或，

则，

，

则

故选：C

2.（2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研）已知，满足，则的最大值为______.

【答案】.

【解析】由，

得

化为

，

，

，

的最大值为，

故答案为.

【总结提升】

将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的步骤

(1)将sinxcosx运用二倍角公式化为sin2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开．

(2)将(1)中得到的式子利用asinα＋bcosα＝·sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式．