高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题7.2   等差数列及其前n项和

1．（2021·全国高三其他模拟（文））在等差数列中，已知，则公差（    ）

A．1 B．2 C．-2 D．-1

【答案】B

【解析】

设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式计算可得；

【详解】

解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得

故选：B

2．（2020·湖北武汉�高三其他（文））设等差数列的前项和为，若，，则公差等于（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】B

【解析】

，解得，

所以．

故选：B.

3.（2020·全国高三其他（理））已知为等差数列的前项和，若，则（    ）

A．12 B．15 C．18 D．21

【答案】B

【解析】

由，得，

所以.

故选：B.

4．（2019·浙江高三会考）等差数列的公差为d，前n项和为，若，则当取得最大值时，n＝（   ）

A．4    B．5    C．6    D．7

【答案】C

【解析】

根据题意，等差数列中，， 则， 又由为等差数列，则， 又由，则， 则当时，取得最大值； 故选：C．

5．（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（    ）

A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯

【答案】A

【解析】

由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.

【详解】

解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，

由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：

，

解得a1=64.4，d=﹣8.4，

所以a5=64.4﹣33.6=30.8，

即戊所得钱数为30.8贯.

故选：A.

6．（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为（  ）

A．          B．         C．       D．

【答案】D

【解析】

∵等差数列前n项和，

由S15>0，S16<0，得，∴，

若视为函数则对称轴在之间，∵，∴Sn最大值是，

分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，递减，前8项中递增，

∴前8项中最大最小时有最大值，∴最大．

7．（2019·全国高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.

【答案】100

【解析】

得

8.（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.

【答案】4.

【解析】

因，所以，即，

所以．

9.（2021·河南高三其他模拟（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.

【答案】64

【解析】

设{an}的公差为d.根据已知条件列出方程组，计算求解即可.

【详解】

设{an}的公差为d.因为，即所以，所以.

故答案为：64.

10.（2018·全国高考真题（理））记为等差数列的前项和，已知，．

  （1）求的通项公式；

  （2）求，并求的最小值．

【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．

【解析】

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．

由a1=–7得d=2．

所以{an}的通项公式为an=2n–9．

（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．

所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．

1．（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（      ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．

【详解】

解：令，，

由，可得，所以，即，

所以数列为等差数列，首项为，公差为1，

所以，

设，则数列是单调递增的等差数列，

若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；

若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.

（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，

取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；

（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，

此时数列为，，，，，，

由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，

由，则，，，，全为正，而，

这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，

所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．

故选：B.

2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（    ）

A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元

【答案】C

【解析】

本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.

【详解】

设等差数列的公差为，

由题意可知，五年累计总投入资金为：

，

因为，

所以，

当且仅当时取等号，

故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，

故选：C.

3．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

先根据条件分析出当时，集合中的元素个数为，进而可得，再结合裂项相消法进行求和可得结果.

【详解】

因为，所以，

所以在各个区间中的元素个数分别为：，

所以当时，的值域为，集合中元素个数为：

，

所以，

所以，

故选：D.

4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列的公差，为其前n项和，则的最小值为___________.

【答案】8

【解析】

利用，求得的值，然后利用等差数列求和公式求得，利用函数图象得的最小值可能为，或，分别求出，，，得出最小值.

【详解】

由于即,解得,

故,

作函数的图象，

故的最小值可能为，或，

而，，，

故的最小值为.

故答案为：8.

5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.

【答案】3

【解析】

当时，若有n个1，由题知，数列共有项，

当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，

所以前项中含63个1，其余均为x，从而根据前项的和为求得x.

【详解】

当时，若有n个1，由题知，数列共有项，

当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，

所以前项中含63个1，其余均为x，

故该数列的前项的和为，解得.

故答案为：3

6．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列的前项和为，满足，，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，记数列的前项和，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）当时，由，得，两式相减可得，从而可求出，当时，，求出，进而可出数列的通项公式；

（2）由（1）可得，从而可求出

【详解】

解：（1）设等差数列的公差为，则

由，得

相减得即，

又，所以，

由，得，

解得，(舍去)

由，得；

（2）

.

7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，根据，求得，得到，进而求得数列的通项公式；

（2）由（1）得到，利用累加法，求得，进而求得，利用裂项法求和，即可求解.

【详解】

（1）由题意，数列的前项和为，

可得，，

因为，所以，解得，

所以，，

因为当时，，

所以.

当时，符合上式，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）知，可得，

所以，

，

，

……，

，

所以，

又由，可得，

当时，，满足上式，

所以.

所以，

所以.

8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列满足，且，．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）数列的前项和为，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）将已知递推关系移项配方整理可得，进而利用等差中项法证明数列是等差数列；

（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.

【详解】

解：（1）由结合数列各项均为正数 得

则，所以数列是等差数列；

（2），则公差

∴，

∴.

9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）设各项均为正的数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项的和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由求出的值，当时，由与的关系推导出数列为等差数列，确定该数列的首项与公差，可求得的通项公式；

（2）计算出，然后利用等差数列的求和公式可求得.

【详解】

（1）令，则，可得，得；

当时，由可得，

两式相减得，即，

由数列的各项为正，可得，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

即数列的通项公式为；

（2）由得，则有，

因为

，

因此，.

10．（2019·浙江高三期末）在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.

（Ⅰ）求和；

（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.

【答案】（1），（2）整数的最小值是11.

【解析】

（Ⅰ）因为，即，所以是等差数列，

又，所以，从而.

（Ⅱ）因为，所以 ，

当时， ①

②

①-②可得，，即，

而也满足，故.

令，则，即，

因为，，依据指数增长性质，整数的最小值是11.

1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．

【答案】

【解析】

因为，所以．

即．

故答案为：.

2．（2020·海南省高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

【答案】

【解析】

因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以的前项和为，

故答案为：.

3.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．

【答案】0.    -10.   

【解析】

等差数列中,,得,公差,,

由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.

4.（2021·全国高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.

【答案】证明见解析.

【解析】

先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.

【详解】

∵数列是等差数列，设公差为

∴，

∴，

∴当时，

当时，，满足，

∴的通项公式为，

∴

∴是等差数列.

5.（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;

（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.

【详解】

（1）由已知得,且，,

取,由得,

由于为数列的前n项积，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,

,

当n=1时，,

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴.

6.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

（1）设等差数列的首项为，公差为，

根据题意有，

解答，所以，

所以等差数列的通项公式为；

（2）由条件，得，即，

因为，所以，并且有，所以有，

由得，整理得，

因为，所以有，即，

解得，

所以的取值范围是：