中考几何模型压轴题 专题15《角含半角模型》

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
专题15《角含半角模型》
破题策略
1． 等腰直角三角形角含半角
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45°
（1） △BAE∽△ADE∽△CDA
（2）BD2＋CE2＝DE2．
证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，
所以△BAE∽△ADE∽△CDA．
（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．
则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，
所以△ADE∽△FAE （ SAS ）．
所以DE＝ EF．
而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，
所以BD2＋ CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．
方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF．
因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，
又因为∠BAD＝∠DAF，
则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，
所以△FAE∽△CAE（SAS）．
所以EF＝ EC．
而DF＝BD， ∠DFE＝∠AFD＋ ∠AFE＝90°，
所以BD2＋ EC2＝ FD2＋ EF2＝ DE2．
【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且∠DAE＝45°，则BD2＋CE2＝DE2．
可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：

②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且∠DAE＝∠BAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为180°－∠BAC．
可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图：

2． 正方形角含半角
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，连结EF，则：

（1）EF＝BE＋DF;
（2）如图2，过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AD;
（3）如图3，连结BD交AE于点H，连结FH． 则FH⊥AE．
（1）如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADI证明．
则∠IAF＝∠EAF＝45°，AI＝AE，
所以△AEF∽△AIF（SAS），
所以EF＝IF＝DI＋DF＝BE＋DF．
（2）因为△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF，
所以AG＝AD．
（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F，H 四点共圆，
从而∠AHF＝180°－∠ADF＝90°，
即FH⊥AE．
【拓展】①如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC 的延长线上，∠EAF＝45°，连结EF，则EF＝DF－BE．
可以通过旋转的方法来证明.如图:

②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠C=180 °，点E，F分别在BC、CD上，∠EAF=∠BAD，连结EF，则EF=BE+DF.
可以通过旋转的方法来证明.如图:
例题讲解
如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°.
试判断BE、EF、FD之间的数量关系.
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD．∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍
有EF＝BE＋FD.
（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB＝AD
＝80m，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC，CD上分别有景点
E，F，且AE⊥AD．DF＝40（－1）m．现要在E、F之间修一条笔直的道路，求
这条道路EF的长．（结果取整数，参考数据：＝1.41，＝1.73）
解： （1）由“正方形内含半角模型”可得EF＝BE＋FD．
（2）∠BAD＝2∠EAF，理由如下：
如图4，延长CD至点G，使得DG＝BE．连结AG.
易证△ABE≌△ADG（SAS）.
所以AE＝AG，
即EF＝BE＋DF＝DG＋DF＝GF.
从而证得△AEF≌△AGF（ SSS）．
所以∠EAF＝∠GAF＝∠EAG＝∠BAD.

（3）如图5，将△ABE绕点A逆时针旋转1 50°至△ADG．连结AF．
由题意可得∠BAE＝60°
所以△ABE 和△ADG均为等腰直角三角形.
过点A作 AH⊥DG于点H．则
DH＝AD＝40m，AH＝ AD＝40 m.
而DF＝40（－1）m.
所以∠EAF＝∠GAF＝45°.
可得△EAF≌△GAF（SAS）．
所以EF ＝GF＝80m+40（－l）m≈109. 2m.
例2如图，正方形ABCD的边长为a，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MA N＝45°．连结MC、NC、MN．
（1）与△ABM相似的三角形是 ，BMDN＝ （用含有a的代数式表示）；
（2）求∠MCN的度数；
（3）请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系，并证明你的结论.
解：（1）△NDA，.
（2）由（1）可得，
所以．
易证∠CBM＝∠NDC＝45°，
所以△BCM∽△DNC．
则∠BCM＝∠DNC，所以
∠MCN =360°一∠BCD一∠BCM一∠DCN
＝270°－ （∠DNC+∠DCN）
＝270°－（180°－∠DNC）
＝135°．
（3） ，证明如下：
如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，连结EM.
易得AE＝AN. ∠MAE＝∠MAN＝45°，∠EBM＝90°，
所以△A ME≌△AMN.（SAS）.
则ME＝MN．
在Rt△BME中，
所以.
倒3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°.若CD＝4，求△ABE的面积.
解：如图1．过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点F.由∠DAC=45°，∠ADC＝90°，可得AD＝CD.
所以四边形ADCF为正方形.
从而AF＝ FC＝4．
令BC＝m，则AB＝4＋m，BF＝4－m．
在Rt△AFB中，有16＋（4－m）2一（4＋m）2
所以AB＝5，BF＝3．
如图2．将△ADE绕点A逆时针旋转90°至△AFG.
易证△AGH≌△AEB．
令DE＝n，则CE＝4 －n，BE＝BG＝3＋n
在Rt△BCE中，有1+（4－n）2＝（3＋n）2，解得n＝.
所以BG＝.
从而.
进阶训练
1.如图，等边△ABC的边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC＝120°，BD＝CD，∠MDN ＝60°，求△AMN的周长．

△AMN的周长是2
【提示】如图，延长AC至点E，使得CE ＝BM，连结DE .先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN即可.
2．如图，在正方形ABCD中，连结BD，E、F是边BC，CD上的点，△CEF的周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，试判断线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．
解：BM2＋DN2＝MN2．
【提示】由△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构造辅助线解决问题（如图1），证△AEF≌△AGF，得∠MAN＝∠BAD＝4，然后，再由“等腰直角三角形含半角”（如图2）即可证得．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，DE⊥BC于点E，且DE＝BC，点F在边AC上，连结BF交DE于点G，若∠DBF＝45°，DG＝，BE＝3，求CF的长．
解：CF＝．
【提示】如图，将DE向左平移至BH，连结HD并延长交AC于点I，则四边形HBCI为正方形．将△BHD绕点B顺时针旋转90°至△BCJ，则点J在AC的延长线上．连结DF，由“正方形角含半角模型”可得DF＝DH＋CF，∠DFB＝∠JFB＝∠DGF，所以DF＝DG，从而求得CF的长．