还剩5页未读，继续阅读

下载需要10学贝

使用下载券免费下载

加入资料篮

立即下载

所属成套资源：中考压轴题（几何模型30讲）

成套系列资料，整套一键下载

浏览整套资料 (共30份)

中考几何模型压轴题专题23《平行四边形的存在性》

展开

这是一份中考几何模型压轴题专题23《平行四边形的存在性》，共8页。

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。

专题23《平行四边形的存在性》

破解策略

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知

识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高，

这类题，一般有两个类型：

（1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：

以A，B，C三点为顶点的平行四边形构造方法有：

①_x0001_ 作平行线：如图，连结AB，BC，AC，分别过点A，B，C作其对边的平行线，三条直线的交点为D，E，F．则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形．

②倍长中线：如图，延长边AC，AB，BC上的中线，使延长部分与中线相等，得点D，

E，F，连结DE，EF，FD．则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形．

（2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题：

先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问

题，再构造平行四边形．

解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需

要分类讨论．

通常这类问题的解题策略有：

（1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答．

如图，若AB∥CD且AB＝CD，分别过点B，C作一组平行线BE，CF，分别过点A，D作一组平行线AE，DF，则△AEB ≌△DFC，从而得到线段间的关系式解决问题．

（2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．

如图．已知平行四边形ABCD．连结AC，BD交于点O．设顶点坐标为A（xA，yA）．B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）．

①_x0001_ 用平移的性质求未知点的坐标：

②利用中点坐标公式求未知点的坐标：

有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．

例题讲解

例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A（3，0），B（0，﹣3），P是直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．

（1）分别求出直线AB和这条抛物线的表达式；

（2）是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）将点A，B的坐标代入抛物线的表达式，得y＝x2－2x＋3．设直线AB的表达式为y＝kx＋b，将点A，B的坐标代入，得y＝x－3．

（2）存在．

因为PM∥OB，所以当PM＝OB时，四边形即为平行四边形．

根据题意设点P的坐标为（p，p－3），则点M的坐标为（p，p2－2p－3）．

所以．

解得，故满足条件的点P的横坐标为．

例2 边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，D是OA边的中点，连结CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC，以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）M为直线上一动点，N为抛物线上一动点，问：是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

解（1）如图1，过点E作EG⊥x轴于点G．

易证△ODC≌△GED（AAS），所以．

所以点E的坐标为（3，1）．

而直线AB为抛物线的对称轴，直线AB的表达式为x＝2，

所以可设抛物线的表达式为y＝a（x－2）2＋k，

将C，E两点的坐标代入表达式，得解得

所以抛物线的表达式为

（2）存在．

由题意可设点M的坐标为（2，m），N的坐标为．

以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：

①当DE为平行四边形的边时，

（i）如图2，若DE∥MN，MD∥NE，

由平移的性质可得

解得

此时点M的坐标为（2，1），N的坐标为（4，2）．

（ii）如图3，若DE∥MN，ME∥ND．

由平移的性质可得

解得

此时点M的坐标为（2，3），N的坐标为（0，2）．

②当DE为平行四边形的对角线时，如图4．

由平行四边形对角线互相平分性质可得

解得

此时点M的坐标为，N的坐标为

例3 如图，抛物线的顶点为D（－1，－4），与y轴交于点C（0，－3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

解（1）将点C，D的坐标代入抛物线的表达式，得

（2）存在．

令

所以点A的坐标为（－3，0），B的坐标为（1，0）．

由点F在抛物线上可设点F的坐标为．

方法一：①如图1、图2，当AC为平行四边形的边是，

图1 图2

过点F作FP垂直于抛物线的对称轴，垂足为P．

易证△PEF≌△OCA．

所以PF＝AO＝3，

从而点F的坐标为（2，5）或（－4，5）．

②如图3，当AC为平行四边形的对角线时，

过点F作FP⊥y轴于点P．令抛物线的对称轴交x轴于点Q，

易证△PCF≌△QEA．

所以PF＝AQ＝2，从而点F的坐标为（－2，－3），此时点F与点C纵坐标相同，所以点E在x轴上．

图3

方法二：①如图3，当AC，EF为平行四边形的对角线时，

可得

又因为点E在抛物线的对称轴上，

所以m＝－2，

则点F的坐标为（－2，－3）．

②如图1，当AE，CF为平行四边形的对角线时，

可得

又因为点E在抛物线的对称轴上，

所以m＝－4，

则点F的坐标为（－2，－3）．

③如图2，当AF，CE为平行四边形的对角线时，

可得

又因为点E在抛物线的对称轴上，所以m＝2．

则点F的坐标为（2，5）．

综上可得，满足平行四边形的点F的坐标为（－2，－3）（－4，5）（2，5）

进阶训练

1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD//BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝28cm，点P从点A出发，沿AD以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，沿CB以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．问：从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD成为平行四边形？

2．如图，抛物线y＝ax² ＋bx＋c 过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，抛物线的顶点位P．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直线y＝2x＋3上是否存在点M，使得以A，P，C，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴．y轴建立平面直角坐标系．若点N在过O．D．C三点的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，问是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在．请求出M点坐标;若不存在，请说明理由．