2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高二下学期5月月考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高二下学期5月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知数列满足，，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】先由递推公式求出数列的前6项，归纳出数列的周期为3，即可求出.

【详解】因为数列满足，，

所以，，，，……

由此归纳得数列是周期数列，数列的周期为3.

所以.

故选：B

2．已知等差数列的前项和为若则的值为（    ）

A．18 B．17 C．16 D．15

【答案】D

【分析】先由得到，再利用解出即可.

【详解】因为，故，又，

故，所以.

故选：D.

3．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小，他至少要经过几小时才可以驾驶机动车（精确到小时）（    ）

A．5小时 B．4小时 C．3小时 D．2小时

【答案】B

【分析】设个小时后才可以驾车，根据题意可知，每单位时间内酒精下降的量成等比数列，进而可得方程，求得．

【详解】解：设个小时后才可以驾车，

由题得方程，即，因为，，所以，

即至少要经过4小时后才可以驾驶机动车．

故选：B．

4．在等比数列中，()，公比，且，又与的等比中项为，，数列的前项和为，则当最大时，的值等于（   ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】B

【解析】由，利用等比数列的性质得到，再由与的等比中项为，得到，两者结合求得公比，进而得到，，，然后由通项公式法求解.

【详解】∵，

∴，

即，

又，

∴，又，

∴，

又，则，，

∴，

则，，，

数列的前项和为，

则，

则当时，，当时，当时，

∴最大时的值为或，

故选：B.

【点睛】方法点睛：求等差数列前n项和的最值的常用方法：

1、函数法：根据等差数列前n项和的函数表达式，利用二次函数的性质求解；

2、利用等差数列的单调性，求出其正负转折项求解.

当时，满足的项数m使得取得最大值；

当时，满足的项数m使得取得最小值.

5．已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数的定义和运算法则求解.

【详解】解：因为，

所以，则，

所以，

.

故选：D

6．为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．

给出下列四个结论：

①    在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

②    在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③    在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

④    在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.

其中所有正确结论的序号是（   ）

A．①② B．①③④ C．②③ D．①③

【答案】D

【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的斜率，平均变化率是，再结合图象，逐一判断选项即可．

【详解】解：对于①，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正确；

对于②，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即②错误；

对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在，内，血管中药物浓度的平均变化率均为，即③正确；

对于④，在，和，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，即④错误．

故正确的只有①③；

故选：D．

7．函数在处的导数是（　　）

A．1 B． C．e D．

【答案】B

【分析】对函数求导，根据导函数求处的导数.

【详解】由题意，，故.

故选：B

8．已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先由的图象，确定的单调性，再根据图象斜率的变化情况，判断的单调性，最后由函数的凹凸性进行判断，即可得到答案．

【详解】由函数的图象可知，

当时，单调递增，

所以，，，

由此可知，在上恒大于0，

因为直线的斜率逐渐增大，

所以单调递增，结合导数的几何意义，

故，

所以，

故选：A．

9．已知，且满足，为自然对数的底数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，利用导函数研究函数的单调性判断即可.

【详解】解：因为在上单调增，，所以，故A、D错误；

构造函数，则，，

当时，，单调增，

当时，，单调减，

因为，，即，又，

所以，，，，

所以，

所以，，，即，

所以，故B正确.

故选：B.

10．定义在R上的函数的导函数为，且的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减

C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值

【答案】D

【分析】先由函数图像得到在各区间上的正负，再判断单调性及极值即可.

【详解】由图像知：当时，，当时，，当时，，

则函数在区间上单调递增，A错误，B错误；

函数在区间上单调递减，C错误；函数在单减，在上单增，在处取得极小值，D正确.

故选：D.

11．已知函数的导函数为的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据导函数的正负即可判断.

【详解】解：根据导函数的正负可判断，原函数的单调性为先增后减再增，故排除AD,

又C选项，递减区间斜率不变，故排除，

故选：B.

12．已知函数的两个极值分别为和，若和分别在区间与内，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由极值点的所在区间即可知的导函数的零点区间，应用根的分布可得，结合目标式的几何意义，即可求其范围.

【详解】函数的两个极值分别为和，

∴的两个根为，，

∵，别在区间与内，

所以化为：.

画出可行域如图（阴影部分），

设，点是可行域内部的点，

则表示直线的斜率，

由图象可得，或，

由得；由得，

所以，，因此或，

即的取值范围为

故选：A.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于，根据函数的极值点，求出所满足的等量关系，再由分式型目标函数的取值情况，利用数形结合的方法，即可求解.

二、填空题

13．若函数，且，则______________.

【答案】

【分析】由，可得与表达式，又，得到，可得：，即可解出原式.

【详解】

可得

.

又∴，

.

∴.

则

=

故答案为：

14．我国古代数学典籍《九章算术》的第七章“盈不足”中有一“两鼠穿墙”问题：有墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，则两鼠在第______天相遇．

【答案】3

【分析】利用已知条件，结合等比数列的求和，即可求得答案.

【详解】第一天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：；

第二天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：，两天总和：，

第三天：大老鼠与小老鼠应该能打洞尺数：，

所以两鼠在第3天相遇

故答案为：3

15．已知曲线在点处的切线的斜率为，则______．

【答案】

【分析】对求导，根据题设有且，即可得目标式的值.

【详解】由题设，且定义域为，则，

所以，整理得，又，

所以，两边取对数有，得：，即.

故答案为：.

16．设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】将问题转化为与有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，然后在同一坐标系中画出与的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围.

【详解】当时，由可得

，

令，则，

由，可得，

∴单调递增，单调递减，

当时，，

当时， ，显然不是函数的零点，

∴，令，

则

∴在单调递减，又，，，，

如图画出函数，和直线的大致图象，

由图象可得函数有三个零点，则.

故答案为：.

三、解答题

17．已知数列{an}是以2为公差的等差数列，a1， a2，a5成等比数列，数列{bn}前n项和为Sn，且Sn=n2+2n.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)记表示x的个位数字，如， 求数列的前20项的和T20.

【答案】(1)，bn =2n+ 1；

(2).

【分析】（1）根据等比中项可求出a1=1可得，再由求即可；

（2）根据新定义，分析{<an>}，{< bn> }均为周期数列，结合周期性根据裂项相消法求.

【详解】（1）由a1，a2， a5成等比数列可得，即，解得a1=1，

所以，又，

则有，

当n≥2时，，  

所以bn =2n+ 1，又满足此式

综上，.

（2）因为<an>，< bn >分别表示an，bn的个位数，

所以{<an>}，{< bn> }均为周期数列，且周期为5，

将数列中每5个一组，前20项和可分为4组，

其前20项的和T20为

18．已知数列{}满足，且（）．设．

(1)证明：数列{}为等比数列，并求出{}的通项公式；

(2)求数列{}的前2n项和．

【答案】(1)证明见解析，；

(2).

【分析】（1）由题设递推关系可得，结合等比数列定义证明{}为等比数列，进而写出通项公式；

（2）应用分组求和，将分为奇数项、偶数项的和，再由题设及等比数列前n项和公式求和即可.

【详解】（1）由题设，，

所以，又，

所以是首项为4，公比为2的等比数列，

所以，所以.

（2）

.

19．已知等差数列满足，，（）．

(1)求数列，的通项公式；

(2)数列的前n项和为，求．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意列出关于首项和公差的方程组，求得 ，继而求得；

（2）由（1）的结果，利用裂项相消的方法求和，求得答案 .

【详解】（1）由题意，可设等差数列的公差为 ，

则，解得，d＝2，

∴；

∴；

（2）∵，

．

20．已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的极值.

【答案】（1）；（2）极大值为：；极小值为：.

【分析】(1)结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求得结果；

(2)利用导数讨论函数的单调性，进而可得到函数的极值.

【详解】(1)由，得，

所以，

故曲线在点处的切线方程为：

；

(2)令或，此时函数单调递增；

令，此时函数单调递减，

所以当时，函数取得极大值，且极大值为，

当时，函数取得极小值，且极小值为.

21．运动员小王在一个如图所示的半圆形水域(O为圆心，AB是半圆的直径)进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP游泳至半圆上某点P处，再从点P沿着弧PB跑步至点B处，最后沿着线段BA骑自行车回到点A处，本次训练结束.已知，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2 m/s，4 m/s，10 m/s，设．

(1)若，求弧PB的长度；

(2)试将小王本次训练的时间表示为关于θ的函数，并写出的范围；

(3)请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由.

【答案】(1)500πm；

(2)，；

(3)不能，理由见解析.

【分析】(1)求出的弧度，从而根据弧长计算公式即可求出弧的长度；

(2)根据AP、、AB的长，根据时间等于路程除以速度即可求出的解析式；

(3)求出t(θ)的导数，判断t(θ)的单调性，根据t(θ)的单调性求出的最大值即可判断．

【详解】（1），弧PB的长度为；

（2）在中，过O作AP的垂线，

易知，

在扇形中，，

又，

小王本次训练的总时间：

，；

（3）由(2)得：，

令，得，，

t(θ)、随θ变化如下：

故当时，取得极大值，且是最大值，

的最大值是，

，，

，

，小王本次训练时间不能超到40分钟．

22．已知函数.

(1)求的导函数；

(2)设是的零点，求曲线在点处的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用求导公式直接求解即可，

（2）先求出，再根据导数的几何意义求解即可

【详解】（1）由，

得

（2）函数的定义域为，

由，得，，即，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为

，即