2023重庆市巴蜀中学高二下学期第一次月考数学试题含解析

高2024届高二（下）月考

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.

3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.等于（    ）

A.    B.    C.    D.

2.的展开式的第3项的系数为（    ）

A.-40    B.40    C.-80    D.80

3.以“课程涵养人生，教育向美而行”为主题的第4届课程博览会开幕了，4名同学从餐桌上的科学､重庆古迹遗址寻踪､高中生职业生涯规划三门选修课程中选择一门课程学习，每人限选其中的一门课程，有（    ）种不同的选法.

A.9    B.24    C.64    D.81

4.已知为递减等比数列，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

5.央视评价重庆是“最宠游客的城市.”现有甲､乙两位游客慕名来到重庆旅游，准备从洪崖洞､磁器口､长江三峡､大足石刻和天生三桥五个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件A为“甲和乙至少一人选择洪崖洞”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行.现要安排甲､乙等6名志愿者去四个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲､乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（    ）

A.120    B.240    C.360    D.480

7.已知为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且的延长线与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.不等式对任意都成立，则实数的最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.-1

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ）

A.是递增数列    B.数列中的最小项为

C.数列是等差数列    D.成等差数列

10.袋中有6个大小相同的小球，4个红球，2个黑球，则（    ）

A.从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为；

B.从袋中随机一次摸出2个球，则2个球都是黑球的概率为；

C.从袋中随机一次摸出2个球，则2个球是1红1黑的概率为；

D.从袋中随机依次一个一个不放回的取球，则前两次都是黑球的概率为

11.已知函数且，则下列说法正确的是（    ）

A.当时，函数在处的切线方程是；

B.当时，恒成立；

C.当有1个零点时，的取值范围为；

D.当时，有2个零点.

12.已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为.若双曲线的离心率，则下列说法正确的是（    ）

A.以为直径的圆与直线相切

B.

C.在直线上

D.的范围是

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数为的导函数，则__________.

14.的展开式各项系数的和是-1，则__________.

15.六名同学站成一排照相，其中甲､乙相邻，丙与甲乙都不相邻，则不同站法的种数是__________（结果用数字表示）

16.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴的交点为，则__________.

四､解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.

（1）求的单调区间；

（2）若在闭区间上的最大值为10，求的值.

18.等差数列的前项和为，其中成等比数列，且数列为非常数数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和记为，求.

19.如图，在圆柱中，是圆柱的一条母线，是底面圆的内接四边形，是圆的直径，为上一点.

（1）求证：；

（2）若是的中点，求二面角的余弦值.

20.袋中装有4个大小相同的小球，编号为，现从袋中有放回地取球2次.

（1）求2次都取得3号球的概率；

（2）记这两次取得球的号码的最大值为，求的分布列.

21.如图所示，已知分别为双曲线的左､右顶点，为直线上的动点，若直线与的另一交点为，直线与的另一交点为点.

（1）设直线的斜率分别是，求证：为定值；

（2）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.

22.已知函数.

（1）若，

（i）求的极值.

（ii）设，证明：.

（2）证明：当时，有唯一的极小值点，且.

高2024届高二（下）月考

数学参考答案

一､单选题

1.C  ，所以选C

2.B  由二项式展开式的通项公式得：，所以第3项系数为40.

3.D  因为每人限报一门课程，所以每人有3种选择，按照分步计数原理，共有种.

4.A  设递减等比数列的公比为，因为，

故，可得，

则公比，故，故

5.C  由题意知事件：“甲和乙至少一人选择洪崖洞”包含种情况，

事件：“甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择洪崖洞”包含种情

况，所以.

6.B  将6人按分成四组，且甲､乙在同一组的安排方法有种，

将6人按分成四组，且甲､乙在同一组的安排方法有种，

则甲､乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为.

7.D  如图所示：

由题意可知，，设，则，

由椭圆定义可得，

，

所以，

在中，由勾股定理有，即

8.A  不等式，

设，即求的最小值，

，其中

恒成立，时，

在单减，单增，

，所以选

二､多选题

9.AC  是公差为2的等差数列，，所以是递增数列，故选.

时，最小，故错误；

是等差数列，故选；

，故D错误.

10.BCD  对于A：概率为，所以错误；

对于B：概率为，所以正确；

对于C：概率为，所以正确；

对于D：概率为，所以正确.

11.ABD  对于A：当时，，

又，所以在处的切线方程是，A正确；

对于B：，

，B正确

设，则，

令

在单调递增，在单调递减，

时，时，

的大致图象如下：

当或或时，有1个零点，这样错误；

当时，有2个零点，这样正确；

12.ABC  设，其中.

设.

对于，过分别作的垂线，垂足分别为，

所以由切线长定理有，

则，

又因为，所以.

又，所以，同理可得.则在直线上，故正确；

对于，过作的垂线，垂足为因为，则，

设的中点分别为，则，且

，所以，

到距离为故正确.

对于，因平分平分，则.

在中，.由射影定理可得，

，故正确；

对于，设直线方程为，

将其与双曲线联立有：，消去得：，

则，

.又两点在双曲线右支，

则.

设，又由对称性设直线的倾斜角为，其中.

则.又由分析知，

则，所以，得，

则，

，

所以，

又在上单调递增，

则.故错误.

三､填空题

13.  .

14.-2  令，则的展开式各项系数的和是，所以.

15.144  甲乙看作一个整体，丙与他们去插空，所以共有种不同的站法.

16.  设，

则的垂直平分线为，则点，

则.

四､解答题

17.【答案】（1），由已知得，得，

解得.经验证可知符合题意，

于是，

由，得或，由，得，

所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（2）由（1）知，因为在区间上是单调递减函数，在

上是单调递增函数，又

所以其最大值为，解得.

18.【答案】解：（1）因为成等比数列，

所以，即，

又解得或（舍去），

所以.

（2），

19.【答案】（1）证明：因为是圆柱的一条母线，平面，

因为平面，所以.

因为是圆的直径，所以.

又平面，所以平面.

因为平面，所以.

（2）解：因为底面，

以点为原点，分别为轴､轴､轴正方向，

建立如下图所示空间直角坐标系，

因为，所以.

因为，所以，

所以是等边三角形，

所以.

则，因为是的中点，则，

，

因为底面，易知平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

由，取，可得，

因为，

由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为

20.【答案】解析：（1）2次都取得3号球的概率

（2）随机变量的取值为，则，

，

所以的分布列为：

21.【答案】（1）设，

为定值.

（2）设，则，由（1）得：

又，所以

设直线，

，

则，

，

将代入上式，化简得：

或

当时，此时直线为，经过定点与点重合，显然不成立，舍去；

当时，此时直线为，所以直线过定点.

22.【详解】（1）（i）若，则，

由，得.

当时，；当时，.

的单调递减区间为，单调递增区间为.

故的极小值为无极大值.

（ii）由（1）可知，的极值点为在上单调递减，在上单调递增，当时，.又

不妨设，则若，则，

设，则.

设，则为增函数，

则.

，则在上为增函数，，

即.

，又在上单调递减，

，即.

（2），记，，

当时，，

当在单调递减，

当在单调递增，

，

在单调递增，即在单调递增，

使

当在单调递减，

当在单调递增，

所以当时，有唯一的极小值点，且

令，

在单调递减，

即.