2023年河北省石家庄四十二中中考数学一模试卷（含解析）

2023年河北省石家庄四十二中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数，，，中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )

A. 长方体
B. 三棱锥
C. 三棱柱
D. 正方体

3.  被誉为：“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜的反射面总面积约为，将用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列调查方式合适的是(    )

A. 为了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式
B. 为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用普查的方式
C. 调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式
D. 对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在菱形中，对角线、相交于点，为中点，，则线段的长为(    )
 

A.
B.
C.
D.

7.  如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，以下结论：；；；其中正确结论的个数为(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  分解因式：______．

10.  如图，，平分，交于，若，则的度数是______．

11.  “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐小文将它们背面朝上放在桌面上邮票背面完全相同，让小乐从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是        ．

12.  已知，、是一元二次方程的两实数根，则代数式______．

13.  如图，在中，已知，，，，则______．

14.  数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点处时，与平台中心点的水平距离为米，测得塔顶点的仰角为，塔底点的俯角为，则电视塔的高度为______米．

15.  将一组数，，，，，，按下列方式进行排列：，，，；，，，；
若的位置记为，的位置记为，则的位置记为______．

16.  如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以的速度沿向点运动运动到点即停止，点以的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为，的面积为，若与之间的函数关系的图象如图所示，当时，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
每年的月日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买台甲型设备比购买台乙型设备多花万元，购买台甲型设备比购买台乙型设备少花万元．
求甲、乙两种型号设备的价格；
公司决定购买甲、乙两种型号的设备共台，且该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过万元，你认为该公司甲种型号的设备至多购买几台？

19.  本小题分
某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级名学生，统计得到该名学生参加志愿者活动的次数如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

表格中的        ；
在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为        ，中位数为        ；
若该校初三年级共有名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为次的人数．

20.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点．
求反比例函数与一次函数的解析式；
直接写出的解集；
已知直线与轴交于点，点是轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点，当以，，，为顶点的四边形的面积等于时，求的值．

21.  本小题分
如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，点是的中点，．
求证：是的切线；
求的长．
 

22.  本小题分
周老师家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，她记录了天的销售数量和销售单价，其中销售单价元千克与时间第天为整数的数量关系如图所示，日销量千克与时间第天为整数的部分对应值如表所示：

求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画随的变化规律，请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
在这天中，哪一天销售额达到最大，最大销售额是多少元．
 

23.  本小题分
问题提出
如图，在和中，，，，点在内部，直线与于点线段，，之间存在怎样的数量关系？
问题探究
先将问题特殊化如图，当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系；
再探究一般情形如图，当点，不重合时，证明中的结论仍然成立．
问题拓展
如图，在和中，，，是常数，点在内部，直线与交于点直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．
 

24.  本小题分
如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．
，，三点的坐标为______，______，______．
连接，交线段于点，
当与轴平行时，求的值；
当与轴不平行时，求的最大值；
连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
最小的数是，
故选：．
根据正数大于，负数小于，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出答案．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又俯视图是一个三角形，
故该几何体是一个三棱柱．
故选：．
根据一个空间几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：将 用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：为了解全国中学生的视力状况，宜采用抽样调查的方式，因此选项A不符合题意；
B.为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，宜采用抽样调查的方式，因此选项B不符合题意；
C.调查全省七年级学生对新型冠状病毒传播途径的知晓率，宜采用抽样调查的方式，因此选项C符合题意；
D.对“天问一号”火星探测器零部件的检查，宜抽取全面调查的方式，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义，明确调查的可行性和实效性是得出正确答案的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式，不合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不合题意；
D、原式，不合题意；
故选：．
A、根据同底数幂乘法的运算法则判断即可；
B、根据同底数幂除法的运算法则判断即可；
C、根据合并同类项法则计算判断即可；
D、根据积的乘方与幂的乘方的运算法则判断即可．
此题考查的是同底数幂乘法、除法的运算、合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上中线的性质．
先根据菱形的性质得到，，，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上中线的性质得到的长．
【解答】
解：四边形为菱形，
，，，
在中，，
为中点，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，
，
弧的长为，
故选：．
求出圆心角的度数，再根据弧长的计算公式进行计算即可．
本题考查圆周角定理，弧长的计算，掌握弧长的计算公式是正确解答的前提，求出圆心角的度数是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：旋转得到，
，
四边形为正方形，，，在同一直线上，
，
，故正确；
旋转得到，
，，
，
，
，
∽，
，
，故正确；
设正方形边长为，
，，
，
，
∽，
，即，
是等腰直角三角形，
，
，，
∽，
，即，解得：，
，
，故正确；
过点作交于点，

，
，
，
，
，
，，
，
，故正确
综上所述：正确结论有个，
故选：．
利用旋转的性质，正方形的性质，可判断正确；
利用三角形相似的判定及性质，可知正确；
证明∽，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明∽即可求出可知正确；过点作交于点，求出，再证明，即可知正确．
本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．平方差公式：．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

10.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
，
．
故答案为：．
根据角平分线的定义，即可求得的度数，又由，根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数．
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，画树状图如下，

由图可得，一共有种等可能性的结果，
其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有种，
小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是，
故答案为：．
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
 

12.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两实数根，
，，
，
故答案为：．
由、是一元二次方程的两实数根，得，，即得．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．
 

13.【答案】 

【解析】解：和中，
，
≌，
，，
，
故答案为．
由已知条件易证≌，再根据全等三角形的性质得出结论．
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，米，，
米，
在中，米，，
米，
米，
故答案为：．
由三角函数的定义求出和的长，即可得出答案．
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：题中数字可以化成：，，，；，，，；
规律为：被开方数为从开始的偶数，每一行个数，
，是第个偶数，而，
的位置记为，
故答案为：．
先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，把被开方数全部统一成二次根式的形式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

在中，
，，
，
点的速度为，点的速度为，
，，
，
在和中，
，，
∽，
点在上运动时，为等腰直角三角形，
，
当点在上运动时，，
由图像可知，当此时面积最大，或负值舍去，
，
当时，过点作于点，如图：

此时，
在中，，，
在中，，，
，，，
，
即，
当时，，
故答案为：．
根据题意以及函数图像可得出∽，则点在上运动时，为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为时，此时，则，当时，过点作于点，结合面积公式，分别表示出相关线段可得与之间的函数解析式，最后代入求解即可．
本题考查了动点问题的函数图像，注意分类讨论，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：原式
，
当时，
原式． 

【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．
 

18.【答案】解：设每台甲型设备的价格为万元，每台乙型设备的价格为万元，
依题意得：，
解得：．
答：每台甲型设备的价格为万元，每台乙型设备的价格为万元．
设购买台甲型设备，则购买台乙型设备，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：该公司甲种型号的设备至多购买台． 

【解析】设每台甲型设备的价格为万元，每台乙型设备的价格为万元，根据“购买台甲型设备比购买台乙型设备多花万元，购买台甲型设备比购买台乙型设备少花万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买台甲型设备，则购买台乙型设备，利用总价单价数量，结合总价不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

19.【答案】     

【解析】解：由该名学生参加志愿者活动的次数得：，
故答案为：；
该名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
出现的最多，有次，
众数为，中位数为第，第个数的平均数，
故答案为：，；
人．
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为次的人数有人．
由题中的数据即可求解；
根据中位数、众数的定义，即可解答；
根据样本估计总体，即可解答．
此题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

20.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
当时，，
点，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的关系式为，
答：反比例函数关系式为，一次函数的关系式为；
由图象可知，不等式的解集为或；
一次函数的关系式为与轴的交点，即，
当以，，，为顶点的四边形的面积等于，
即，而，
，
即，

因此时，使以，，，为顶点的四边形的面积等于． 

【解析】把点坐标可确定反比例函数关系式，进而确定点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的关系式；
由图象的交点坐标以及函数的增减性直接得出答案；
利用点坐标和三角形的面积公式列方程求解即可．
本题考查一次函数、反比例函数图象的交点坐标，利用待定系数法求函数关系式以及由函数关系式求交点坐标是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，如图：

平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：是的中点，且，
是的中位线，，
，
，
是的直径，
，
又，
∽，
，即，
． 

【解析】连接，由平分，，可得，，根据，即可证明是的切线；
由是的中位线，得，再证明∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查圆的切线及圆中的计算，涉及圆周角定理、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
 

22.【答案】解：当时，设与的函数关系式为：，
把和代入得：，
解得：，
；
当时，，
综上所述，与为整数的函数关系式为：；
由表格规律可知：与的函数关系是一次函数，
当时，设解析式为：，
把和代入得：，
，
．
同理得时的解析式为：，
综上所述，与的函数关系式为：
设销售额为元，
当时，，
是整数，
当时，有最大值为：，
当时，，
是整数，，
当时，随的增大而减大，
当时，有最大值为：；
当时，，
，
随的增大而减小，
时，有最大值为：．
综合所述，在这天中，第天销售额达到最大，最大销售额是元． 

【解析】是分段函数，利用待定系数法可得与的函数关系式；
从表格中的数据上看，是成一次函数，且也是分段函数，同理可得与的函数关系式；
根据销售额销量销售单价，列函数关系式，并配方可得结论．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，确定变量，建立函数模型是解题关键．
 

23.【答案】解：如图，，，
，
，，
≌，
，，
故为等腰直角三角形，
故DE，
则；
即；

如图，由知，≌，

，，
过点作交于点，
，，
，
，，
≌，
，，
故为等腰直角三角形，则，
则，
即；

由知，，
而，，
即，
∽，
，
过点作交于点，

由知，，
∽，
，
则，，
在中，，
则，
即． 

【解析】证明≌，则为等腰直角三角形，故DE，进而求解；
由知，≌，再证明≌，得到为等腰直角三角形，则，即可求解；
证明∽和∽，得到，则，，进而求解．
本题是相似形综合题，主要考查了三角形全等和相似、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．
 

24.【答案】解：；；  ；
轴，，
，解得或，
，
，，
轴，
．
如图，过点作交于点，

直线的解析式为：．
设点的横坐标为，
则，．
，
，
，
当时，的最大值为．
假设存在点使得，即．
过点作轴交抛物线于点，

，，
，
延长交轴于点，
轴，
，
，
为等腰三角形，
，
，，
，
直线的解析式为：，
令，
解得或舍，
存在点满足题意，此时． 

【解析】解：令，则，
；
令，则，
或，
，．
故答案为：；；．
轴，，
，解得或，
，
，，
轴，
．
如图，过点作交于点，

直线的解析式为：．
设点的横坐标为，
则，．
，
，
，
当时，的最大值为．
另解：分别过点，作轴的平行线，交直线于两点，仿照以上解法即可求解．
假设存在点使得，即．
过点作轴交抛物线于点，

，，
，
延长交轴于点，
轴，
，
，
为等腰三角形，
，
，，
，
直线的解析式为：，
令，
解得或舍，
存在点满足题意，此时．
令，则，令，则，所以或，由此可得结论；
由题意可知，，所以，，由平行线分线段成比例可知，．
过点作交于点，所以直线的解析式为：设点的横坐标为，则，所以，因为，所以，由二次函数的性质可得结论；
假设存在点使得，即过点作轴交抛物线于点，由，可知平分，延长交轴于点，易证为等腰三角形，所以，所以直线的解析式为：，令，可得结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点的坐标．