高中数学新教材选择性必修第一册课件+讲义 第1章 习题课　空间向量应用的综合问题

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高中数学新教材同步课件选择性必修第一册 高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。习题课　空间向量应用的综合问题第一章　 空间向量与立体几何通过对空间向量的学习，能熟练利用空间向量求点、线、面间的距离、空间角及解决有关探索性问题.学习目标课时对点练一、利用空间向量求空间角二、利用空间向量求距离三、利用空间向量解决探索性问题内容索引一、利用空间向量求空间角例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝ AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；证明　如图，设AC，BD的交点为E，连接ME.∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PDB，平面MAC∩平面PDB＝ME，∴PD∥ME.∵四边形ABCD是正方形，∴E为BD的中点.∴M为PB的中点.(2)求平面BPD与平面APD的夹角；解　取AD的中点O，连接OP，OE.∵PA＝PD，∴OP⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP⊂平面PAD，∴OP⊥平面ABCD.∵OE⊂平面ABCD，∴OP⊥OE.∵底面ABCD是正方形，∴OE⊥AD.又平面PAD的一个法向量为p＝(0,1,0)，∴平面BPD与平面APD的夹角为60°.(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.设直线MC与平面BDP所成角为α，反思感悟　运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论.跟踪训练1　如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF＝ ∠DFE＝∠CEF＝45°.(1)求异面直线BC，DF所成角的大小；解　因为四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，所以AF⊥平面DCEF.又∠DFE＝∠CEF＝45°，所以，在平面DCEF内作DO⊥EF，垂足为点O，以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OD所在的直线为z轴建立空间直角坐标系(如图所示).∴D(0,0，a)，F(a,0,0)，B(－3a,4a,0)，C(－2a,0，a).(2)求平面BDE与平面BEC所成角的余弦值.设平面DBE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，取x1＝1得平面DBE的一个法向量为n1＝(1,0，－3)，设平面CBE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，取x2＝1得平面CBE的一个法向量为n2＝(1,0，－1)，设平面BDE与平面BEC的夹角为θ，二、利用空间向量求距离例2　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.解　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z).∴x＝－y，z＝－3y.取y＝1，则n＝(－1,1，－3).解　如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为△BCD与△MCD均为正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD＝CD，OM⊂平面MCD，所以MO⊥平面BCD.以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，三、利用空间向量解决探索性问题(1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB；证明　取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(2，－1,0)，C(0,1,0)，D(－1,0,0)，P(0，－1,2).∵点N为PC的中点，∴N(0,0,1)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，可得n＝(0,1,0)，又∵DN⊄平面PAB，∴DN∥平面PAB.(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；设直线AC与PD所成的角为θ，(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由.设平面ACM的一个法向量为m＝(a，b，c)，可得m＝(2－2λ，0，λ)，由图知平面ACD的一个法向量为u＝(0,0,1)，设BM与平面MAC所成的角为φ，∴φ＝30°.故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°.反思感悟　(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.(2)对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.跟踪训练3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝E为CD的中点，点F在线段PB上.(1)求证：AD⊥PC；证明　如图所示，在平行四边形ABCD中，连接AC，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos 45°＝4，得AC＝2，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又AD∥BC，所以AD⊥AC.所以PA⊥AD，又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以AD⊥PC.(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等.解　因为侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂侧面PAD，所以PA⊥底面ABCD，所以直线AC，AD，AP两两垂直，以A为原点，直线AD，AC，AP为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D(－2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(－1,1，0)，P(0,0,2)，易得平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1).设平面PDC的法向量为n＝(x，y，z)，令x＝1，得n＝(1，－1，－1).因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等，课时对点练1.已知两平面的法向量分别为m＝(1，－1,0)，n＝(0,1，－1)，则两平面的夹角为A.60° B.120° C.60°或120° D.90°√基础巩固12345678910111213141516即〈m，n〉＝60°.∴两平面所成角为60°.2.在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1的中点，F为线段C1D1上靠近D1的三等分点，则异面直线A1B与EF所成角的余弦值为√12345678910111213141516解析　如图，建立空间直角坐标系，则A1(3,0,0)，B(3,3,3)，123456789101112131415163.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为棱CC1的中点，则直线B1M与平面A1D1M所成角的正弦值是√12345678910111213141516解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，12345678910111213141516设平面A1D1M的法向量为m＝(x，y，z)，令y＝1可得z＝2，所以m＝(0,1,2)，设直线B1M与平面A1D1M所成角为θ，4.在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是√12345678910111213141516解析　方法一　建立如图所示的空间直角坐标系，12345678910111213141516设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，方法二　∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，∵AC＝AB＝4，12345678910111213141516令点C到平面PAB的距离为d，∵VP－ABC＝VC－PAB，5.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝ 则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为12345678910111213141516√解析　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，12345678910111213141516设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，取y＝1，得n＝(2,1,3).6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的角的余弦值为√12345678910111213141516解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，12345678910111213141516设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，∴n1＝(1,2,2)；∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，123456789101112131415167.设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________.12345678910111213141516解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).12345678910111213141516令z＝－2，则n＝(3,2，－2).12345678910111213141516解析　以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B(1,2,0)，P(0,0,2)，C(－1,2,0)，12345678910111213141516设平面PCO的法向量m＝(x，y，z)，设直线BM与平面PCO所成角为θ，9.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点.12345678910111213141516(1)求证：CF∥平面A1DE；证明　分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(2,0,2)，E(1,2,0)，D(0,0,0)，C(0,2,0)，F(0,0,1)，12345678910111213141516设平面A1DE的法向量n＝(a，b，c)，取n＝(－2,1,2)，又CF⊄平面A1DE，∴CF∥平面A1DE.(2)求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值.1234567891011121314151610.如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝ ＝2，O，M分别为CE，AB的中点.12345678910111213141516(1)求异面直线AB与CE所成角的大小；解　∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC.∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC.如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系.∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)，1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值.12345678910111213141516解　由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，12345678910111213141516设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)，令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1).设直线CD与平面ODM所成的角为θ，11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为√12345678910111213141516综合运用解析　以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，设正方体棱长为2，12345678910111213141516设异面直线B1C与EF的夹角为θ，异面直线B1C与EF所成角最小时，则cos θ最大，即m＝0时，1234567891011121314151612.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为______.12345678910111213141516解析　设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，12345678910111213141516设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，1234567891011121314151613.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为 则正四棱柱的高为____.412345678910111213141516解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1＝a，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0，a)，12345678910111213141516设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，解得a＝4.1234567891011121314151614.设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为锐角时，λ的取值范围是________.12345678910111213141516解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，12345678910111213141516因为∠APC为锐角，又因为动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，15.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的角的余弦值的取值范围是√拓广探究12345678910111213141516解析　设平面EFB与底面ABCD所成的角为θ，如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，AE＝m，FC1＝n，则D(0,0,0)，A(1，0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0，0,1)，E(1,0，m)，F(n,1,1).12345678910111213141516设平面EFB的一个法向量为n＝(x，y，z)，取x＝－1，则平面EFB的法向量为(－1，m(n－1)，n－1)，而底面ABCD的一个法向量为(0,0,1)，结合选项，当n＝1时，cos θ＝0，1234567891011121314151616.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动.(1)求证：D1E⊥A1D；12345678910111213141516证明　∵AE⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，∴AE⊥A1D.∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，∴A1D⊥AD1.∵AE∩AD1＝A，∴A1D⊥平面AED1.∵D1E⊂平面AED1，∴D1E⊥A1D.12345678910111213141516解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设棱AB上存在点E(1，t,0)(0≤t≤2)，12345678910111213141516A(1,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，取y＝1，得n＝(2－t,1,2)，12345678910111213141516整理，得t2＋4t－9＝0，