2023年湖北省武汉市洪山区东片区中考数学联考试卷（3月份）(含解析）

2023年湖北省武汉市洪山区东片区中考数学联考试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列事件中是必然事件的是(    )

A. 打开电视机，正在播放电视剧觉醒年代
B. 抛掷一枚质地均匀的骰子，点数六朝上
C. 随意翻到新华字典的某页，这一页的页码是奇数
D. 通常温度降到以下，纯净的水结冰

3.  在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形下面的汉字或字母不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在单词数学中任意选择一个字母，字母为元音字母、、、、的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  我国古代数学名著九章算术中记载：“今有竹高一丈、末折抵地，去本三尺问折者高几何？翻译：现有竹子高一丈，折断的末端撑着地，离地面竹根三尺远，问折断处离地面有多高？丈尺设折断处离地的高度为尺，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  甲，乙两车从地驶向地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲，乙两车行驶的路程与甲车行驶的时间的函数图象，则在乙车行驶的过程中两车相距时，乙车行驶的时间为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

9.  有一张矩形纸片，已知，，上面有一个以为直径的半圆，如图甲，将它沿折叠，使点落在上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分阴影部分的面积是(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  已知，是方程的两根，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  化简的结果是______．

12.  一家公司某部门名员工的月薪单位：元分别是：，，，，，，，这组数据的中位数是        ．

13.  已知点，在反比例函数是常数的图象上，且，则的取值范围是        ．

14.  如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在处仰望楼顶，仰角为，走到点处仰望楼顶，仰角为，眼睛、离同一水平地面的高度为米，米，则楼顶离地面的高度约是______ 米取，取，按四舍五入法将结果精确到．

15.  已知抛物线是常数，，且图象经过下列四个结论：；；当时，对于任意实数，有；当时，方程有两个不相等的实数根其中正确的是        填写序号．

16.  如图，是等边三角形，是的中点，是边上一动点，且从以个单位每秒的速度向出发设，，关于的函数图象过点，则图象最低点的坐标是        ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组请按下列步骤完成解答：

解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集为______ ．

18.  本小题分
如图，点、、分别是三角形的边、、上的点，，．
求证：．
若：：，，求．

19.  本小题分
推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长单位：小时的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：组，组，组，组，组进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

这次抽样调查的样本容量是______，组所在扇形的圆心角的大小是______；
将频数分布直方图补充完整；
若该市共有万名初中生，请你估计该市每周校外锻炼身体时长不少于小时的初中学生人数．

20.  本小题分
如图，为的切线，为切点，过作的垂线，垂足为点交于点，延长与交于点，与的延长线交于点．
求证：为的切线；
若，求．

21.  本小题分
如图是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
在图中画的高；
在图的线段上画一点，使得：：；
在图中点的右侧画一点，使且．
 

22.  本小题分
北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点正上方点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．
当小张滑到离处的水平距离为米时，其滑行高度最大，为米，直接写出，的值；
在的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
小张从点滑出，滑行的高度恰好在坡顶正上方时，与坡顶距离不低于米，求此时，的值或取值范围．

23.  本小题分
点在矩形的边上，在边上，、的延长线上交于点．
如图，点是的中点，延长交于，求证：点是的中点；
若点是的中点：
如图，连接，求证：；
如图，若，，直接写出的值为______．
 

24.  本小题分
平面直角坐标系中，已知抛物线：为常数与轴交于点，两点点在点左边，与轴交于点．
若，求点，，的坐标；
如图，在的条件下，为抛物线轴上方一点，连接，若，求点的坐标；
如图，将抛物线向左平移个单位长度与直线交于，点在点右边，若，求，之间的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是实数的性质及相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、打开电视机，正在播放电视剧觉醒年代，是随机事件，不符合题意；
B、抛掷一枚质地均匀的骰子，点数六朝上，是随机事件，不符合题意；
C、随意翻到新华字典的某页，这一页的页码是奇数，是随机事件，不符合题意；
D、通常温度降到以下，纯净的水结冰，是必然事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念逐项判断即可．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是理解并掌握中心对称图形的概念．
 

4.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方法则进行解答即可．
本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左边看，是一列两个小正方形．
故选：．
由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．
本题考查简单几何体的三视图，注意掌握从左边看得到的图形是左视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，为元音字母，出现四次，其概率为；
故选：．
总共有个字母，分别求出所求字母的个数，利用概率公式进行求解即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
由题意可知：直角三角形中，两直角边为尺，尺，斜边为尺，根据勾股定理，列一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知：
甲车的速度为：，
乙车的速度为：，
在乙车行驶的过程中两车相距时，设乙车行驶的时间为，
相遇前：，
解得；
相遇后：，
解得；
由上可得，在乙车行驶的过程中两车相距时，乙车行驶的时间为或，
故选：．
根据函数图象中的数据和题意，可以分别计算出甲车和乙车的速度，然后再根据题意可知：在乙车行驶的过程中两车相距，存在两种情况，相遇前和相遇后，然后列出相应的方程，再求解即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：设阴影部分所在的圆心为，与半圆弧交于点，如图，连接，过点作交于点，
，，
，
，，
，
，
在中，
，
，
，


，
故选：．
根据折叠和直角三角形的边角关系可求出，进而求出阴影部分所在的圆心角的度数为，再根据锐角三角函数求出的底和高，最后根据进行计算即可．
本题考查折叠轴对称，直角三角形的边角关系，扇形、三角形面积计算，掌握扇形和三角形面积计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，是方程的两根，
，，
，，



，
，是方程的两根，
，
原式．
故选：．
先根据一元二次方程解的定义得到，，则化为，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据算术平方根的性质直接写出结果即可．
本题考查了算术平方根的定义，算术平方根是一个正数正的平方根，难度不大．
 

12.【答案】 

【解析】解：先将原数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，；
故中位数为；
故答案为：．
求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
反比例函数图象经过二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
，且，
，解得：，
故答案为：．
先根据题意判断出反比例函数图象经过的象限以及增减性，再根据，即可写出的取值范围．
本题考查的是反比例函数的性质，解题关键是根据题中条件判断出反比例函数的增减性．
 

14.【答案】 

【解析】解：在直角中，，设，
，
在直角中，，则，
，
解得：，
，
则米．
答：楼顶离地面的高度约是米．
故答案为：．
根据锐角三角函数列式计算即可求出楼顶离地面的高度．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
时，，
即抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
即，
，
即、同号，
而的符号不能确定，所以不正确；
把代入得，所以正确；
当，抛物线开口向上，
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最小值，最小值为，
对于任意实数，有，
即，所以正确；
对于方程，
，，，
，
，
，
，
方程没有实数解，所以错误．
故答案为：．
先利用可判断抛物线与轴的一个交点坐标为，则利用抛物线与轴的交点问题得抛物线与轴的另一个交点坐标为，所以抛物线的对称轴为直线，则，然后根据的符号不能确定可对进行判断；把代入得，则可对进行判断；当，利用二次函数的性质得到时，有最小值，从而可对进行判断；对于方程，利用，计算根的判别式得到，则由得到，然后根据根的判别式的意义可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于也考查了根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征和抛物线与轴交点问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
则，，
函数图象过点，
时，，如下图：

当时，点、重合，则，
连接，
为等边三角形，点是的中点，
则，则，
即，
解得：，
如下图，作点关于的对称点，连接交于点，
此时，最小，即此时函数图象最低，

此时，，
则点是的中点，
过点作于点，
则，则是的中位线，
则，，
，
，

∽，
，
即，
在中，，，
则，
在中，，
，
则，
的最小值，
故答案为：．
由时，，得到等边三角形的边长，如下图，作点关于的对称点，连接交于点，此时，最小，即此时函数图象最低，此时，，进而求解．
本题为三角形相似综合题，考查了函数的基本性质、点的对称性、解直角三角形、三角形相似、等边三角形的性质等，正确理解题意是本题解题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得；
把不等式和的解集在数轴上表示出来如下：

原不等式组的解集为，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
；

解：：：，
：：，
，
∽，
，
，
． 

【解析】证明四边形是平行四边形，可得结论；
利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】   

【解析】解：这次抽样调查的样本容量是，
所以组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：、；
组人数为人，
补全图形如下：

估计该市每周校外锻炼身体时长不少于小时的初中学生人数为人．
由组人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以组人数所占比例即可；
根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中、组人数和所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率频数总数是正确解答的关键．
 

20.【答案】证明：于点，
，
，
，
，
，
为的切线，为切点，
，
，
是的半径，且，
为的切线．
解：，
，
，
，
设，，，则，
，
，
，
，
，
，
，
将代入，得，
整理得，
． 

【解析】根据垂径定理证明垂直平分，则，所以，而，则，即可证明为的切线；
由，得，则，所以，设，，，则，，由，得，则，所以，于是得，整理得，则．
此题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图中，线段即为所求作．
如图中，点即为所求作．
如图中，线段即为所求作．
 

【解析】取格点，连接交于点，线段即为所求作．
取格点，，连接交于点，点即为所求作．
取格线的中点，连接，取格点，格线的中点，连接交于点，线段即为所求作．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：由题意可知抛物线：过点和，
将其代入得：，
解得，．
，．
由可得抛物线方程为：，
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意得：
，
，
解得：，舍，
故运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米．
抛物线经过点，
，
抛物线：，
当时，运动员到达坡顶，
即，
． 

【解析】根据题意将点和代入求出、的值即可；
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意列出方程，解出即可；
求出山坡的顶点坐标为，根据题意即，再解出的取值范围即可．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】证明：点是的中点，
，
四边形是矩形，
，
∽，∽，
，，
，
，
点是的中点；
证明：如图，延长、交于点

点是的中点，
，
由得：，
又，
，
，
，
，，
；
如图，过点作于，

，
，
，
，
设，，
，
，
，
又，
∽，
，
设，，则，
，
点是中点，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
通过证明∽，∽，可得，，即可求解；
由可知，由线段垂直平分线的性质可得，可得，由平行线的性质可得结论；
设，，，，则，由勾股定理可求，的长，通过证明∽，可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：当时，抛物线为，
令得，
，
令得，
解得或，
，；
答：的坐标为，的坐标为，的坐标为；
过作轴于，过作于，如图：

由知，，，
，，，
在中，，
，
，
，
又，
，
，
，
设，则，，
，
解得或舍去，
；
过作轴交轴于点，过作轴，过作轴交于点，如图：

抛物线，
，，，
将其向左平移个单位，得到的抛物线的解析式为，
由设直线的解析式为，将代入得，
解得，
直线的解析式为，
由，得，
设点、的横坐标分别为、，则，，
，，
∽，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
整理得． 

【解析】当时，抛物线为，令得，令得，即可解得的坐标为，的坐标为，的坐标为；
过作轴于，过作于，由，，，可得，，，即得，，从而，设，则，，可得，即可解得；
过作轴交轴于点，过作轴，过作轴交于点，由抛物线，知将其向左平移个单位的抛物线的解析式为，用待定系数法可求得直线的解析式为，根据，设点、的横坐标分别为、，有，，而，可得，即，即，故，，代入可得．
本题考查二次函数综合应用，涉及锐角三角函数、三角形相似的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是通过正确地作出辅助线，构造所需要的图形，从而列出方程，求得结果，此题综合性强，计算繁琐，属于考试压轴题．