上海市格致中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

格致中学2022学年度第二学期第一次测验高一年级数学试卷

一、填空题：（本题共有10个小题，每小题4分，满分40分）

1. 若扇形圆心角为135°，扇形面积为，则扇形半径为______.

【答案】

【解析】

【分析】先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径.

【详解】依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为，则.

故答案为：

2. 在中，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦定理求解即可.

【详解】根据正弦定理可知，代入题中数据，可知，所以

故答案为：

3. ，则__.

【答案】##

【解析】

【分析】弦化切求解.

【详解】.

故答案为：

4. 已知函数，则方程的解________

【答案】1

【解析】

【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足的值，即求的值．

【详解】由题意得值即为值，

因为，

所以，

所以.

故答案为.

【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点，则反函数过点，考查对概念的理解和基本运算求解能力.

5. 已知，是第三象限角，则_____.

【答案】

【解析】

【分析】先利用两角和的正弦公式将条件变形得到，根据角所在象限可得，再利用两角差的正弦公式将展开计算即可.

【详解】由已知，

，又是第三象限角，

，

.

故答案为：.

6. 已知函数的图像关于点中心对称，则点的坐标是__________．

【答案】；

【解析】

【分析】由题意，对函数进行简化，可得，即可求得点的坐标.

【详解】，

函数的图像关于点中心对称，

点的坐标是.

故答案为：

【点睛】本题主要考查函数的中心对称点，对于分式形式可采用分离参数法求解，属于基础题.

7. 已知函数，则的最小正周期为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用倍角公式以及辅助角公式变形为的形式，进而可得周期.

【详解】

，

所以的最小正周期为.

故答案为：.

8. 函数的最小值是__________．

【答案】1

【解析】

【分析】化简可得，根据的范围结合二次函数的性质，即可求出函数的最小值.

【详解】，

因为，，根据二次函数的性质可知，

当时，函数有最小值为.

故答案为：1.

9. 已知，，若恒成立，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】

【分析】先利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可.

【详解】，，

，当且仅当，即时等号成立，

，解得.

故答案为：.

10. 已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.

【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数，

结合，作出函数在上的图象，如图示：

因为，

故时，即或，

则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不同的交点，

由图象可知，和的图象有6个不同的交点，

则和的图象需有2个不同的交点，即，

故，

则实数的取值范围为，

故答案为：

【点睛】方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解.

二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）

11. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断充分必要性即可．

【详解】由“”，解得：或，

故“”是“或”的充分不必要条件，

故选：A．

【点睛】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．

12. 已知曲线，，则下面结论正确的是（    ）

A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数图像的伸缩变换与平移变换的法则，即可得解．

【详解】已知曲线，把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，

再把曲线向左平移个单位长度，得到曲线，即曲线.

故选：C.

13. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.

【详解】，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间上单调递增，故A错误；

，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间上是单调递减，在区间上是单调递增，故B错误；

，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间上单调递增，故C错误；

，因为的最小正周期为，则此函数的最小正周期为；当时，，，则此函数在区间上单调递减，故D正确.

故选：D.

14. 已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且是钝角三角形，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】画出两函数图象，求出A纵坐标为，利用钝角三角形得到不等关系，求出答案.

【详解】作出函数和的图象，如图所示．由图可知．取的中点D，连接，则．因为是钝角三角形，所以，则，即．由，得，，即，，则，即A的纵坐标为，故．因为，所以，所以．

故选：D

三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤）

15. 已知.

（1）化简；

（2）已知，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系化简；

（2）直接利用倍角公式求解.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

由（1）得，

，

.

16. 已知函数．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求在区间上的最值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可；

（2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可.

小问1详解】

因为，

令，，

解得，，

所以的单调递减区间为.

【小问2详解】

令，由知，

所以要求在区间上的最值，即求在上的最值，

当时，，当时，，

所以.

17. 如图，是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/时.

（1）求两点间的距离；

（2）该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01）

【答案】（1）30海里   

（2）南偏东；小时

【解析】

【分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案；

（2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行.

【小问1详解】

依题意得，，

所以，

在中，由正弦定理得,

,

故（海里），

所以求两点间的距离为30海里.

【小问2详解】

依题意得，

在中，由余弦定理得，

所以（海里），

所以救搜船到达C处需要的时间为小时，

在中，由余弦定理得 ,

因为，

所以，

所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒

18. 已知、是函数，图像的两个端点，是上任意一点，过作轴交直线于，若不等式恒成立，则称函数在上“阶段性近似”.

（1）若，，证明：在上“阶段性近似”；

（2）若在上“阶段性近似”，求实数的最小值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】（1）根据对勾函数的图像与性质，得到，，满足，进而得到答案.

（2）由已知可得N和M的横坐标相同，根据以及，求出的范围，再由恒成立，求得实数的取值范围.

【详解】解：（1）证明：由题意得、可知的方程为：，

又是上任意一点，由已知得点和点的横坐标相同，

，，

又时，在上单调递减，在上单调递增，，

，

即满足在上“阶段性近似”；

（2）由题意得、，直线的方程是：

整理得，

，，

又在上“阶段性近似”，即，

，所以实数的最小值是.

【点睛】本题考查的是函数的新定义、直线的点斜式方程以及不等式恒成立，属于中档题.