2023年上海市杨浦区高考数学二模试卷（含答案解析）

这是一份2023年上海市杨浦区高考数学二模试卷（含答案解析），共14页。

3. 若在等差数列{an}中，a3=7，a7=3，则通项公式an=______.
4. 设(2x+1)5=a5x5+a4x4+a3x3+⋯+a1x+a0，则a3=______ .
5. 函数y=ln(2−3x)的导数是y′=______ .
6. 若圆锥的侧面积为15π，高为4，则圆锥的体积为______ .
7. 由函数的观点，不等式3x+lgx≤3的解集是______ .
8. 某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图(如图)估计：学生的平均成绩为______ 分.
9. △ABC内角A、B、C的对边是a、b、c，若a=3，b= 6，∠A=π3，则∠B=______ .
10. F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为______ .
11. 若存在实数φ，使函数f(x)=cs(ωx+φ)−12(ω>0)在x∈[π,3π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______ .
12. 已知非零平面向量a、b、c满足|a|=5，2|b|=|c|，且(b−a)⋅(c−a)=0，则|b|的最小值是______ .
13. 已知a、b∈R，则“a>b”是“a3>b3”的条件.( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
14. 对成对数据(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)用最小二乘法求回归方程是为了使( )
A. i=1n(yi−y−)=0B. i=1n(yi−y i)=0
C. i=1n(yi−y i)最小D. i=1n(yi−y i)2最小
15. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(−∞,0)上严格递减的是( )
A. y=2|x|B. y=ln(−x)C. y=x−23D. y=− x2
16. 如图，一个由四根细铁杆PA、PB、PC、PD组成的支架(PA、PB、PC、PD按照逆时针排布)，若∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=π3，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O到点P的距离是( )
A. 3B. 2C. 2D. 32
17. 已知一个随机变量X的分布为：
(1)已知E(X)=435，求a、b的值；
(2)记事件A：X为偶数；事件B：X≤8.已知P(A)=12，求P(B)，P(A∩B)，并判断A、B是否相互独立？
18. 四边形ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于O点，PA⊥平面ABCD，且二面角P−BC−A的大小为45∘.
(1)求点A到平面PBD的距离；
(2)求直线AC与平面PCD所成的角.
19. 如图，某国家森林公园的一区域OAB为人工湖，其中射线OA、OB为公园边界.已知OA⊥OB，以点O为坐标原点，以OB为x轴正方向，建立平面直角坐标系(单位：千米).曲线AB的轨迹方程为：y=−x2+4(0≤x≤2).计划修一条与湖边AB相切于点P的直路l(宽度不计)，直路l与公园边界交于点C、D两点，把人工湖围成一片景区△OCD.
(1)若P点坐标为(1,3)，计算直路CD的长度；(精确到0.1千米)
(2)若P为曲线AB(不含端点)上的任意一点，求景区△OCD面积的最小值.(精确到0.1平方千米)
20. 已知椭圆C：x24a2+y23a2=1(a>0)的右焦点为F，直线l：x+y−4=0.
(1)若F到直线l的距离为2 2，求a；
(2)若直线l与椭圆C交于A、B两点，且△ABO的面积为487，求a；
(3)若椭圆C上存在点P，过P作直线l的垂线l1，垂足为H，满足直线l1和直线FH的夹角为π4，求a的取值范围.
21. 已知数列{an}是由正实数组成的无穷数列，满足a1=3，a2=7，an=|an+1−an+2|，n∈N*.
(1)写出数列{an}前4项的所有可能取法；
(2)判断：是否存在正整数k，满足ak=1，并说明理由；
(3)cn为数列{an}的前n项中不同取值的个数，求c100的最小值.
答案和解析
1.【答案】{3}
【解析】解：A={x|x2−2x−3=0}={−1,3}，B={x|2≤x≤4,x∈R}，
则A∩B={3}.
故答案为：{3}.
根据已知条件，结合交集的运算，即可求解．
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
2.【答案】2425
【解析】解：3+4i3−4i=(3+4i)2(3−4i)(3+4i)=−725+2425i，其虚部为2425.
故答案为：2425.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查合复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】−n+10
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的通项公式，属于基础题.
根据所给的a3=7，a7=3，设出未知数，列出方程，解得首项和公差，写出要求的通项公式．
【解答】
解：设等差数列的公差为d，
∵a3=7，a7=3，
∴a1+2d=7，a1+6d=3，
∴a1=9，d=−1，
∴an=−n+10.
故答案为−n+10.
4.【答案】80
【解析】解：(2x+1)5=a5x5+a4x4+a3x3+⋯+a1x+a0，则a3=C52⋅23=80.
故答案为：80.
利用二项式定理求解第三项的系数．
本题考查二项式定理的应用，是基础题．
5.【答案】33x−2
【解析】解：y=ln(2−3x)，
则y′=12−3x⋅(2−3x)′=−32−3x=33x−2.
故答案为：33x−2.
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
6.【答案】12π
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，
则πrl=15πr2+16=l2，解得r=3l=5，
∴圆锥的体积为V=13π×32×4=12π.
故答案为：12π.
设圆锥的底面半径为r，母线为l，根据圆锥侧面积公式以及l2=r2+42，列方程组求解r值，再由圆锥体积公式得答案．
本题考查圆锥的表面积与体积公式，是基础题．
7.【答案】(0,1)
【解析】解：不等式3x+lgx≤3可化为3x≤3−lgx，
在同一坐标系内画出y=3x和y=3−lgx的图象，如图所示：
由3x=3−lgx，得x=1，
所以由函数的观点知，不等式3x+lgx≤3的解集是(0,1].
故答案为：(0,1].
不等式化为3x≤3−lgx，在同一坐标系内画出y=3x和y=3−lgx的图象，利用函数的图象求出不等式的解集．
本题考查了函数的图象与性质应用问题，也考查了不等式解法与应用问题，是基础题．
8.【答案】107
【解析】解：由题意，平均成绩为：(95×0.030+105×0.040+115×0.015+125×0.010+135×0.005)×10
=(2.85+4.2+1.725+1.25+0.675)×10
=107分．
故答案为：107.
由频率分布直方图，结合平均数的计算公式求解．
本题考查频率分布直方图，考查学生计算能力，属于基础题．
9.【答案】π4
【解析】解：若a=3，b= 6，∠A=π3，
则sin∠B=bsin∠Aa= 6× 323= 22，
又a>b，可得∠A>∠B，则∠B=π4(3π4舍).
故答案为：π4.
由三角形的正弦定理和三角形的边角关系，可得所求角．
本题考查三角形的正弦定理，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
10.【答案】 7
【解析】解：由题意可得|BF2|=|AB|=|AF2|，
由双曲线的定义可得|AF1|=|BF1|−|BF2|=2a，
又|AF2|−|AF1|=2a，
即|AF2|=4a，
在△BF1F2中由余弦定理|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1||BF2|cs∠F1BF2可得：4c2=36a2+16a2−2×6a×4a×12，
即c2=7a2，
即c= 7a，
即e=ca= 7.
故答案为： 7.
由双曲线的性质，结合双曲线的定义及双曲线离心率的求法求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义及双曲线离心率的求法，属基础题．
11.【答案】[13,53)
【解析】解：因为f(x)=cs(ωx+φ)−12(ω>0)，由f(x)=0，得到cs(ωx+φ)=12，
所以ωx+φ=π3+2kπ(k∈Z)或ωx+φ=−π3+2kπ(k∈Z)，
所以x=π3−φ+2kπω(k∈Z)或x=−π3−φ+2kπω(k∈Z)，
又因为存在实数φ，使函数f(x)在x∈[π,3π]上有且仅有2个零点，所以
7π3−φ+2kπω−5π3−φ+2kπω⩽2π且11π3−φ+2kπω−π3−φ+2kπω>2π，即2π3ω≤2π且10π3ω>2π，解得13≤ω<53.
故答案为：[13,53).
利用y=csx的图像与性质，直接求出函数f(x)的零点，再利用题设条件建立不等关系π3−φ+2kπω−−π3−φ+2kπω≤2π且11π3−φ+2kπω−π3−φ+2kπω>2π，从而求出结果．
本题考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】 5
【解析】解：如图AC=a,AD=b,AB=c，则b−a=CD,c−a=CB，
已知(b−a)⋅(c−a)=0，即CD⋅CB=0，所以CD⊥CB，
取BD的中点O，则有OC=12BD=12|b−c|，
而OA=12|b+c|，根据三角形的三边关系可知OA+OC≥AC，
则12|b+c|+12|b−c|≥|a|=5，所以|b+c|+|b−c|≥10，当A，O，C三点共线时取等号，
记b,c向量的夹角为θ，则|b+c|= (b+c)2= 5b2+4b2csθ=|b| 5+4csθ，
同理|b−c|=|b| 5−4csθ，
由|b+c|+|b−c|≥10，可得|b|( 5+4csθ+ 5−4csθ)≥10，
则|b|2≥(10 5+4csθ+ 5−4csθ)2=10010+2 25−16cs2θ≥10010+2 25=5，
当csθ=0，即b⊥c时取等号，
所以|b|≥ 5，即|b|的最小值是 5，
故答案为： 5.
由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可．
本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式|b+c|+|b−c|≥10，进而利用数量积求模长．
13.【答案】C
【解析】解：∵a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+34b2]，
∴a>b⇔a3>b3，
则a>b是a3>b3的充要条件．
故选：C.
利用立方差公式，再结合充要条件的定义判定即可．
本题考查了立方差公式的运用、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】D
【解析】解：最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小．
故选：D.
利用最小二乘法求回归方程的定义，判断选项的正误即可．
本题考查线性回归直线方程的性质，最小二乘法的定义的应用，是基础题．
15.【答案】A
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=2|x|=2x,x≥02−x,x<0，既是偶函数，又在区间(−∞,0)上严格递减，符合题意；
对于B，y=ln(−x)，其定义域为(−∞,0)，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于C，y=x−23=13x2，是偶函数，但在区间(−∞,0)上严格递增，不符合题意；
对于D，y=− x2，是偶函数，但在区间(−∞,0)上严格递增，不符合题意；
故选：A.
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
16.【答案】B
【解析】解：由题意，取PA=PB=PC=PD=a，
由题意得四棱锥P−ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PN上；
过正四棱锥的棱PA与PC作正四棱锥的轴截面如图所示：
由题意可得ABCD是正方形，且AB=BC=CD=DA=a，
∴AC= 2a，∵PA=PC=a，
∴PA2+PC2=AC2，∴∠APC=90∘，
∴PN= 22a，∴PO= 22a−1，
∵△PON∽△PNC，
RT△POM∽RT△PHC⇒POPC=OMNC，
∴ 22a−1a=1 22a，解得a= 2+2，
∴PO= 22a−1= 2.
故选：B.
取PA=PB=PC=PD=a，由题意得四棱锥P−ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PN上，过正四棱锥的棱PA与PC作正四棱锥的轴截面如图所示，利用平面几何知识即可求解．
本题主要考查空间几何体的性质，考查与棱相切的球体，把空间问题平面化，是解题的关键．属中档题．
17.【答案】解：(1)由随机变量的分布的性质有0.1+a+0.2+0.3+b=1，得a+b=0.4，
又E(X)=6×0.1+7×a+8×0.2+9×0.3+10×b=6×0.1+7×(0.4−b)+8×0.2+9×0.3+10×b=7.7+3b=435=8.6，解得b=0.3，
所以a=0.4−b=0.1，即a=0.1，b=0.3；
(2)由题意，P(X=10)=b，又事件A：X为偶数，
所以P(A)=12=P(X=6)+P(X=8)+P(X=10)=0.1+0.2+b，所以b=0.2，
由随机变量的分布的性质有0.1+a+0.2+0.3+b=1，得a=0.2，
又事件B为X≤8，
所以P(B)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0.1+0.2+0.2=0.5，
所以P(A∩B)=P(X=6)+P(X=8)−0.1+0.2=0.3，
因为P(A∩B)≠P(A)P(B)，所以A与B不相互独立．
【解析】(1)根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；
(2)由P(A)=12及分布列的性质求出a、b，进一步求出P(B)，P(A∩B)，利用两个事件相互独立的定义判断即可．
本题考查随机变量分布列的应用，独立事件的判断，属于基础题．
18.【答案】解：(1)作AE⊥PO于E，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，∵BD⊥AC，
∵AC∩AP=A，∴BD⊥平面APC，
∵AE⊂平面ACP，∴AE⊥BD，
∵AE⊥OP，BD∩OP=O，
∴AE⊥平面BPD，
∴AE为A到平面PBD的距离，
根据二面角的定义知∠PBA=45∘，则PA=AB=1，
AO=12AC= 22，P= AP2+AO2= 62，
解得AE=AO⋅APOP= 33，
∴点A到平面PBD的距离为 33；
(2)作AF⊥PD于F，连接CF，∵AP=AD，∴FP=FD，
∵CD⊥AD，CD⊥PA，AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，
AF⊥PD，CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD，
∠ACF为AC与平面PCD所成的角，
Rt△AFC中，AF=12PD= 22，AC= 2，
得sin∠ACF=AFAC=12，∠ACF=30∘.
∴直线AC与平面PCD所成的角为30∘.
【解析】(1)作AE⊥PO于E，可证AE⊥平面BPD，求得AE的长即可求得点A到平面PBD的距离；
(2)作AF⊥PD于F，连接CF，可证∠ACF为AC与平面PCD所成的角，求解即可．
本题考查点到面的距离的求法，考查线面角的求法，属中档题．
19.【答案】解：(1)因为y=−x2+4(0≤x≤2)，所以y′=−2x，所以y′|x=1=−2，
所以由点斜式可得y−3=−2(x−1)，即y=−2x+5，
令x=0，解得y=5，令y=0，解得x=52，
所以C(0,5),D(52,0)，
所以|CD|= 25+254=5 52≈5.6km；
(2)设P(t,−t2+4)，0则由(1)可知y′|x=t=−2t，
所以CD的直线方程为y+t2−4=−2t(x−t)，
整理得y=−2tx+t2+4，
令x=0，解得y=t2+4，令y=0，解得x=t2+42t，
所以S△OCD=12×(t2+4)×t2+42t=14(t3+8t+16t)，
设f(t)=14(t3+8t+16t),0f′(t)=14(3t2+8−16t2)=14×3t4+8t2−16t2=(3t2−4)(t2+4)4t2，
令f′(t)>0，即3t2−4>0，解得2 33令f′(t)<0，即3t2−4<0，解得0所以函数f(t)在(0,2 33)单调递减，(2 33,2)单调递增，
所以f(t)min=f(2 33)=14[(2 33)3+8×2 33+162 33]=32 39≈6.2km2，
所以景区△OCD面积的最小值为6.2km2.
【解析】(1)根据导数与切线的关系求解即可；
(2)利用切线方程与导数的关系求出点P处的切线方程，从而表示出△OCD的面积，再利用导数与单调性和最值的关系即可求解．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)椭圆C：x24a2+y23a2=1(a>0)的右焦点为F(a,0)，
又F到直线l的距离为2 2，∴|a+0−4| 2=2 2，解得a=0(舍去)或a=8；
(2)设直线l与x轴交于点D(4,0)，与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，
S△ABO=2|y1−y2|=487，得|y1−y2|=247，
由x24a2+y23a2=1x+y−4=0，得7y2−24y+(48−12a2)=0，
|y1−y2|= 336a2−7687=247，解得a=2，
经检验判别式大于0成立，
∴a=2；
(3)若a=4，直线l经过F，此时直线l1和直线FH的夹角为π2，不符合题意，
若a≠4，∵直线l1和直线FH的夹角为π4且kl1=1，
∴FH的斜率为0或不存在，
又点H在直线x+y−4=0上，故H(4,0)或(a,4−a)，
∴直线l1的方程为y=x−4或y−(4−a)=x−a，
代入椭圆方程可得：
7x2−32x+(64−12a2)=0或7x2+(32−16a)x+(4a2−64a+64)=0，
由△1=48(7a2−16)≥0或△2=48(3a2+16a−16)≥0，
解得a≥4 77或a≥−8+4 73，
综上所述：a的取值范围为[−8+4 73,4)∪(4,+∞).
【解析】(1)求得右焦点为F(a,0)，利用已知可求a；
(2)设直线l与x轴交于点D(4,0)，与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程组可得 336a2−7687=247，求解即可；
(3)若a=4，直线l经过F，此时直线l1和直线FH的夹角为π2，不符合题意，若a≠4，∵直线l1和直线FH的夹角为π4且kl1=1，可得直线直线l1的方程为y=x−4或y−(4−a)=x−a，与椭圆联立方程组可求a的取值范围．
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
21.【答案】解：(1)∵an=|an+1−an+2|，
∴−an=an+1−an+2，或an=an+1−an+2，
则an+2=an+1+an，或an+2=an+1−an，
∵a1=3，a2=7，
∴a3=a2+a1=7+3=10，或a3=a2−a1=7−3=4，
①当a3=10时，a4=a3+a2=10+7=17，或a4=a3−a2=10−7=3，
②当a3=4时，a4=a3+a2=4+7=11，或a4=a3−a2=4−7=−3，
∵数列{an}是由正实数组成的无穷数列，
∴a4=−3不符合题意，故舍去，
∴数列{an}前4项的所有可能取法有：a1=3，a2=7，a3=10，a4=17或a1=3，a2=7，a3=10，a4=3或a1=3，a2=7，a3=4，a4=11；
(2)不存在，理由如下：
∵an=|an+1−an+2|，
∴an+2=an+1+an或an+2=an+1−an，
当an+2=an+1+an时，
∵数列{an}是由正实数组成的无穷数列，
∴an+3=an+2+an+1>an+2=an+1+an>an，即an+3>an，或an+3=an+2−an+1=an，
∴an+3≥an，
当an+2=an+1−an时，
∵数列{an}是由正实数组成的无穷数列，
∴an+2=an+1−an>0，即an+1>an，
∴an+3=an+2+an+1>an+2=an+1+an>an，或an+3=an+2−an+1=−an<0(不合题意，舍去)，
综上所述，an+3≥an，
∴a3k−2≥a1=3，a3k−1≥a2=7，a3k≥a3=4，
∴不存在正整数k，满足ak=1；
(3)∵an=|an+1−an+2|，
∴an+2={an+1+an①an+1−an②，
对于任意的an，an+1，均可以使用①递推，只有满足an+1>an时，才可以使用②递推；
若an+2=an+1−an，显然有an+2记bk=max{a2k−1,a2k}(k∈N且k≥1)，bk+1=max{a2k+1,a2k+2}，
若a2k+1=a2k+a2k−1，则bk+1>bk；
若a2k+1=a2k−a2k−1，则a2k+2=a2k+a2k+1>a2k>a2k−1，则bk+1>bk，
∴bk+1>bk(k∈N且k≥1)，
∴a1，a2，…，a100中至少有a1，a2，b2，b3，…，b50共51项，即c100≥51，
则举例如下：an={an−1+an−2(n为奇数)an−1−an−2(n为偶数)，
∴数列{an}中3，7，10，3，13，10，23，13，36，23，…，此时c100=51，
∴c100的最小值为51.
【解析】(1)由题意得−an=an+1−an+2，或an=an+1−an+2，分类讨论即可得出答案；
(2)由题意得−an=an+1−an+2，或an=an+1−an+2，结合数列{an}是由正实数组成的无穷数列，可得an+3≥an，即可得出答案；
(3)由题意得an+2={an+1+an①an+1−an②，对于任意的an，an+1，均可以使用①递推，只有满足an+1>an时，才可以使用②递推，分类讨论即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．