中考数学三轮冲刺过关练习09 尺规作图（教师版）

尺规作图

一：作已知角的平分线[来源:学科网]

（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；

（2）分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；

（3）作射线OP，OP即为所作的角平分线.

二：作已知线段的垂直平分线

（1）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；

（2）连接PQ，交MN于O．

则PQ就是所求作的MN的垂直平分线.

1．（河南中考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为 （     ）

A．   B．4    C．3    D．

【答案】A

【解析】如图，连接FC，则AF=FC．

∵AD∥BC，∴∠FAO=∠BCO．

在△FOA与△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF=BC=3，

∴FC=AF=3，FD=AD-AF=4-3=1．在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD2+DF2=FC2，∴CD2+12=32，[来源:学科网ZXXK]

∴CD=．故选A．

【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．

2．（北京中考）已知锐角∠AOB，如图，

（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；

（3）连接OM，MN．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（     ）

A．∠COM=∠COD      B．若OM=MN．则∠AOB=20° 

C．MN∥CD        D．MN=3CD

【答案】D

【解析】由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；

∵OM=ON=MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON=60°，

∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；

∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，

又∠CMN=∠AON=20°，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C选项正确；

∵MC+CD+DN>MN，且CM=CD=DN，∴3CD>MN，故D选项错误，故选D．

【名师点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．

3.（新疆中考）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（     ）

A．BP是∠ABC的平分线     B．AD=BD

C．S△CBD∶S△ABD=1∶3      D．CD=BD

【答案】C

【解析】由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；

∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠ABD=30°=∠A，∴AD=BD，所以B选项的结论正确；

∵∠CBD=∠ABC=30°，∴BD=2CD，所以D选项的结论正确；

∴AD=2CD，∴S△ABD=2S△CBD，所以C选项的结论错误．故选C．

【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

4．（广东中考）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若=2，求的值．

【解析】（1）如图，∠ADE为所作．

（2）∵∠ADE=∠B，

∴DE∥BC，

∴=2．

【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

5．（杭州中考）如图，在△ABC中，AC<AB<BC．

（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B．

（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求

∠B的度数．

【解析】（1）∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，

∴PA=PB，

∴∠B=∠BAP，

∵∠APC=∠B+∠BAP，

∴∠APC=2∠B．

（2）根据题意可知BA=BQ，

∴∠BAQ=∠BQA，

∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，

∴∠BQA=2∠B，

∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°．

6．（江西中考）在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；

（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．

【答案】（1）如图1，EF为所作．

（2）如图2，∠DBC为所作．

【解析】（1）分别延长BA、CA交半圆于E、F，利用圆周角定理可等腰三角形的性质可得到∠E＝∠ABC，则可判断EF∥BC； 

（2）在（1）基础上分别延长BE、CF，它们相交于M，则连接AM交半圆于D，然后证明MA⊥BC，从而根据圆周角定理可判断∠DBC＝45°．

【名师点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．

1．（四川省成都市中考一模数学试题）如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(0，3)， B(4，0)，按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧， 分别交 OC，OB 于点 D，E；②分别以点 D，E 为圆心，大于  DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点 F；③作射线 OF，交边 BC于点 G，则点 G 的坐标为(       )

A. (4， ) B. (   ，4) C. ( ，4) D. (4， )

【答案】A

【解析】

【分析】

首作GH⊥OC于H．先证明GB=GH，利用面积法求出GB即可解决问题．

【详解】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），

∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，

∴BC＝＝5，

作GH⊥OC于H．

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

由作图可知：OG平分∠BOC，

∵GB⊥OB，GH⊥OC，

∴GB＝GH时，GB＝GH＝x，

∵S△OBC＝×3×4＝×5×x+×4×x，

∴x＝，

∴G（4，）．

故选A．

【点睛】本题考查基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型

2．（安徽省首年地区2019-2020学中考第一次模拟预测数学试题） 在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心．

已知：．

求作：所在圆的圆心．

曈曈的作法如下：如图2，

（1）在上任意取一点，分别连接，；

（2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点．点就是所在圆的圆心．

老师说：“曈曈的作法正确．”

请你回答：曈曈的作图依据是_____．[来源:学§科§网Z§X§X§K]

【答案】①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）

【解析】

【分析】

（1）在上任意取一点，分别连接，；

（2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点．点就是所在圆的圆心．

【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知：，

所以点是所在圆的圆心（理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）：）

故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）

【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

3．（河南省实验外国语学校中考数学模拟试卷）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（　　）

A.  B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，作EH⊥BC于H，从而得到∠ECH=60°,利用三角函数可求出EH、CH的值，再利用勾股定理即可求出BE的长.

【详解】解：如图所示，作EH⊥BC于H，

由作法得AE垂直平分CD，

∴∠AED=90°，CE=DE＝2，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD=2DE，

∴∠DAE=30°，

∴∠D=60°，

∵AD//BC，

∴∠ECH=∠D=60°,

在Rt△ECH中，

EH=CE·sin60°=,

CH=CE·cos60°=,

∴BH=4+1=5，

在Rt△BEH中，由勾股定理得，

.

故选B.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、菱形的性质、解直角三角形等知识.合理构造辅助线是解题的关键.

4.（2020年1月河南省郑州市一摸数学试题）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（　　）

A. ∠CAD＝40° B. ∠ACD＝70°

C. 点D为△ABC的外心 D. ∠ACB＝90°[来源:Z.xx.k.Com]

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论．

【详解】∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，

∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，

∵∠B＝20°，

∴∠B＝∠BCD＝20°，

∴∠CDA＝20°＋20°＝40°．

∵CD＝AD，

∴∠ACD＝∠CAD＝(180°−40°)＝70°，

∴A错误，B正确；

∵CD＝AD，BD＝CD，

∴CD＝AD＝BD，

∴点D为△ABC的外心，故C正确；

∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，

∴∠ACB＝70°＋20°＝90°，故D正确．

故选A．

【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．

5．（河南省洛阳市中考数学二模试卷）如图，直线与x轴、y轴的交点为A，B，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，x轴于点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠OAB内交于点M；③作射线AM，交y轴于点E，则点E的坐标为(   )

A. (0，) B. (0，) C. (0，) D. (0，)

【答案】C

【解析】

【分析】

过E作EH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到AE平分∠OAB，则OE＝EH，再利用一次函数解析式得到B(0，4)，A(3，0)，所以AB＝5，设E(0，t)，利用面积法得到×t×3+×t×5＝×3×4，解方程求出t即可得到E点坐标．

【详解】解：过E作EH⊥AB于H，如图，

由作法得AE平分∠OAB，

∴OE＝EH，

当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则B(0，4)，

当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3，则A(3，0)，

∴AB＝＝5，

设E(0，t)，

∵S△AOE+S△ABE＝S△OAB，

∴×t×3+×t×5＝×3×4，解得t＝，

∴E点坐标为(0，)．

故选C．

【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．也考查了一次函数的性质．

6．（广东省佛山市顺德区中考数学三模试卷）如图，在△ABC中，AB=AC．

（1）用尺规作图法在AC边上找一点D，使得BD=BC（保留作图痕迹，不要求写作法）：

（2）若∠A=30°，求∠ABD的大小．

【解析】（1）如图，点D为所作．

（2）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=（180°-30°）=75°，

∵BD=BC，

∴∠BDC=∠C=75°，

∵∠BDC=∠A+∠ABD，

∴∠ABD=75°-30°=45°．

【名师点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．

7.（广东省佛山市南海外国语学校2019-2020学年九年级下学期第一次月考数学试题）如图，在中，，．

用直尺和圆规作，使圆心O在BC边，且经过A，B两点上不写作法，保留作图痕迹；

连接AO，求证：AO平分．

【答案】(1)作图见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）作线段AB的垂直平分线即可，线段AB的垂直平分与BC的交点即是圆心O；

（2）由线段垂直平分线的性质可得∠OAB=∠B=30°，，从而可求∠CAO=30°，由角平分线的定义可知AO平分∠CAB．

【详解】（1）解：如图，⊙O为所作；

（2）证明：∵OA=OB，

∴∠OAB=∠B=30°，

而∠CAB=90°﹣∠B=60°，

∴∠CAO=∠BAO=30°，

∴OC平分∠CAB．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握线段垂直平分线的作法及性质是解答本题的关键.

8.（广东省潮州市中考数学5月份模拟试卷）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=28°．

（1）作AC边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；

（2）连接CE，求∠BCE的度数．

【解析】（1）如图，DE为所求．

（2）∵DE垂直平分AC，

∴EA=EC，

∴∠ECA=∠A=28°．

∴∠BCE=90°-∠ECA=90°-28°=62°．

【名师点睛】本题考查了作图-基本作图，和垂直平分线的性质定理，熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

9.（2020年广东省初中学业水平考试数学模拟试题）如图，▱ABCD中，

（1）作边AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F；

（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：

（2）已知▱ABCD的面积为8，求四边形EBCD的面积．

【答案】（1）见解析；（2）6

【解析】

分析】

（1）作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，点E即为所求．

（2）求出△ADE的面积即可．

【详解】（1）作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，点E即为所求．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形的面积为8，AE＝EB，

∴S△ADE＝S四边形ABCD＝2，

∴S四边形EBCD＝8﹣2＝6．

【点睛】本题考查了四边形的面积问题，掌握垂直平分线的性质、三角形和平行四边形面积的关系是解题的关键．