专题03 平面直角坐标系中的图形面积——2022-2023学年人教版数学七年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

专题03 平面直角坐标系中的图形面积

1．点A、B是平面直角坐标系中轴上的两点，且，有一点与构成三角形，若的面积为3，则点的纵坐标为（    ）

A．3 B．3或 C．2 D．2或

【答案】B

【解析】根据，求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

解得：，

故选：B．

【点睛】本题考查图形与坐标，三角形面积，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

2．如图，、、、，点P在x轴上，直线将四边形面积分成两部分，求的长度（    ）．

A． B． C． D．或

【答案】B

【解析】用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值．

【详解】解：作轴于点P，

∵、、、，

∴，

∴，

，

，

，

∴，

∴，

①当即时，

即，解得：，

∴；

②当即时，

即，解得：，

∴；

综上可知．

故选：B．

【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，分类讨论是解本题的关键．

3．已知点，，点P在x轴上，且的面积为5，则点P的坐标是（   ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【解析】根据B点的坐标可知边上的高为2，而的面积为5，点P在x轴上，可得，设点P的坐标为，再根据数轴上两点间的距离，即可求得P点坐标．

【详解】解：，，点P在x轴上，

的边上的高为2，

又的面积为5，

，

设点P的坐标为，

则，

或，

解得或，

点P的坐标为或，

故选：C．

【点睛】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

4．在平面直角坐标系中，已知，，点是轴上一点，且的面积为12，则点的坐标为___________．

【答案】或

【解析】根据题意得出，进而分类讨论即可求解．

【详解】解：如图，

过点作轴，

∵，

∴，

∴

∵，

∴，

设，

∵，

∴，

解得：或，

∴点的坐标为或．

故答案为：或

【点睛】本题考查了坐标与图形，分类讨论是解题的关键．

5．若点，，点A在x轴上，且的面积是2，则点A的坐标是_______

【答案】或

【解析】根据点A在x轴上，设点A的坐标为，得到，再利用三角形的面积求出，即可得到点A的坐标．

【详解】解：设点A的坐标为，

，，

，

，

，

，

点A的坐标为或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了坐标与图形，找出三角形面积与顶点坐标之间的关系是解题关键，属于中考常考题型．．

6．如果点，，点C在y轴上，且的面积是5，则C点坐标_________．

【答案】或

【解析】设点C的坐标为，求出的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可．

【详解】解：设点C的坐标为，

∵，，

∴，

由题意得：，解得：或，

∴点C的坐标为或．

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查的是三角形的面积、坐标与图形性质等知识点，正确表示出的长、灵活运用三角形的面积公式是解题的关键．

7．已知点，点，点是坐标轴上一动点，若三角形的面积为，则的坐标为__________．

【答案】或，或

【解析】首先根据条件画出图，如图所示，当点在轴上时，则为底，点的纵坐标数值为高，根据面积公式求出底的长度，即可得到点坐标；当点在轴上时，可分析出不可能在正半轴，故只能在负半轴，如图，设出点坐标，用割补法表示的面积即可求得．

【详解】解：当点在轴上时，

解得：

所以点有两个，，

当点在轴上时，

点符合题意，当点向上移动时，面积变大，

在正半轴不存在符合条件的点．

设在轴负半轴上点，

则

即：

解得：

所以，点坐标为

故答案为：或或

【点睛】本题主要考查了分类讨论的数学思想，相关知识点有：割补法求面积，对点的位置进行分类讨论是解题的关键．

8．如图，已知四边形．

(1)分别写出点的坐标；

(2)试求四边形的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1）．

【答案】(1),,,

(2)

【解析】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；

（2）首先把四边形 分割成规则图形，再求其面积和即可．

【详解】（1）,,,

（2）

【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及求不规则图形的面积，关键是把不规则的图形正确的分割成规则图形．

9．如图所示，三角形（记作）在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是，，先将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．

(1)在图中画出．

(2)分别写出点，，的坐标．

(3)若轴有一点，使与面积相等，求出点的坐标．

【答案】(1)见解析

(2)，，

(3)或

【解析】（1）分别作出，，的对应点，，即可．

（2）根据点的位置得出坐标即可．

（3）利用等高模型解决问题即可．

【详解】（1）解：如图，即为所求作．

（2）如图，，，．

（3）如图，根据同底等高的三角形面积相等可得：

满足条件的点的坐标为或．

【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

10．如图，在中，已知点，点

(1)根据上述信息在图中画出平面直角坐标系，并求出的面积：

(2)将沿轴向右平移3个单位得到，在图中作出并写出点的坐标．

【答案】(1)图见解析，3

(2)图见解析，

【解析】（1）根据两点的坐标确定出平面直角坐标系的位置，根据三角形面积公式求出的面积即可；

（2）根据平移的性质，画出平移后的图形，写出点的坐标即可．

【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所作，

；

（2）如图：即为所作，

点的坐标为．

【点睛】本题考查了平面直角坐标系，根据点的坐标确定坐标轴的位置，平移的性质等知识点，读懂题意根据点的坐标确定出坐标轴的位置是解本题的关键．

11．如图1，在平面直角坐标系中，，，，且．

(1)求a，b的值；

(2)在y轴的上存在一点M，使，求点M的坐标；

(3)如图2，过点C作轴交y轴于点D，点P为线段延长线上一动点，连接平分，．当点P运动时的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．

【答案】(1)

(2)或，

(3)的值是定值，，理由见解析

【解析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可进行解答；

（2）先根据A、B、C的坐标求出求出的值，再根据y轴上点的坐标特征，设，最后根据三角形的面积公式将表示出来即可；

（3）根据，得出，，再根据平分得出，进而得出，最后根据平行线的性质得出即可得出结论．

【详解】（1）解：∵，

∴，则，

∴；

（2）由（1）可知，

∴，

∵，

∴点C到x轴距离为2，

∴，

∵当M在y轴上时，

∴设，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴或，

（3）如图2中，结论：的值是定值，

理由：∵，

∴，

∴，，

∵平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识点并灵活运用．

12．如图，三角形三个顶点坐标分别为，，．若，两点的位置不变，点在坐轴上，则点在什么位置时，三角形的面积是三角形面积的2倍？（即求出点的坐标）

【答案】或或或

【分析】计算出三角形的面积，分类讨论点M在x轴和y轴的两种情况，设出坐标建立方程解决．

【详解】解：由题得，

，

①点M在x轴上，设点M的坐标为，

，

解得，

点M的坐标为或，

②点M在y轴上，设点M的坐标为，

，

，

点M的坐标为或，

综上所述，点在或或或时，三角形的面积是三角形面积的2倍．

【点睛】本题考查了平面直角坐标系与几何图形，解决本题的关键是分类讨论点M在不同坐标轴上的情况，设出坐标建立方程．

13．如图，已知平面直角坐标系中，，，．

(1)求三角形的面积；

(2)设点在坐标轴上，且三角形与三角形的面积相等，直接写出点的坐标．

【答案】(1)4

(2)或或或

【解析】（1）结合图形，利用割补法即可求解；

（2）分两种情况讨论：当点在轴上时，设点的坐标为，即有：，则的面积为，当点在轴上时，设点的坐标为，即有：，则的面积为，问题随之得解．

【详解】（1）如图：

利用割补法可得：；

（2）∵，，

∴，，

当点在轴上时，设点的坐标为，

即有：，

则的面积为，

又∵的面积等于4，，

∴，

解得或者，

∴点的坐标为或；

当点在轴上时，设点的坐标为，

即有：，

则的面积为，

又∵的面积等于4，，

∴，

解得，，

∴点的坐标为或，

综上得，满足条件的点的坐标为或或或．

【点睛】本题考查了坐标与图形，利用割补法求解三角形面积等知识，掌握利用割补法求解三角形面积是解答本题的关键．解答此题时注意分类讨论的思想．

14．如图，三角形中任一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．

(1)直接写出、的坐标分别为          ，          ；

(2)在图中画出；

(3)请直接写出的面积是          ．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)8

【解析】（1）根据经平移后对应点为，确定平移规则，进而求出、的坐标即可；

（2）根据平移规则，进行作图即可；

（3）割补法求出的面积即可．

【详解】（1）解：由点经平移后对应点为可知：

平移规则为：先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，

由图可知：，

∴ ，即：；

故答案为：

（2）解：如图所示，即为所求；

（3）解：由图可知：

．

【点睛】本题考查坐标下的平移．解题的关键是根据对应点，确定平移规则．

15．如图，在直角坐标系中

(1)点坐标为（___________，___________），点坐标为（___________，___________）．

(2)若把向上平移个单位，再向左平移个单位得到，画出平移后的图形．

(3)三角形的面积是___________．

【答案】(1)，

(2)作图见解析

(3)

【解析】（1）根据直角坐标系的特点写出点、的坐标；

（2）分别将点、、向上平移个单位，再向左平移个单位，然后顺次连接；

（3）用三角形所在的长方形的面积减去三个小三角形的面积即可得解．

【详解】（1）解：如图，点坐标为，点坐标为．

故答案为：，；，．

（2）如图，即为所作．

（3）

．

故答案为：．

【点睛】本题考查根据平移变换作图，根据直角坐标系写点的坐标，运用了等积变换求三角形的面积．解题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．

16．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是（5，3），（2，1），，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．

(1)点的坐标为______，点的坐标为______；

(2)①画出三角形；②求出三角形的面积；

(3)点是轴上一动点，当时，请直接写出点的坐标______．

【答案】(1)，

(2)①图见解析；②8.5

(3)或

【解析】（1）根据点的位置写出坐标即可；

（2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；

把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．

（3）设，构建方程求解即可．

【详解】（1）解：，，

故答案为：，；

（2）解：如图，三角形即为所求；

三角形的面积；

（3）解：设，

由题意，，

或．

或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．

17．在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为．

(1)将线段平移得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为．

①请画出平移后的线段．

②点的坐标为．

(2)在（）的条件下，设平移过程中线段扫过的面积为，求的值．

【答案】(1)①见解析；②

(2)33

【解析】（1）根据由点平移到点的过程可推出M点在平移过程中坐标的变化过程，进而推出由N点平移后B点的坐标，连接即可；

（2）由割补法求线段扫过的面积即可．

【详解】（1）解：①如图， 已知A点坐标为，所以M点横坐标加3，纵坐标加5，可变为A点，故N点横坐标加3，纵坐标加5，可变为B点，故B点坐标为，根据B点坐标画出图象即可，

；

②平移后B点的坐标为；

（2）如图，可知．

【点睛】本题考查平面直角坐标系，平移变换，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．

18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，将先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应的．

(1)画出平移后的；

(2)若边上一点经过上述平移后的对应点为，请直接写出点的坐标（用含x，y的式子表示）；

(3)连接，求的面积．

【答案】(1)见解析

(2)

(3)9

【解析】(1)先确定平移后的坐标，再描点画图形即可．

(2)根据平移规律写出坐标即可．

(3)过点作于点D，根据三角形面积计算公式计算即可．

【详解】（1）∵，，，将先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，

∴，，即，，，画图如下：

故为所求．

（2）∵先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，

．

（3）过点作于点D，

．

【点睛】本题考查了平移，三角形面积计算，熟练掌握平移规律是解题的关键．

19．如图，在平面直角坐标系中，有点，点，点．

(1)若，，求的面积．

(2)若在第二象限，轴，线段交y轴于点．

①判断的形状，并说明理由．

②沿x轴正方向平移，使点B与原点重合，得到，求四边形的面积．

【答案】(1)6

(2)①等腰直角三角形，理由见解析；②

【解析】（1）由A、B的坐标可得的长度，由点C的坐标即可求得的面积；

（2）①由A、E的坐标可得，，由轴，即可得，从而，即可得的形状；

②由四边形的面积的面积的面积，即可求得．

【详解】（1）解：∵，，

，

，

，

；

（2）①结论：△ABC是等腰直角三角形．

理由：，

，

，

，轴，

，

，

是等腰直角三角形；

②四边形的面积的面积的面积

．

【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的判定，求图形面积等知识，熟悉这些知识是关键．

20．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为,．

(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；

(2)请作出关于y轴对称的；

(3)顺次连接A、、、B，求四边形的面积．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)

【解析】（1）根据A，C坐标，找到坐标原点，作图即可；

（2）根据关于y轴对称特点，找出对应点顺次连接即可；

（3）利用梯形面积公式求解．

【详解】（1）平面直角坐标系如图所示．

（2）如图，即为所求．

（3）四边形的面积．

【点睛】此题考查了确定直角坐标系，作轴对称图形，计算网格中图形的面积；正确掌握轴对称的性质及网格中图形面积的计算方法是解题的关键．

21．已知三角形在平面直角坐标系中的位置如图：

(1)平移三角形，使B点对应点，画出三角形；

(2)若是三角形内部一点，则平移后三角形内对应点的坐标为______；

(3)求三角形的面积．

【答案】(1)见解析；

(2)；

(3)．

【解析】（1）由题意可得，根据，确定平移方式，画出三点，连接即可；

（2）根据（1）中的平移方式，以及点的平移规律“左减右加，上加下减”，求解即可；

（3）利用割补法求解三角形的面积即可．

【详解】（1）解：由题意可得，

由可得向左平移5个单位，向上平移4个单位，

如下图：三角形即为所求，

（2）解：由（1）可得向左平移5个单位，向上平移4个单位，得到点

则，

故答案为：；

（3）解：三角形的面积为．

【点睛】此题考查了坐标与图形以及平移的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．

22．如图，四边形在平面直角坐标系中，且，，，．

(1)将四边形四个顶点左移3个单位，同时下移2个单位，画出得到的四边形，写出与的坐标；

(2)求四边形的面积．

【答案】(1)图形见解析，，

(2)15

【解析】（1）找到平移后的对应点，再依次连接，从而得到与的坐标；

（2）利用分割法把四边形分割成两个三角形和一个直角梯形求解即可．

【详解】（1）解：如图，四边形即为所求，

其中，；

（2）如图，．

【点睛】本题考查作图-平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分割法求多边形面积．

23．如图1 ，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，现同时将A、B向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接、、．

(1)写出C、D的坐标并求出四边形的面积．

(2)在x 轴上 是否存在一点F，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)如图 2、3、4，点 P 是直线上的一个动点，连接、，当点P在直线上运动时，请直接写出与、的数量关系．

【答案】(1)8；

(2)存在，点的坐标为或；

(3)当点在线段的延长线上运动时，； 当点在线段的延长线上运动时，；当点在线段上运动时，．

【解析】（1）根据点的平移规律可得，的坐标，然后利用即可求出四边形的面积；

（2）根据的面积是面积的2倍，得，即可求出点的坐标；

（3）当点在线段延长线上运动时，作，当点在线段的延长线上时，作，当点在线段上运动时，作，分别根据平行线的性质和平行线间的传递性求解即可．

【详解】（1）解：∵点，的坐标分别为、，

∴将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，的对应点，，

∴，，，，，

∴四边形的面积为：

．

∴点的坐标为，点的坐标为，四边形的面积为．

（2）存在，

如图，设，

∵，，

∴，

又∵的面积是面积的2倍．

∴，

∴，

∵，

∴，

解得：或，

∴点的坐标为或．

（3）当点在线段延长线上运动时，作，如图，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

当点在线段的延长线上时，作，如图，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

当点在线段上运动时，作，如图，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

综上所述：当点在线段的延长线上运动时，；

当点在线段的延长线上运动时，；

当点在线段上运动时，．

【点睛】本题考查平行线的判定和性质，点平移的规律，梯形的面积，三角形的面积等知识点．对点的位置进行分类讨论是解题的关键．

24．如图所示，，，点在轴上，且．

(1)求点的坐标；

(2)求三角形的面积；

(3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)或；

(2)；

(3)存在，或

【解析】（1）分点在点的左边和右边两种情况解答；

（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；

（3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可．

【详解】（1）如图，

当点在点的右边时，，

当点在点的左边时，，

所以的坐标为或；

（2）的面积，

答：的面积为；

（3）设点到轴的距离为，

则，

解得，

当点在轴正半轴时，，

当点在轴负半轴时，，

综上所述，点的坐标为或

【点睛】本题考查了点的坐标的确定，三角形的面积公式，分类讨论，坐标轴上两点间的距离公式等有关知识；能求出符合条件的点的坐标是解此题的关键．

25．如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足．

(1)则点的坐标为______，点的坐标为______．

(2)已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速运动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向匀速运动．点到达点时整个运动随之结束，的中点的坐标，设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

(3)如图，点是线段上一点，且满足，点是第二象限中一点，连，使得，点是线段上一动点，连交于点，当点在线段上运动时，的值始终保持不变，请直接写出这个定值______．

【答案】(1)

(2)存在，

(3)2

【解析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得，的值，即可得出答案；

（2）先得出，，，，再根据，列出关于的方程，求得的值即可；

（3）过点作的平行线，交轴于，先判定，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出，，最后代入进行计算即可．

【详解】（1）解：∵，

，，

解得，，

，；

故答案为：；

（2）存在，

理由：如图中，，

由条件可知：点从点运动到点时间为秒，点从点运动到点时间为秒，

时，点在线段上，

即 ，，，

，，

，

，

；

（3）结论：的值不变，其值为．理由如下：如图2中，

，

又，，

，

，

，

，

如图，过点作的平行线，交轴于，则，，

，

，

∴．

故答案为：2

【点睛】本题考查了坐标与图形、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．