2023届江苏省南京市高三二模考试数学试题及答案

南京市2023届高三年级第二次模拟考试

                   数    学               2023.05

注意事项：

1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．

2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．

第 I 卷 (选择题    共60分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．集合A＝{x∈N|1＜x＜4}的子集个数为

A．2                 B．4                 C．8                 D．16

2．已知复数z满足iz＝2－i，其中i为虚数单位，则为

A．－1－2i           B．1＋2i              C．－1＋2i           D．1－2i

3．在△ABC中，角A，B，c的对边分别为a，b，c．若bsin＝csinB，则角C的大小为A．                 B．                 C．                D．

4．在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知：①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球．下列说法正确的为

A．丙参加了铅球                            B．乙参加了铅球

C．丙参加了标枪                            D．甲参加了标枪

5．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示(图中●表示太极，表示◖阳仪，◗表示阴仪)．若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即a1为天一对应的经历过的两仪数量总和0，a2为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2，a3为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4，…，按此规律，则a15为

(第5题图)

A．84               B．98               C．112               D．128

6．直角三角形ABC中，斜边AB长为2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何休，若该几何体外接球表面积为，则AC长为

A．            B．1            C．            D．

7．已知椭圆C：(a＞b＞0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB．若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为

A．            B．          C．            D．

8．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)．若对任意x∈R有f′(x)＞1，f(1＋x)＋f(1－x)＝0，且f(0)＝－2，则不等式f(x－1)＞x－1的解集为

A．(0，＋∞)       B．(1，＋∞)      C．(2，＋∞)      D．(3，＋∞)

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．

9．在(x－)n的展开式中

A．常数项为160                      B．含x2项的系数为60

C．第4项的二项式系数为15           D．所有项的系数和为1

10．若实数x，y满足－y2＝1，则

A．|x|≥        B．x2＋y2≥2       C．＜        D．|x－y|≤

11．已知函数f(x)＝|ex－a|，a＞0．下列说法正确的为

A．若a＝1，则函数y＝f(x)与y＝1的图象有两个公共点

B．若函数y＝f(x)与y＝a2的图象有两个公共点，则0＜a＜1

C．若a＞1，则函数y＝f(f(x))有且仅有两个零点

D．若y＝f(x)在x＝x1和x＝x2处的切线相互垂直，则x1＋x2＝0

12．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1＝AB，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则

A．点A1在平面ABCD内的射影在AC上

B．AC1⊥平面A1BD

C．AC1与平面A1BD的交点是△A1BD的重心

D．二面角B1－BD－C的大小为45°

第II卷 (非选择题    共90分)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．

13．若直线x－2y＋a＝0被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则实数a的值为

   ▲   ．

14．幂函数f(x)＝xα(α∈R)满足：任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)＜f(2)＜2，请写出符合上述条件的一个函数f(x)＝   ▲   ．

15．一个袋子中有n(n∈N*)个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为p(n)，则p(n)的最大值为   ▲   ．

16．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形．若D为BE的中点，①△DEF与△ABC的面积比为   ▲   ；②设＝λ＋μ，则λ＋μ＝   ▲   ．(第一空2分，第二空3分)

(图1)                    (图2)

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)

已知f(x)＝sinωx－cosωx，ω＞0．

(1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求f()的值；

(2)若函数f(x)的图象关于(，0)对称，且函数f(x)在[0，]上单调，求ω的值．

18．(本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，(n－2)Sn＋1＋2an＋1＝nSn，n∈N*．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：＋＋…＋＜．

19．(本小题满分12分)

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝2，AD＝DC＝，如图1．现将△ADC沿对角线AC折成直二面角P－AC－B，如图2，点M在线段BP上．

(1)求证：AP⊥CM；

(2)若点M到直线AC的距离为，求的值．

(图1)                              (图2)

20．(本小题满分12分)

进行独立重复试验，设每次成功的概率为p(0＜p＜1)，则失败的概率为1－p，将试验进行到恰好出现r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分步或负二项分布，记为X~N B(r，p)．

(1)若X~N B(3，)，求P(X＝5)；

(2)若X~N B(2，)，n∈N*，n≥2．

①求P(X＝i)；

②要使得在n次内结束试验的概率不小于，求n的最小值．

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝a－logax，a＞1．

(1)若a＝e，求证：f(x)≥1；

(2)若关于x的不等式f(x)＜1的解集为集合B，且B(，a)，求实数a的取值范围．

22．(本小题满分12分)

已知抛物线C1：y2＝x和圆C2：(x－3)2＋y2＝2．

(1)若抛物线C1的准线与x轴相交于点T，MN是过C1焦点F的弦，求·的最小值；

(2)已知P，A，B是抛物线C1上互异的三个点，且P点异于原点．若直线PA，PB被圆C2截得的弦长都为2，且PA＝PB，求点P的坐标．