2023年北京市海淀区中考数学一模试卷（含解析）

2023年北京市海淀区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列几何体中，主视图为如图的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  北京植物园从上世纪五十年代开始建设种子库，目前库中已有种子余份，总量位居世界第二位将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点，向两个小区铺设电缆下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不透明的袋子中装有个红球和个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  图是变量与变量的函数关系的图象，图是变量与变量的函数关系的图象，则与的函数关系的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是           ．

10.  分解因式：          ．

11.  分式方程的解为        ．

12.  根据如表估计 ______ 精确到．

13.  如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接若，，则的长为______ ．

14.  在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为______ ．

15.  如图，点在正六边形的边上运动若，写出一个符合条件的的值______ ．

16.  某陶艺工坊有和两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．

烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．
某批次需要生产个大尺寸陶艺品，个中尺寸陶艺品，个小尺寸陶艺品．
烧制这批陶艺品，款电热窑至少使用______ 次；
若款电热窑每次烧制成本为元，款电热窑每次烧制成本为元，则烧制这批陶艺品成本最低为______ 元

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

21.  本小题分
如图，在四边形中，，过点作交于点，点为边上一点，，连接．
求证：四边形为矩形；
若，，，求的长．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，．
求这个一次函数的解析式；
当时，对于的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，为的中点，交的延长线于点．
求证：直线为的切线；
延长，交于点若，，求的长．

24.  本小题分
某小组对当地年月至月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息．
西红柿与黄瓜市场价格的折线图：

西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：

根据以上信息，回答下列问题：
______ ， ______ ；
在西红柿与黄瓜中，______ 的价格相对更稳定；
如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在______ 月的产量相对更高．

25.  本小题分
“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
建立如图所示的平面直角坐标系．
通过对某只野兔一次跳跃中水平距离单位：与竖直高度单位：进行的测量，得到以下数据：

根据上述数据，回答下列问题：
野兔本次跳跃的最远水平距离为______ ，最大竖直高度为______ ；
求满足条件的抛物线的解析式；
已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃______ 填“能”或“不能”跃过篱笆．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
当，时，比较与的大小，并说明理由；
若对于，都有，求的取值范围．

27.  本小题分
如图，正方形中，点，分别在，上，，，交于点．
求的度数；
在线段上截取，连接，的角平分线交于点．
依题意补全图形；
用等式表示线段与的数量关系，并证明．

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的关联直线例如，点的关联直线为．
已知点．
点的关联直线为______ ；
若与点的关联直线相切，则的半径为______ ；
已知点，点点为直线上的动点．
当时，求点到点的关联直线的距离的最大值；
以为圆心，为半径作在点运动过程中，当点的关联直线与交于，两点时，的最小值为，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意；
B、该圆锥主视图为等腰三角形，故本选项不符合题意；
C、该三棱锥的主视图为三角形三角形内部由一条纵向的实线，故本选项不符合题意；
D、球的主视图是圆，故本选项不符合题意．
故选：．
找到从正面看所得到的图形，作出判断即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据线段的性质可知，点即为所求作的位置．
符合题意的画法是．
故选：．
连接甲乙，交于点，点就是所求的点，理由是连接甲、乙的所有线中，线段最短．
本题考查应用与设计作图，利用两点之间线段最短是解决问题关键，学会将实际问题转化为数学知识．
 

4.【答案】 

【解析】解：从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是，
故选：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：
A.由图可知，，得，那么A错误．
B.由图可知，，得，那么B正确．
D.由图可知，，得，那么C错误．
D.由图可知，，得，那么D错误．
故选：．
根据数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质解决此题．
本题主要考查数轴上的点表示的数、实数的乘法、绝对值、不等式的性质，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
．
故选：．
由关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式，即可得方程，解此方程即可求得答案．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，注意若一元二次方程有两个相等的实数根，则可得．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
被测物体表面的倾斜角为．
故选：．
由平行线的性质，垂直的定义得到，，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理即可得到．
本题考查垂直的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，关键是理解题意，应用以上知识点来解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图可设为常数，且，，由图可设为常数，，
将代入得：，
与的函数关系为一次函数关系，
，，，
，，
与的函数图象过一、二、四象限．
故选：．
由图可设为常数，且，，由图可设为常数，，将代入得，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．
本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，则，
故实数的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
方程两边都乘以约去分母得：
，
解这个整式方程得，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
故答案为：．
先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．
本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据表格可得，从而可得，即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
点为的中点，
，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，则，所以，由点为的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据勾股定理求出的长是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：把代，可得，
，
点与点关于原点对称，
，
故答案为：．
把代，可得，可得，再根据点与点关于原点对称，即可得到的坐标．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：连接，，
六边形是正六边形，，
，，
，
，
点在正六边形的边上运动，，
，
．
故答案为：答案不唯一．
由正多边形的性质和平行线的性质求得，可得的取值范围，即可得到答案．
本题主要考查了正多边形和圆，根据正多边形的性质和平行线的性质求得，得到的取值范围是解决问题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：设烧制这批陶艺品需使用款电热窑次，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为，
款电热窑至少使用次．
故答案为：；
当使用款电热窑烧制次时，将第次的个大尺寸陶艺品位置替换成个中尺寸陶艺品，个大尺寸陶艺品位置替换成个小尺寸陶艺品，
还需烧制中尺寸陶艺品个，小尺寸陶艺品个，
又款电热窑一次可烧制个中尺寸陶艺品，个小尺寸陶艺品，
还需使用款电热窑烧制一次，
此方案所需成本为元．
当款电热窑使用次时，所需成本为元．
，
烧制这批陶艺品成本最低为元．
故答案为：．
设烧制这批陶艺品需使用款电热窑次，由烧制大尺寸陶艺品只能使用款电热窑及烧制的大尺寸陶艺品不少于个，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论；
当使用款电热窑烧制次时，可求出恰好还需使用款电热窑烧制一次，求出该方案的成本，再求出使用款电热窑烧制次所需成本，比较后即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；根据各数量之间的关系，求出各烧制方案所需的成本．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：

，
，
，
，
原式． 

【解析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式，化简，再根据，可得，整体代入求值即可．
本题考查了完全平方公式，代数式求值，涉及单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握整体代入法是解题的关键．
 

20.【答案】解：若选择方法一：
如图：延长到点，使得，连接，

，，
，，
，
，
≌，
，
是等边三角形，
，
，
；
若选择方法二：
如图，在线段上取一点，使得，连接，

，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
即． 

【解析】若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用平角定义求出，从而可得，然后利用证明≌，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；
若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，最后利用等量代换可得，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
解：，，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
∽，
，
即，
． 

【解析】根据平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；
根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查矩形的判定和性质，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．
 

22.【答案】解：将点，代入一次函数得，
解得，
一次函数解析式：；
当时，，
根据题意，可知当时，，
解得，
的取值范围是． 

【解析】待定系数法求解析式；
当时，求出的值，然后根据题意，得不等式，即可求出的取值范围．
本题考查了一次函数解析式与图象，熟练掌握待定系数法与函数图象是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，连接，

是的直径，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
又为的半径，
是的切线；
解：如图，连接，，

由知，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，连接交于点，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定可得出答案；
连接，，根据锐角三角函数求出，，根据平行线的性质得出，根据锐角三角函数求解即可．
此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、解直角三角形是解题的关键．
 

24.【答案】    西红柿   

【解析】解：把西红柿在当地年月至月的价格从小到大排列，排在中间的两个数分别是和，故中位数；
黄瓜在当地年月至月的价格中，元千克出现了次，出现的次数最多，故众数；
故答案为：；；
由折线统计图可知，西红柿的价格在元千克至元千克徘徊，黄瓜的价格在元千克至元千克徘徊，所以在西红柿与黄瓜中，西红柿的价格相对更稳定．
故答案为：西红柿；
由统计图可知，月份两种蔬菜的价格最低，所以如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在月的产量相对更高．
故答案为：．
分别根据中位数和众数的定义可得、的值；
根据方差的意义解答即可；
根据统计图解答即可．
本题考查了折线统计图、中位数、众数和方差，掌握相关统计量的意义是解决问题的关键．
 

25.【答案】    能 

【解析】解：由，和，可知，
野兔本次跳跃的最远水平距离为米，
对称轴为直线，
当时，有最大值，
野兔本次跳跃的最大竖直高度为米，
故答案为：，；
设抛物线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
抛物线的解析式为；
设野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为，
根据题意得：，
解得，
野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为，
当时，，
，
野兔此次跳跃能跃过篱笆．
故答案为：能．
根据表中数据得出结论；
设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可；
先根据兔子跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为，求出函数解析式，再把代入解析式求出与比较即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

26.【答案】解：由题意可知，在抛物线上，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，到对称轴的距离相同，
；
当时，则，
解得，，
抛物线经过点，，
对称轴为直线，
对于，都有，
，
解得，
，
解得． 

【解析】抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断；
求得抛物线与直线的交点，即可求得对称轴，由对于，都有得到，解得，从而得到，解得．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：四边形是正方形，
，，
又，
≌，
，
，
，
；
如图所示：

，理由如下：过点作，交的延长线于点，

，
，
，
平分，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
又，
，
又，，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，由余角的性质可得结论；
由题意补全图形；
由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

28.【答案】  

【解析】解：点，
点的关联直线为：；
故答案为：；
如图，设直线与相切的切点为，连接，

，
在中，当时，，
，
当时，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
则的半径为；
故答案为：；
当时，，
设直线的解析式为：，
，
，解得：，
直线的解析式为：，
设点的坐标为，
点的关联直线为：，
点的关联直线经过定点，
如图，过点作直线的垂线，垂足为，连接，

，
当点与点重合时，最大，即点到点的关联直线的距离最大，
点到点的关联直线的距离的最大值为：；
点，点，
得直线的解析式为：，
设点的坐标为，
点的关联直线为：，
点的关联直线经过定点，
如图，过点作于，连接，则，

要想使最小，因为是定值，则为最大，
由可知：当与重合时，最大，
，
则：，
解得：或．
根据点的关联直线的定义可解答；
先根据切线的性质得：，再根据直角三角形斜边中线的性质可得的长，即可得的半径的长；
根据待定系数法可求得直线的解析式，设，表示点的关联直线，确定这个关联直线经过定点，可得结论；
同理确定的解析式，及点关联直线的解析式和定点坐标，根据两点的距离公式列方程可解答．
本题是一次函数的综合题，考查一次函数的图象及性质，两点的距离公式，新定义：关联直线的理解和运用等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，数形结合是解题的关键．