2023年四川省成都市天府新区中考数学二诊试卷（含解析）

2023年四川省成都市天府新区中考数学二诊试卷

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  成都作为中国西部大开发的重要战略支点，是立足“一带一路”建设和长江经济发展的重要节点，充分发挥服务国家向西向南开放的独特区位优势，年实现外贸进出口达亿元将数据“亿”用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  年春节前夕，天府新区师生以“绘天府迎新春”为主题，创作上万件艺术作品，在约公里的兴隆湖环湖跑道上进行展览，某校九年级个班提供的艺术作品数单位：件分别为：，，，，，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，已知，，添加下列条件，能判定≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  我国古代数学名著算法统宗中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺文，罗布每尺文，那么可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为，则下列选项中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  分解因式：______．

10.  一次函数，若随的增大而增大，则的取值范围是______ ．

11.  如图，已知圆周角，半径，则扇形的面积是______ ．

12.  在非零实数范围内规定，若，则的值为______ ．

13.  如图，直线，，分别在直线，上，连接，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交直线于点，若，，则线段的长为______ ．

14.  计算：；
解不等式组：．

15.  年月，第届世界科幻大会将在成都举行，这是世界科幻大会首次来到中
国，将进一步打开中国科幻与世界交流的窗口，为此，中建西南院以古蜀文化和科幻创意元素相容为亮点，打造了四段主题的水岸空间，分别为：古蜀新语、奇幻商周、林泽水韵、沃野渔桑某校某班为了解该班学生最喜欢的水岸空间主题，随机抽查了部分学生，并根据调查结果绘制成不完整的统计图：

表中的值为的值为______ ；
扇形统计图中“林泽水韵”对应的扇形圆心角的度数为______ ；
本次调查中，喜欢“林泽水韵”的人中有两名男生两名女生，若从中随机抽取两名同学进行该主题宣讲，请利用树状图或列表法，求恰好抽到一名男生一名女生的概率．

16.  年月，在天府新区组织的“迎大运盛会，创文明典范小手拉大手”暨天府少年追光行动启动仪式上，某学校的中国鼓表演获得了大家的一致好评圆圆同学按照中国鼓上下两个面是半径相同的圆画出了它的主视图如图，点是图形内部一点，若，，求该鼓的厚度精确到，参考数据：，，，，
 

17.  如图，在中，，以为直径作，过点作，且，射线交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

18.  如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点是轴负半轴上的一点．
分别求出直线和双曲线的表达式；
连接，，，，若，求点的坐标；
我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“美丽四边形”在的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

19.  若实数，，满足，且，则 ______ ．

20.  已知关于的一元二次方程的两实数根，满足，则 ______ ．

21.  如图，等腰三角形内接于，，，向内任意抛掷一枚小针，则小针针尖落在等腰三角形内的概率为______ ．

22.  在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值例如测量数据为，，，时，设最佳值为，那么应为最小，此时 ______ ；设某次实验测量了次，由这次数据的得到的最佳值为；又测量了次，这次数据得到的最佳值为，则利用这次数据得到的最佳值为______ ．

23.  如图，在中，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为______ ．

24.  “爱成都，创文明，迎大运”，卫生环境先着手，为提高工作效率，某清洁工具生产商投产一种新型垃圾夹，每件制造成本为元，在试销过程中发现，每月销量万件与销售单价元之间关系可以近似地看作一次函数．
写出每月的利润万元与销售单价元之间函数解析式；
当销售单价为多少元时，生产商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？

25.  【学习与思考】类比圆的切线，抛物线的切线是指过抛物线上一点的直线，这条直线不与轴垂直并且与抛物线只有一个公共点比如在平面直角坐标系中，抛物线上的点，过点的切线可写作：，代入，，得到，所以，与联立，得到，因为只有一个公共点，所以，得到，所以经过点的切线为．
【理解与应用】在平面直角坐标系中，抛物线．
点在抛物线上，设过点的切线为．
若，求的表达式；
设与轴交于点，过点作轴于点，求证：四边形为平行四边形；
动点，在该抛物线上，分别过点，作抛物线切线，，设，交于点若点始终在直线上，试说明直线经过定点，并求出该定点坐标．
 

26.  在中，，，，点在线段上，点在线段上，将沿翻折使顶点落在直线上的点处．
如图，当时，求的长；
当，，中一点为另两点组成的线段的中点时，求的长；
如图，平分交于当点在线段上时，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得．
故选：．
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
考查了绝对值的性质．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B正确，符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，单项式乘除法法则，积的乘方与幂的乘方法则逐项判断即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是．
故选：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

5.【答案】 

【解析】解：将这五个数据从小到大排列：，，，，，
中位数是．
故选：．
根据中位数的意义，找到排序后处在中间位置的数即可．
本题考查中位数的意义，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
又，
添加，不能判定≌，
故A不符合题意；
添加，
≌，
故B符合题意；
添加，不能判定≌，
故C不符合题意；
添加，不能判定≌，
故D不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：一匹尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，
；
每尺罗布比绫布便宜文，
．
根据题意可列出方程组．
故选：．
根据“一匹尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，且每尺罗布比绫布便宜文”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象开口向上，可知，
与轴的交点在轴的上方，可知，
又对称轴方程为，所以，所以，
，故A不符合题意；
二次函数的图象与轴交于，两点，
，
，故B不符合题意；
，
，
当时，，
，
，故C不符合题意；
当时，，
，故D符合题意，
故选：．
由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故A错误；根据二次函数的图象与轴的交点，得到，求得，故B错误；根据对称轴方程得到，当时，，于是得到，故C错误；当时，，故D正确．
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：一次函数，若随的增大而增大，
，
解得，．
故答案是：．
根据图象的增减性来确定的取值范围，从而求解．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系．
函数值随的增大而减小；
函数值随的增大而增大．
 

11.【答案】 

【解析】解：圆周角，
圆心角，

故答案为：．
利用圆周角等于圆心角的一半得出，然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
本题考查了圆周角定理、扇形的计算，熟知扇形面积公式及圆周角定理的使用是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得：．
经检验，是原方程的根，
．
故答案为：．
利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．
本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于点．

由作图可知，平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点证明，解直角三角形求出即可．
本题考查作图基本作图，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形即可解问题．
 

14.【答案】解：原式

；
解不等式得：；
解不等式得：；
原不等式的解集为， 

【解析】原式第一项利用零指数幂的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用平方根的意义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．
先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：被调查的总人数为人，
人，
则人，
故答案为：、；
扇形统计图中“林泽水韵”对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果有种，
恰好抽到一男一女的概率为．
由“古蜀新语”的人数及其所占百分比求出被调查的总人数，继而可求得、的值；
用乘以“林泽水韵”人数占总人数的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法、扇形统计图和条形统计图等知识，通过树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

16.【答案】解：过作于，
在中，，
，，
，，
，
，
，
答：该鼓的厚度约为． 

【解析】过作于，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】证明：连接，如图，
，
．
，
，
．
，
，
，
即，
，
为的半径，
是的切线；
解：在中，
，
设，则，，
，
．
在中，
，
，
，
，
．
，，
∽，
．
，
，
，
，
． 

【解析】连接，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质，垂直的定义和圆的切线的判定定理解答即可；
利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，利用勾股定理得到，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用相似三角形的判定与性质求出线段，利用勾股定理求得，则值可得，结论可求．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

18.【答案】解：直线经过点，
，
解得：，
；
双曲线经过点，
，
解得：，
；
如图，设直线交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，

联立方程组，得，
解得：，，
，又，
，，
在中，令，得，
解得：，
，
，
设，且，
，
，即，
，
，即，
解得：，
；
平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形．
，，，
，，，
，，
，
是直角三角形，，
设，
当≌时，如图，

则，，
，
解得：，
；
当≌时，如图，

则，，
，
解得：，
；
当≌时，如图，设直线交轴于点，过点作轴于，作轴，过点作于，
则，，

由知：，
，，
，
，，，
是等腰直角三角形，，
轴，
，
，
，即，
，，
≌，
，，
，，
，，
；
综上所述，平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或． 

【解析】运用待定系数法即可求得直线和双曲线的函数表达式；
设直线交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，且，则，根据，建立方程求解即可求得答案；
设，分三种情况：当≌时，利用平移的性质可得；当≌时，运用平移的性质可得；当≌时，通过 构造全等三角形建立方程即可得出．
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理，等腰直角三角形的性质等，解题关键是理解题意，运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
，，，
，
，
解得．
故答案为：．
利用比例性质得到，，，再把它们代入中得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质是解决问题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
而，
所以，，
所以，
所以．
故答案为：．
根据根与系数的关系得到，，由，则可先求出和，然后计算的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

21.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于，连接，
等腰三角形内接于，，，
，，
，
设的半径为，依题意有：
，
解得，
，
，
小针针尖落在等腰三角形内的概率为．
故答案为：．
分别计算出和的面积，再由小麦针尖落在等腰三角形内的概率即为两者的面积比可得答案．
本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
 

22.【答案】  

【解析】解：


，
，
当时，有最小值；
次数据的得到的最佳值为，次数据得到的最佳值为，
次数据得到的最佳值为．
故答案为：，．
利用完全平方公式展开后合并，再配方得到，则利用非负数的性质得到当时，代数式有最小值；次数据得到的最佳值为个数据的平均数．
本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决问题的关键，完全平方公式为．
 

23.【答案】 

【解析】解：作∽，连接，过点作，交的延长线于点，如图，
∽，
，
，
．
，
，
，，在一条直线上时，即时，取得最小值为．
由题意：，，，
四边形为矩形，
，．
∽，
，
，
，
．
的最小值为．
故答案为：．
作∽，连接，过点作，交的延长线于点，利用相似三角形的性质得到利用两点之间线段最短可得，，，在一条直线上时，即时，取得最小值为；利用矩形的性质和勾股定理解答即可得出结论．
本题主要考查了胡不归问题，相似三角形的判定与性质，作∽，找出是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
故与之间的函数解析式为；
由得，
，
当时，最大为万元．
当销售单价为元时，生产商每月能够获得最大利润，最大利润是万元． 

【解析】每件制造成本为元，在试销过程中发现，每月销量万件与销售单价元之间关系可以近似地看作一次函数．
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式求出最值．
 

25.【答案】解：若，点，
设直线的表达式为：，
联立线和并整理得：，
则，
解得：，
故直线的表达式为：；
证明：点，

设直线的表达式为：，
联立和并整理得：，
则，则，
则直线的表达式为：，
当时，，
即，
，
四边形为平行四边形；

解：设点、的坐标分别为、，
由知，，即直线的值等于点的横坐标，
则过点的切线为：，
过点的切线为：，
设点的坐标为，
将点的坐标分别代入过点、的切线的表达式得：，，
则点、在直线上，
整理得：，
当时，，
即直线过定点，定点坐标为：． 

【解析】设直线的表达式为：，联立线和并整理得：，由，即可求解；
求出直线的表达式为：，进而求解；
求出过点的切线为：，过点的切线为：，设点的坐标为，证明点、在直线上，进而求解．
本题是二次函数综合题，涉及到新定义、函数过定点、一次函数的基本性质、平行四边形的性质等，正确理解新定义和学会处理复杂数据是本题解题的关键．
 

26.【答案】解：如图中，

，，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，，
，
，
，
；

如图中，当时，过点作于点．

，
，
，
，
设，则有，
，
；

如图中，当时，过点作于点，则，．

设，则，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．

连接．

平分，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
当时，的值最小，此时，
最小时，的值最小，
观察图象可知，当与重合时，的值最小，最小值为，
的最小值为． 

【解析】证明四边形是菱形，推出，，构建方程求出，可得结论；
分两种情形：如图中，当时，过点作于点如图中，当时，过点作于点，分别求解即可；
连接证明，推出，，，四点共圆，推出，证明，当时，的值最小，此时．
本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．