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徐州市A卷-2023年中考数学金榜预测卷（江苏地区专用）
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2022—2023学年徐州市中考金榜预测卷A
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．2和12 B．﹣0.5和12 C．﹣3和13 D．12和﹣2
【分析】根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：只有符号不同的两个数互为相反数，
且互为相反数两个数相加得0，
﹣0.5+12=0．
故选：B．
【点评】题目考查了相反数的定义，解决题目的关键是掌握相反数的定义，并且了解互为相反数的两个数相加得0．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可得．
【解答】解：A．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．此图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
D．此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的概念．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x9 B．b3+b3＝2b3 C．a6÷a3＝a2 D．a2•a6＝a12
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A错误；
B、合并同类项系数相加字母及指数不变，故B正确；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（3分）响应国家体育总局提出的“全民战疫居家健身”，学校组织了趣味横生的线上活动．某校组织了“一分钟跳绳”活动，根据10名学生上报的跳绳成绩，将数据整理制成如下统计表：
一分钟跳绳个数
141
144
145
146
学生人数（名）
5
2
1
2
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．平均数是144 B．众数是141
C．中位数是144.5 D．方差是5.4
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．
【解答】解：根据题目给出的数据，可得：
平均数为：x=141×5+144×2+145×1+146×25+2+1+2=143，故A选项不合题意；
众数是141，故B选项符合题意；
中位数是：141+1442=142.5，故C选项不合题意；
方差是：s2=110×[（141﹣143）2×5+（144﹣143）2×2+（145﹣143）2+（146﹣143）2×2]＝4.4，故D选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的性质和计算，熟悉相关定义与公式是解题的关键．
5．（3分）从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（ ）
A．不可能抽到 B．可能抽到
C．很有可能抽到 D．一定能抽到
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，
若抽出全部4张梅花、3张黑桃，则还会抽出1张红桃，
所以其中红桃这种花色一定能抽到，
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B＝60°，AB＝3，则▱ABCD的周长为（ ）
A．12 B．18 C．15 D．21
【分析】由平行四边形的性质可得∠B＝∠D＝60°，AB＝CD＝3，与折叠的性质可得AE＝AD，CD＝CE＝3，∠D＝∠E＝60°，可证△AED是等边三角形，可得AD＝AE＝DE＝6，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝CD＝3，
∵将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，
∴AE＝AD，CD＝CE＝3，∠D＝∠E＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE＝CE+CD＝6，
∴▱ABCD的周长为＝2（AD+AB）＝18，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
7．（3分）一元二次方程x2+x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论．
【解答】解：∵x2+x+2＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若OCOB=ODOA，则图中一定相似的三角形是（ ）
A．△BOA∽△BAD B．△BOA∽△COD C．△BOC∽△BCD D．△COB∽△CBA
【分析】由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可证△BOA∽△COD．
【解答】解：∵OCOB=ODOA，∠AOB＝∠DOC，
∴△BOA∽△COD，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）若代数式2x-1有意义，则实数x的取值范围是 x≥12 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出2x﹣1≥0，进而得出答案．
【解答】解：若代数式2x-1有意义，
则2x﹣1≥0，
解得：x≥12，
则实数x的取值范围是：x≥12．
故答案为：x≥12．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
10．（3分）若∠A与∠B互为补角，并且∠B度数的一半比∠A的度数小30°，则∠B的度数为 100° ．
【分析】根据互为补角的和等于180°，然后根据题意列出关于∠A、∠B的二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：根据题意可得：∠A+∠B＝180°①，且12∠B＝∠A﹣30°②，
由①得：∠A＝180°﹣∠B③，
把③代入②得：12∠B＝180°﹣∠B﹣30°，
解得∠B＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查了互为补角的和等于180°的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（3分）把多项式x2y﹣9y分解因式为 y（x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2﹣9）
＝y（x+3）（x﹣3），
故答案为：y（x+3）（x﹣3）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示中国每年浪费食物总量折合粮食大约是3010000000人一年的口粮，用科学记数法表示3010000000为 3.01×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3010000000＝3.01×109．
故答案为：3.01×109．
【点评】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
13．（3分）解关于x的方程x-3x-2=2mx-2有增根，则m的值为 -12 ．
【分析】有增根，那么最简公分母x﹣2＝0，所以增根是x＝2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得x﹣3＝2m，
∵方程有增根，
∴增根使最简公分母x﹣2＝0，即增根是x＝2，
把x＝2代入整式方程，得m=-12．
故答案为：-12．
【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根是关键．
14．（3分）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 49 ．
【分析】根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，
∴小球停在阴影部分的概率是49，
故答案为：49．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的顶点B在x轴的正半轴上，反比例函数y=2x（x＞0）的图象与边OC交于点E，已知E为边OC的中点，则△OBC的面积为 4 ．
【分析】过E作EA⊥x轴于点A，根据反比例函数比例系数的几何意义得△OAE的面积，再由相似三角形的性质求得结果．
【解答】解：过E作EA⊥x轴于点A，如图，
则S△OAE=12×2=1，
∵∠OBC＝90°，
∴AE∥BC，
∴S△OAES△OBC=(OEOC)2=(12)2=14，
∴S△OBC＝4S△OAE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查反比例函数图象与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义求得△OAE的面积．
16．（3分）已知一个圆锥的高与母线之比为4：5，则其侧面展开图的圆心角度数为 216° ．
【分析】根据圆锥的高与母线之比为4：5，设圆锥的高为4x，则圆锥的母线长为5x，然后根据勾股定理得：其底面半径为3x，从而求得其底面周长，然后利用弧长公式列式求解即可．
【解答】解：∵圆锥的高与母线之比为4：5，
∴设圆锥的高为4x，则圆锥的母线长为5x，
根据勾股定理得：其底面半径为3x，
∴圆锥侧面展开图的弧长是：6xπcm，
设圆心角的度数是n度．则nπ×5x180=6xπ，
解得：n＝216．
故答案为：216°．
【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17．（3分）如图，⊙O的半径OA＝3，点B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，且BC＝OA，连接OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为 33或32 ．
【分析】分两种情况：当∠AOC＝90°时，连接OB，根据切线的性质得到∠OBC＝90°，再根据勾股定理得到AC=OA2+OC2=33；当∠OAC＝90°，连接OB，根据勾股定理求出OC．
【解答】解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵BC＝OA，OA＝3，
∴OB＝BC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∴∠ACO≤45°，
∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，
∴OC=2OB＝32，
∴AC=OA2+OC2=32+(32)2=33；
②当△OAC是直角三角形时，∠OAC＝90°，连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝∠OAC＝90°，
∵BC＝OA＝OB＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴OC＝32，
故答案为：33或32．
【点评】本题考查了切线的性质．勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
18．（3分）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB＝6，则BP﹣PE的最大值是 3 ．
【分析】连接PC，由△ABC是等边三角形，AD是中线，则AD⊥BC，所以PC＝PB，在△PCE中，CP﹣PE＜EC，即CP﹣PE＜3，当P与A重合时，CP﹣PE的值最大为3，BP﹣PE的最大值是3．
【解答】解：如图，连接PC，
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∵E是AC边的中点，AB＝6，
∴EC＝3，
在△PCE中，CP﹣PE＜EC，
∴CP﹣PE＜3，
∴当P与A重合时，CP﹣PE的值最大为3，
BP﹣PE的最大值是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是根据三角形两边之差小于第三边得到CP﹣PE＜EC．
三．解答题（共10小题，满分86分）
19．（8分）（1）计算：（-12）﹣2﹣8sin30°﹣（2021﹣π）0；
（2）化简：（1-11-a2）÷a2a-1．
【分析】（1）先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣8×12-1
＝4﹣4﹣1
＝﹣1；
（2）原式=1-a2-1(1-a)(1+a)•a-1a2
=-a2-(a+1)(a-1)•a-1a2
=1a+1．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式的混合运算等知识点，能正确运用实数和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣5＝0；
（2）解不等式组：3x-4＜52x-13＞x-22．
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）分别解两个不等式得到x＜3和x＞﹣4，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±6，
解得x1＝1-6，x2＝1+6；
（2）3x-4＜5①2x-13＞x-22②，
解①得x＜3，
解②得x＞﹣4，
故不等式组的解集为﹣4＜x＜3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了解不等式组．
21．（8分）某中学要了解本校学生的课余活动情况，采取随机抽样的方法从阅读、运动、娱乐、其它四个方面调查了若干名学生的课余活动情况（每名学生必选且只选一﹣项），并将调查的结果绘制了不完整的条形统计图，其中参与运动的学生占所调查人数的20%，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次随机抽样中，一共调查了 100 名学生；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，请你通过计算估计该中学在课余时间参与阅读的学生一共有多少名？
【分析】（1）利用：参与运动的学生人数＝抽样人数×运动学生占调查人数的百分比，计算求值即可；
（2）先计算参与娱乐的人数，再补全条形统计图；
（3）利用：参与阅读的学生＝学校人数×样本中阅读学生占的百分比，计算求值．
【解答】解：（1）由条形图知，课余活动随机调查中：阅读30名、运动20名、其它10名，
由于参与运动的学生占所调查人数的20%，
所以一共调查的学生数为：20÷20%＝100（名）．
故答案为：100．
（2）课余活动随机调查中，参与娱乐的学生有：100﹣30﹣20﹣10＝40（名）．
补全条形图如下：
（3）估计该中学参与阅读的学生有：1200×30%
＝360（名）．
答：估计该中学在课余时间参与阅读的学生有360名．
【点评】本题考查了条形统计图，读懂条形图是解决本题的关键．
22．（8分）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）．
（1）若K1闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 13 ；
（2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）
【分析】（1）利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）在K1闭合的情况下，任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为13．
故答案为：13；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果数为6，
所以小灯泡发光的概率为612=12．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
23．（8分）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，由题意：甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．列出分式方程，解方程即可；
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，由题意：需改造的道路全长为1800米，安排甲、乙两个工程队同时开工，列出一元一次方程，解得m＝18，再求出总费用即可．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，
根据题意得：240x-2401.5x=2，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，
由题意得：60m+40m＝1800，
解得：m＝18，
则18×7+18×5＝216（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．（8分）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图．
（1）在图1中以O为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的12．
（2）在图2中画▱ABEF，使得它与△ABC的面积相等，且E，F在格点上．
【分析】（1）连接OA、OB、OC，分别取它们的中点即可；
（2）取BC的中点E，把AB平移使B点落在E点，则A点的对应点为F点．
【解答】解：（1）如图1，△A′B′C′为所作；
（2）如图2，平行四边形ABEF为所作．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平行四边形的性质．
25．（8分）如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为4米，且坡面BC的坡度为1：1，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：3．
（1）求新坡面AC的坡角及AC的长；
（2）原坡面底部BG的正前方10米外（EB＝10米）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案能否通过？请说明理由．（参考数据：3≈1.73）
【分析】（1）过点C作CH⊥BG，垂足为H，根据坡度的概念求出∠CAH，根据直角三角形的性质求出AC；
（2）根据坡度的概念求出BH，根据正切的定义求出AH，得到AB，结合图形求出EB，计算得到答案．
【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，
∵新坡面AC的坡度为1：3，
∴tan∠CAH=13=33，
∴∠CAH＝30°，即新坡面AC的坡角为30°，
∴AC＝2CH＝8米；
（2）新的设计方案能通过．
理由如下：∵坡面BC的坡度为1：1，
∴BH＝CH＝4，
∵tan∠CAH=33，
∴AH=3CH＝43，
∴AB＝43-4，
∴AE＝EB﹣AB＝10﹣（43-4）＝14﹣43≈7.08＞7，
∴新的设计方案能通过．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．（8分）阅读问题：
赵爽根据图1利用面积关系证明了勾股定理．
（1）小明在此图的基础上，将四个全等的直角三角形变为四个全等的四边形即可得到以下数学问题的解决方案：
问题：四边形AMNB满足∠MAB＝38°，∠NBA＝52°，AB＝4，MN＝2，AM＝BN，求四边形AMNB的面积．
解决思路：
①如图2，将四个全等的四边形围成一个以AB为边的正方形ABCD，则四边形MNPQ的形状是 正方形 （填一种特殊的平行四边形）；
②求得四边形AMNB的面积是 3 ．
（2）类比小明的问题解决思路，完成下面的问题：
如图3，四边形AMNB满足∠MAB＝27°，∠NBA＝33°，AB＝6，MN＝2，AM＝BN，补全图3，四边形AMNB的面积为 833 ．
【分析】（1）①由∠MAB＝38°，∠NBA＝52°，可得∠QMN＝90°＝∠MQP＝∠QPN＝∠PNM，又MN＝MQ＝PQ＝PN，即知四边形MNPQ是正方形；
②根据∠MAB＝38°，∠NBA＝52°可得∠BAD＝90°＝∠ADC＝∠DCB＝∠CBA＝90°，即得四边形ABCD是正方形，从而四边形AMNB的面积是（AB2﹣MN2）÷4＝3；
（2）补图形为等边三角形，由∠MAB＝27°，∠NBA＝33°，得△ABC是等边三角形，S△ABC=34AB2＝93，△DMN是等边三角形，S△DMN=34MN2=3，即得S四边形AMNB＝（93-3）÷3=833．
【解答】解：（1）①∵∠MAB＝38°，∠NBA＝52°，
∴∠AMN+∠BNM＝360°﹣∠MAB﹣∠NBA＝270°，
∵四个四边形全等，
∴∠BNM＝∠AMQ，
∴∠AMN+∠AMQ＝270°，
∴∠QMN＝90°，
同理可得∠MQP＝∠QPN＝∠PNM＝90°，
∴四边形MNPQ是矩形，
∵MN＝MQ＝PQ＝PN，
∴四边形MNPQ是正方形，
故答案为：正方形；
②∵∠MAB＝38°，∠NBA＝52°，
∴∠MAB+∠NBA＝90°，
∵∠NBA＝∠MAD，
∴∠MAB+∠MAD＝90°，即∠BAD＝90°，
同理∠ADC＝∠DCB＝∠CBA＝90°，
又AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴四边形AMNB的面积是（AB2﹣MN2）÷4＝（42﹣22）÷4＝3，
故答案为：3；
（2）补全图形如下：
∵∠MAB＝27°，∠NBA＝33°，
∴∠CAB＝∠CAM+∠MAB＝∠NBA+∠MAB＝60°，
同理∠ACB＝∠CBA＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴S△ABC=34AB2=34×62＝93，
∵∠MAB＝27°，∠NBA＝33°，
∴∠AMN+BNM＝300°，
∵∠BNM＝∠AMD，
∴∠AMN+∠AMD＝300°，
∴∠DMN＝60°，
同理∠MDN＝∠DNM＝60°，
∴△DMN是等边三角形，
∴S△DMN=34MN2=34×22=3，
∴S四边形AMNB＝（93-3）÷3=833，
故答案为：833．
【点评】本题考查四边形面积，解题的关键是根据已知拼出正方形和等边三角形，掌握正方形和等边三角形面积公式．
27．（10分）如图，直线y=-3x+23与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长．
（3）是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在直线y=-3x+23中，分别令y＝0和x＝0，容易求得A、B两点坐标；
（2）由OA、OB的长可求得∠ABO＝30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；
（3）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG＝90°，又∠AFG＝∠OAF＝60°，由（2）可知AF＝4﹣2t，EF＝t，又由二次函数的对称性可得到EG＝2OA＝4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．
【解答】解：（1）在直线y=-3x+23中，
令y＝0，得：-3x+23=0，
解得：x＝2，
令x＝0，得：y＝23，
∴A（2，0），B（0，23）；
（2）由（1）可知OA＝2，OB＝23，
∴tan∠ABO=OAOB=33，
∴∠ABO＝30°，
∵运动时间为t秒，
∴BE=3t，
∵EF∥x轴，
∴在Rt△BEF中，EF＝BE•tan∠ABO=33BE＝t，BF＝2EF＝2t，
在Rt△ABO中，OA＝2，OB＝23，
∴AB＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝4﹣2t；
（3）存在．
∵EG∥x轴，
∴∠GFA＝∠BAO＝60°，
∵G点不能在抛物线的对称轴上，
∴∠FGA≠90°，
∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG＝90°，
又∠FGA＝30°，
∴FG＝2AF，
∵EF＝t，EG＝4，
∴FG＝4﹣t，且AF＝4﹣2t，
∴4﹣t＝2（4﹣2t），
解得：t=43，
即当t的值为43秒时，△AGF为直角三角形，
此时OE＝OB﹣BE＝23-3t＝23-3×43=233，
∴E点坐标为（0，233），
∵抛物线的顶点为A，
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2，
把E点坐标代入可得：233=4a，
解得：a=36，
∴抛物线解析式为y=36（x﹣2）2，
即y=36x2-233x+233．
【点评】本题为二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；在（2）中求得∠ABO＝30°是解题的关键，在（3）判断出∠FAG为直角是解题的突破口，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G面积最大时点G的横坐标；
（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得△BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．
【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2﹣2x+c得到方程组求解即可；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，求出B′H的长，可得点B′的坐标，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx+b，对称轴与AG交于点D，先求得AG解析式，再求得点D的坐标，将△AB'G面积表示成关于t的函数，利用二次函数的最值即可．
（3）由题意可知△B′BA为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．证出△BAQ≌△BB′P，可得AP垂直平分BB′，则C点在直线AP上，可求出直线AP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．
【解答】解：（1）由题意得：0=a+2+c0=9a-6+c，
解得：a=1c=-3，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，
由翻折得AB′＝AB＝4，
在Rt△AB′H中，由勾股定理，得B′H=AB'2-AH2=42-22=23，
∴点B′的坐标为（1，23），
设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx+b，对称轴与AG交于点D，
则：tk+b=r-k+b=0，解得：k=rt+1b=rt+1，
∴直线AG解析式为y=rt+1x+rt+1，
∴D（1，2rt+1），
∴B′D＝23-2rt+1，
∴S△AB′G＝S△AB′D+S△GB′D
=12•B′D•2+12•B′D•（t﹣1）
=12•B′D•（t+1）
=12（23-2rt+1）（t+1）
=3（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）
＝﹣t2+（2+3）t+3+3，
∵﹣1＜0，
∴当t=-2+32×(-1)=2+32时，S△AB′G的值最大，此时点G坐标为（2+32，-134）；
（3）存在．
取（2）中的点B′，B，连接BB′，
∵AB′＝AB，∠B′AB＝60°，
∴△ABB′为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BQ＝BP，AB＝BB′，∠PBQ＝∠B′BA＝60°，
∴∠ABQ＝∠B′BP，
∴△ABQ≌△B′BP（SAS），
∴AQ＝B′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴AQ＝BQ，
∴B′P＝BQ＝BP，
又∵AB′＝AB，
∴AP垂直平分BB′，
由翻折可知AC垂直平分BB′，
∴点C在直线AP上，
设直线AP的函数表达式为y＝k1x+b1，
则-k1+b1=0k1+b=233，解得：k1=33b1=33，
∴直线AP的函数表达式为y=33x+33．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BP＝BQ，AB＝BB′，∠BB′A＝∠QBP＝∠B′BA＝60°．
∴∠ABP＝∠B′BQ，
∴△ABP≌△B′BQ（SAS），
∴∠BAP＝∠BB′Q，
∵AB′＝BB′，B′H⊥AB，
∴∠BB′Q=12∠BB′A＝30°，
∴∠BAP＝30°，
设AP与y轴相交于点E，
在Rt△AOE中，OE＝OA•tan∠BAP＝OA•tan30°＝1×33=33，
∴点E的坐标为（0，-33）．
设直线AP的函数表达式为y＝mx+n，
则0=-m+n-33=n，解得：m=-33n=-33，
∴直线AP的函数表达式为y=-33x-33．
综上所述，直线AP的函数表达式为y=33x+33或y=-33x-33．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．
2022—2023学年徐州市中考金榜预测卷A
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．2和12 B．﹣0.5和12 C．﹣3和13 D．12和﹣2
【分析】根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：只有符号不同的两个数互为相反数，
且互为相反数两个数相加得0，
﹣0.5+12=0．
故选：B．
【点评】题目考查了相反数的定义，解决题目的关键是掌握相反数的定义，并且了解互为相反数的两个数相加得0．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可得．
【解答】解：A．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．此图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
D．此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的概念．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x9 B．b3+b3＝2b3 C．a6÷a3＝a2 D．a2•a6＝a12
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A错误；
B、合并同类项系数相加字母及指数不变，故B正确；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（3分）响应国家体育总局提出的“全民战疫居家健身”，学校组织了趣味横生的线上活动．某校组织了“一分钟跳绳”活动，根据10名学生上报的跳绳成绩，将数据整理制成如下统计表：
一分钟跳绳个数
141
144
145
146
学生人数（名）
5
2
1
2
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．平均数是144 B．众数是141
C．中位数是144.5 D．方差是5.4
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．
【解答】解：根据题目给出的数据，可得：
平均数为：x=141×5+144×2+145×1+146×25+2+1+2=143，故A选项不合题意；
众数是141，故B选项符合题意；
中位数是：141+1442=142.5，故C选项不合题意；
方差是：s2=110×[（141﹣143）2×5+（144﹣143）2×2+（145﹣143）2+（146﹣143）2×2]＝4.4，故D选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的性质和计算，熟悉相关定义与公式是解题的关键．
5．（3分）从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（ ）
A．不可能抽到 B．可能抽到
C．很有可能抽到 D．一定能抽到
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，
若抽出全部4张梅花、3张黑桃，则还会抽出1张红桃，
所以其中红桃这种花色一定能抽到，
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B＝60°，AB＝3，则▱ABCD的周长为（ ）
A．12 B．18 C．15 D．21
【分析】由平行四边形的性质可得∠B＝∠D＝60°，AB＝CD＝3，与折叠的性质可得AE＝AD，CD＝CE＝3，∠D＝∠E＝60°，可证△AED是等边三角形，可得AD＝AE＝DE＝6，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝CD＝3，
∵将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，
∴AE＝AD，CD＝CE＝3，∠D＝∠E＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE＝CE+CD＝6，
∴▱ABCD的周长为＝2（AD+AB）＝18，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
7．（3分）一元二次方程x2+x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论．
【解答】解：∵x2+x+2＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若OCOB=ODOA，则图中一定相似的三角形是（ ）
A．△BOA∽△BAD B．△BOA∽△COD C．△BOC∽△BCD D．△COB∽△CBA
【分析】由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可证△BOA∽△COD．
【解答】解：∵OCOB=ODOA，∠AOB＝∠DOC，
∴△BOA∽△COD，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）若代数式2x-1有意义，则实数x的取值范围是 x≥12 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出2x﹣1≥0，进而得出答案．
【解答】解：若代数式2x-1有意义，
则2x﹣1≥0，
解得：x≥12，
则实数x的取值范围是：x≥12．
故答案为：x≥12．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
10．（3分）若∠A与∠B互为补角，并且∠B度数的一半比∠A的度数小30°，则∠B的度数为 100° ．
【分析】根据互为补角的和等于180°，然后根据题意列出关于∠A、∠B的二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：根据题意可得：∠A+∠B＝180°①，且12∠B＝∠A﹣30°②，
由①得：∠A＝180°﹣∠B③，
把③代入②得：12∠B＝180°﹣∠B﹣30°，
解得∠B＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查了互为补角的和等于180°的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（3分）把多项式x2y﹣9y分解因式为 y（x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2﹣9）
＝y（x+3）（x﹣3），
故答案为：y（x+3）（x﹣3）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示中国每年浪费食物总量折合粮食大约是3010000000人一年的口粮，用科学记数法表示3010000000为 3.01×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3010000000＝3.01×109．
故答案为：3.01×109．
【点评】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
13．（3分）解关于x的方程x-3x-2=2mx-2有增根，则m的值为 -12 ．
【分析】有增根，那么最简公分母x﹣2＝0，所以增根是x＝2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得x﹣3＝2m，
∵方程有增根，
∴增根使最简公分母x﹣2＝0，即增根是x＝2，
把x＝2代入整式方程，得m=-12．
故答案为：-12．
【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根是关键．
14．（3分）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 49 ．
【分析】根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，
∴小球停在阴影部分的概率是49，
故答案为：49．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的顶点B在x轴的正半轴上，反比例函数y=2x（x＞0）的图象与边OC交于点E，已知E为边OC的中点，则△OBC的面积为 4 ．
【分析】过E作EA⊥x轴于点A，根据反比例函数比例系数的几何意义得△OAE的面积，再由相似三角形的性质求得结果．
【解答】解：过E作EA⊥x轴于点A，如图，
则S△OAE=12×2=1，
∵∠OBC＝90°，
∴AE∥BC，
∴S△OAES△OBC=(OEOC)2=(12)2=14，
∴S△OBC＝4S△OAE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查反比例函数图象与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义求得△OAE的面积．
16．（3分）已知一个圆锥的高与母线之比为4：5，则其侧面展开图的圆心角度数为 216° ．
【分析】根据圆锥的高与母线之比为4：5，设圆锥的高为4x，则圆锥的母线长为5x，然后根据勾股定理得：其底面半径为3x，从而求得其底面周长，然后利用弧长公式列式求解即可．
【解答】解：∵圆锥的高与母线之比为4：5，
∴设圆锥的高为4x，则圆锥的母线长为5x，
根据勾股定理得：其底面半径为3x，
∴圆锥侧面展开图的弧长是：6xπcm，
设圆心角的度数是n度．则nπ×5x180=6xπ，
解得：n＝216．
故答案为：216°．
【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17．（3分）如图，⊙O的半径OA＝3，点B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，且BC＝OA，连接OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为 33或32 ．
【分析】分两种情况：当∠AOC＝90°时，连接OB，根据切线的性质得到∠OBC＝90°，再根据勾股定理得到AC=OA2+OC2=33；当∠OAC＝90°，连接OB，根据勾股定理求出OC．
【解答】解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵BC＝OA，OA＝3，
∴OB＝BC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∴∠ACO≤45°，
∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，
∴OC=2OB＝32，
∴AC=OA2+OC2=32+(32)2=33；
②当△OAC是直角三角形时，∠OAC＝90°，连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝∠OAC＝90°，
∵BC＝OA＝OB＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴OC＝32，
故答案为：33或32．
【点评】本题考查了切线的性质．勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
18．（3分）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB＝6，则BP﹣PE的最大值是 3 ．
【分析】连接PC，由△ABC是等边三角形，AD是中线，则AD⊥BC，所以PC＝PB，在△PCE中，CP﹣PE＜EC，即CP﹣PE＜3，当P与A重合时，CP﹣PE的值最大为3，BP﹣PE的最大值是3．
【解答】解：如图，连接PC，
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∵E是AC边的中点，AB＝6，
∴EC＝3，
在△PCE中，CP﹣PE＜EC，
∴CP﹣PE＜3，
∴当P与A重合时，CP﹣PE的值最大为3，
BP﹣PE的最大值是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是根据三角形两边之差小于第三边得到CP﹣PE＜EC．
三．解答题（共10小题，满分86分）
19．（8分）（1）计算：（-12）﹣2﹣8sin30°﹣（2021﹣π）0；
（2）化简：（1-11-a2）÷a2a-1．
【分析】（1）先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣8×12-1
＝4﹣4﹣1
＝﹣1；
（2）原式=1-a2-1(1-a)(1+a)•a-1a2
=-a2-(a+1)(a-1)•a-1a2
=1a+1．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式的混合运算等知识点，能正确运用实数和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣5＝0；
（2）解不等式组：3x-4＜52x-13＞x-22．
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）分别解两个不等式得到x＜3和x＞﹣4，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±6，
解得x1＝1-6，x2＝1+6；
（2）3x-4＜5①2x-13＞x-22②，
解①得x＜3，
解②得x＞﹣4，
故不等式组的解集为﹣4＜x＜3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了解不等式组．
21．（8分）某中学要了解本校学生的课余活动情况，采取随机抽样的方法从阅读、运动、娱乐、其它四个方面调查了若干名学生的课余活动情况（每名学生必选且只选一﹣项），并将调查的结果绘制了不完整的条形统计图，其中参与运动的学生占所调查人数的20%，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次随机抽样中，一共调查了 100 名学生；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，请你通过计算估计该中学在课余时间参与阅读的学生一共有多少名？
【分析】（1）利用：参与运动的学生人数＝抽样人数×运动学生占调查人数的百分比，计算求值即可；
（2）先计算参与娱乐的人数，再补全条形统计图；
（3）利用：参与阅读的学生＝学校人数×样本中阅读学生占的百分比，计算求值．
【解答】解：（1）由条形图知，课余活动随机调查中：阅读30名、运动20名、其它10名，
由于参与运动的学生占所调查人数的20%，
所以一共调查的学生数为：20÷20%＝100（名）．
故答案为：100．
（2）课余活动随机调查中，参与娱乐的学生有：100﹣30﹣20﹣10＝40（名）．
补全条形图如下：
（3）估计该中学参与阅读的学生有：1200×30%
＝360（名）．
答：估计该中学在课余时间参与阅读的学生有360名．
【点评】本题考查了条形统计图，读懂条形图是解决本题的关键．
22．（8分）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）．
（1）若K1闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 13 ；
（2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）
【分析】（1）利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）在K1闭合的情况下，任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为13．
故答案为：13；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果数为6，
所以小灯泡发光的概率为612=12．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
23．（8分）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，由题意：甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．列出分式方程，解方程即可；
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，由题意：需改造的道路全长为1800米，安排甲、乙两个工程队同时开工，列出一元一次方程，解得m＝18，再求出总费用即可．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，
根据题意得：240x-2401.5x=2，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，
由题意得：60m+40m＝1800，
解得：m＝18，
则18×7+18×5＝216（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．（8分）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图．
（1）在图1中以O为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的12．
（2）在图2中画▱ABEF，使得它与△ABC的面积相等，且E，F在格点上．
【分析】（1）连接OA、OB、OC，分别取它们的中点即可；
（2）取BC的中点E，把AB平移使B点落在E点，则A点的对应点为F点．
【解答】解：（1）如图1，△A′B′C′为所作；
（2）如图2，平行四边形ABEF为所作．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平行四边形的性质．
25．（8分）如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为4米，且坡面BC的坡度为1：1，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：3．
（1）求新坡面AC的坡角及AC的长；
（2）原坡面底部BG的正前方10米外（EB＝10米）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案能否通过？请说明理由．（参考数据：3≈1.73）
【分析】（1）过点C作CH⊥BG，垂足为H，根据坡度的概念求出∠CAH，根据直角三角形的性质求出AC；
（2）根据坡度的概念求出BH，根据正切的定义求出AH，得到AB，结合图形求出EB，计算得到答案．
【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，
∵新坡面AC的坡度为1：3，
∴tan∠CAH=13=33，
∴∠CAH＝30°，即新坡面AC的坡角为30°，
∴AC＝2CH＝8米；
（2）新的设计方案能通过．
理由如下：∵坡面BC的坡度为1：1，
∴BH＝CH＝4，
∵tan∠CAH=33，
∴AH=3CH＝43，
∴AB＝43-4，
∴AE＝EB﹣AB＝10﹣（43-4）＝14﹣43≈7.08＞7，
∴新的设计方案能通过．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．（8分）阅读问题：
赵爽根据图1利用面积关系证明了勾股定理．
（1）小明在此图的基础上，将四个全等的直角三角形变为四个全等的四边形即可得到以下数学问题的解决方案：
问题：四边形AMNB满足∠MAB＝38°，∠NBA＝52°，AB＝4，MN＝2，AM＝BN，求四边形AMNB的面积．
解决思路：
①如图2，将四个全等的四边形围成一个以AB为边的正方形ABCD，则四边形MNPQ的形状是 正方形 （填一种特殊的平行四边形）；
②求得四边形AMNB的面积是 3 ．
（2）类比小明的问题解决思路，完成下面的问题：
如图3，四边形AMNB满足∠MAB＝27°，∠NBA＝33°，AB＝6，MN＝2，AM＝BN，补全图3，四边形AMNB的面积为 833 ．
【分析】（1）①由∠MAB＝38°，∠NBA＝52°，可得∠QMN＝90°＝∠MQP＝∠QPN＝∠PNM，又MN＝MQ＝PQ＝PN，即知四边形MNPQ是正方形；
②根据∠MAB＝38°，∠NBA＝52°可得∠BAD＝90°＝∠ADC＝∠DCB＝∠CBA＝90°，即得四边形ABCD是正方形，从而四边形AMNB的面积是（AB2﹣MN2）÷4＝3；
（2）补图形为等边三角形，由∠MAB＝27°，∠NBA＝33°，得△ABC是等边三角形，S△ABC=34AB2＝93，△DMN是等边三角形，S△DMN=34MN2=3，即得S四边形AMNB＝（93-3）÷3=833．
【解答】解：（1）①∵∠MAB＝38°，∠NBA＝52°，
∴∠AMN+∠BNM＝360°﹣∠MAB﹣∠NBA＝270°，
∵四个四边形全等，
∴∠BNM＝∠AMQ，
∴∠AMN+∠AMQ＝270°，
∴∠QMN＝90°，
同理可得∠MQP＝∠QPN＝∠PNM＝90°，
∴四边形MNPQ是矩形，
∵MN＝MQ＝PQ＝PN，
∴四边形MNPQ是正方形，
故答案为：正方形；
②∵∠MAB＝38°，∠NBA＝52°，
∴∠MAB+∠NBA＝90°，
∵∠NBA＝∠MAD，
∴∠MAB+∠MAD＝90°，即∠BAD＝90°，
同理∠ADC＝∠DCB＝∠CBA＝90°，
又AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴四边形AMNB的面积是（AB2﹣MN2）÷4＝（42﹣22）÷4＝3，
故答案为：3；
（2）补全图形如下：
∵∠MAB＝27°，∠NBA＝33°，
∴∠CAB＝∠CAM+∠MAB＝∠NBA+∠MAB＝60°，
同理∠ACB＝∠CBA＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴S△ABC=34AB2=34×62＝93，
∵∠MAB＝27°，∠NBA＝33°，
∴∠AMN+BNM＝300°，
∵∠BNM＝∠AMD，
∴∠AMN+∠AMD＝300°，
∴∠DMN＝60°，
同理∠MDN＝∠DNM＝60°，
∴△DMN是等边三角形，
∴S△DMN=34MN2=34×22=3，
∴S四边形AMNB＝（93-3）÷3=833，
故答案为：833．
【点评】本题考查四边形面积，解题的关键是根据已知拼出正方形和等边三角形，掌握正方形和等边三角形面积公式．
27．（10分）如图，直线y=-3x+23与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长．
（3）是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在直线y=-3x+23中，分别令y＝0和x＝0，容易求得A、B两点坐标；
（2）由OA、OB的长可求得∠ABO＝30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；
（3）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG＝90°，又∠AFG＝∠OAF＝60°，由（2）可知AF＝4﹣2t，EF＝t，又由二次函数的对称性可得到EG＝2OA＝4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．
【解答】解：（1）在直线y=-3x+23中，
令y＝0，得：-3x+23=0，
解得：x＝2，
令x＝0，得：y＝23，
∴A（2，0），B（0，23）；
（2）由（1）可知OA＝2，OB＝23，
∴tan∠ABO=OAOB=33，
∴∠ABO＝30°，
∵运动时间为t秒，
∴BE=3t，
∵EF∥x轴，
∴在Rt△BEF中，EF＝BE•tan∠ABO=33BE＝t，BF＝2EF＝2t，
在Rt△ABO中，OA＝2，OB＝23，
∴AB＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝4﹣2t；
（3）存在．
∵EG∥x轴，
∴∠GFA＝∠BAO＝60°，
∵G点不能在抛物线的对称轴上，
∴∠FGA≠90°，
∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG＝90°，
又∠FGA＝30°，
∴FG＝2AF，
∵EF＝t，EG＝4，
∴FG＝4﹣t，且AF＝4﹣2t，
∴4﹣t＝2（4﹣2t），
解得：t=43，
即当t的值为43秒时，△AGF为直角三角形，
此时OE＝OB﹣BE＝23-3t＝23-3×43=233，
∴E点坐标为（0，233），
∵抛物线的顶点为A，
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2，
把E点坐标代入可得：233=4a，
解得：a=36，
∴抛物线解析式为y=36（x﹣2）2，
即y=36x2-233x+233．
【点评】本题为二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；在（2）中求得∠ABO＝30°是解题的关键，在（3）判断出∠FAG为直角是解题的突破口，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G面积最大时点G的横坐标；
（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得△BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．
【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2﹣2x+c得到方程组求解即可；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，求出B′H的长，可得点B′的坐标，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx+b，对称轴与AG交于点D，先求得AG解析式，再求得点D的坐标，将△AB'G面积表示成关于t的函数，利用二次函数的最值即可．
（3）由题意可知△B′BA为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．证出△BAQ≌△BB′P，可得AP垂直平分BB′，则C点在直线AP上，可求出直线AP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．
【解答】解：（1）由题意得：0=a+2+c0=9a-6+c，
解得：a=1c=-3，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，
由翻折得AB′＝AB＝4，
在Rt△AB′H中，由勾股定理，得B′H=AB'2-AH2=42-22=23，
∴点B′的坐标为（1，23），
设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx+b，对称轴与AG交于点D，
则：tk+b=r-k+b=0，解得：k=rt+1b=rt+1，
∴直线AG解析式为y=rt+1x+rt+1，
∴D（1，2rt+1），
∴B′D＝23-2rt+1，
∴S△AB′G＝S△AB′D+S△GB′D
=12•B′D•2+12•B′D•（t﹣1）
=12•B′D•（t+1）
=12（23-2rt+1）（t+1）
=3（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）
＝﹣t2+（2+3）t+3+3，
∵﹣1＜0，
∴当t=-2+32×(-1)=2+32时，S△AB′G的值最大，此时点G坐标为（2+32，-134）；
（3）存在．
取（2）中的点B′，B，连接BB′，
∵AB′＝AB，∠B′AB＝60°，
∴△ABB′为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BQ＝BP，AB＝BB′，∠PBQ＝∠B′BA＝60°，
∴∠ABQ＝∠B′BP，
∴△ABQ≌△B′BP（SAS），
∴AQ＝B′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴AQ＝BQ，
∴B′P＝BQ＝BP，
又∵AB′＝AB，
∴AP垂直平分BB′，
由翻折可知AC垂直平分BB′，
∴点C在直线AP上，
设直线AP的函数表达式为y＝k1x+b1，
则-k1+b1=0k1+b=233，解得：k1=33b1=33，
∴直线AP的函数表达式为y=33x+33．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BP＝BQ，AB＝BB′，∠BB′A＝∠QBP＝∠B′BA＝60°．
∴∠ABP＝∠B′BQ，
∴△ABP≌△B′BQ（SAS），
∴∠BAP＝∠BB′Q，
∵AB′＝BB′，B′H⊥AB，
∴∠BB′Q=12∠BB′A＝30°，
∴∠BAP＝30°，
设AP与y轴相交于点E，
在Rt△AOE中，OE＝OA•tan∠BAP＝OA•tan30°＝1×33=33，
∴点E的坐标为（0，-33）．
设直线AP的函数表达式为y＝mx+n，
则0=-m+n-33=n，解得：m=-33n=-33，
∴直线AP的函数表达式为y=-33x-33．
综上所述，直线AP的函数表达式为y=33x+33或y=-33x-33．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．
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