湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题

华中师大一附中2022~2023学年度高一下学期五月月考

数学试卷

考试时间：120分钟，总分：150分

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）

1. 设复数满足，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】由复数相等及除法运算求复数，根据共轭复数概念及模的求法求结果即可.

【详解】由题设，则，故.

故选：C

2. 最接近（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先利用诱导公式得到，从而利用特殊角三角函数值，判断出答案.

【详解】，

其中为第三象限角，且当为第三象限角时，，

其中，又，

而较，离更近，

综上，最接近.

故选：B

3. 下列说法正确的是（    ）

A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段

C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.

【详解】对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，

所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；

对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；

对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，

以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，

故C错误；

对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误；

故选：B.

4. 已知都是锐角，且，，则（        ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】先求，，然后求的值，根据为锐角求出的值．

【详解】因为都是锐角，且，

所以

又

故选B.

【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．

5. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（    ）

A. 64 B. 74 C. 52 D. 91

【答案】B

【解析】

【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出m，从而得到的长度.

【详解】因为中，⊥，m，，

所以m，

因为中，⊥，，

所以，

由题意得：，

故，

在中，由正弦定理得：，

即，

故m，

故m

故选：B

6. 已知锐角，，，则边上的高的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求值域即可.

【详解】因为为锐角三角形，，设边上的高为，

所以，解得

由正弦定理可得，，

所以，，因为，

所以

因为，所以，所以，

所以，所以边上的高的取值范围为.

故选：C.

7. 已知向量，，满足，，，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量三角形不等式，求出的范围，进而求出的范围，再利用数量积的性质求解作答.

【详解】，，而，即，解得，

，而，即，解得

在直角坐标平面内，作，令，则，，

于是点在以为圆心，2为半径的圆上，点在以为圆心，3为半径的圆上，如图，

观察图形知，，当且仅当点都在直线上，且方向相反，

即点B与D重合，点C与E重合时取等号，即，解得，

当且仅当点都在直线上，且方向相同，

若点B与A重合，点C与E重合时，，若点B与D重合，点C与F重合时，，因此，

所以的取值范围是.

故选：A

8. 在中，有，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可求出的最大值．

【详解】因为，

所以，

又，，

所以

又，，，

所以，

即，

，

当且仅当即时取等号，

显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时，

所以，即的最大值是．

故选：D．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请将答案填涂到答题卡相应区域.）

9. 若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的是（    ）

A.  B. z的虚部为-1

C. 为纯虚数 D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】由的幂运算的周期性可求得；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定义依次判断各个选项即可.

【详解】，

对于A，，A正确；

对于B，由虚部定义知：的虚部为，B正确；

对于C，为纯虚数，C正确；

对于D，由共轭复数定义知：，D错误.

故选：ABC.

10. 在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M，N，P的正方体的截面记为，则下列判断正确的是（    ）

A. 当P为中点时，截面为六边形

B. 当时，截面为五边形

C. 当截面为四边形时，它一定是等腰梯形

D. 设中点为Q，三棱锥的体积为定值

【答案】AC

【解析】

【分析】延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交于，连接，结合图形即可判断A；延长交于，交于，连接交于，连接交于，此时截面为五边形，求出即可判断B；当截面为四边形时，点与点重合，判断四边形的形状即可判断C.设为到平面的距离，三棱锥的体积：，不为定值，可判断D.

【详解】对A，如下图所示，延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交于，连接，

因为M为AB中点，N为BC中点，所以，

同理，又因为，所以，

同理，所以共面，

此时六边形为截面，

所以截面为六边形，故A正确；

对B，如下图所示，延长交于，交于，连接交于，

连接交于，此时截面为五边形，

因为，所以，

所以，即，

所以当时，截面为五边形，故B错误；

对C，当截面为四边形时，点与点重合，如图，

由A得，，所以四边形即为截面，

设正方体的棱长为1，则，，所以，

所以四边形是等腰梯形，故C正确.

对D，设为到平面的距离，

延长，交于一点，连接与交于一点，

所以直线与平面相交，所以直线与平面不平行，

三棱锥的体积：，

因为为定值，P为线段上一动点，所以到平面的距离不为定值，

所以三棱锥的体积为不为定值，故D不正确.

故选：AC.

11. 设、、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量以点为旋转中心逆时针旋转直角得到（若为零向量，规定也是零向量）.对平面向量、、，下列说法正确的是（    ）

A.

B. 对任意，

C. 若、为不共线向量，满足，则，

D.

【答案】BD

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用A选项中的结论结合题中定义可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C选项；对、是否共线进行分类讨论，结合题中定义可判断D选项.

【详解】设向量、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，

设，则，

同理可得，

所以，，

，则，A错；

对任意的，由A选项可知，，

当、不共线时，，

，B对；

因为，所以，，

所以，，同理可得，C错；

当、不共线时，由C选项可知，，

所以，，

所以，.

任取两个向量、，对任意的实数，，

当、共线时，设存在使得，且，

所以，

，

综上所述，，D对.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.

12. 假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是（    ）

A. 设，则

B. 设，若//，则

C. 设，若，则

D. 设，若与的夹角为，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断.

【详解】由题意可得：，

对于A：若，则，

可得，

所以，故A正确；

对于B：∵，则，

若//，则有：

当或时，则或，可得成立；

当且时，则存唯一实数，使得，

则，可得，整理得；

综上所述：若//，则，故B正确；

对于C：∵，则，

可得，

若，则，故C错误；

对于D：∵，

由选项A可得：，

由选项C可得：，

若与的夹角为，则，

即，解得，

∵，则，故D正确；

故选：ABD.

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）

13. 已知，则________.

【答案】

【解析】

【分析】根据两角和的正切公式可求出结果.

【详解】因为，

所以.

故答案为：.

14. 已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.

【答案】

【解析】

【分析】依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.

【详解】因为，为非零不共线向量,所以，可以作为平面内的一组基底,

又向量与共线，所以，即，

所以，解得.

故答案为：

15. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．

【答案】12

【解析】

【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.

【详解】设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，

侧面水平放置时，水的体积为

当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得，

所以当底面水平放置时，液面高为12.

故答案为：12

16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点P是的重心，且，则___________.

【答案】或

【解析】

【分析】根据三角恒等变换可得或，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可建立关于的方程，求解后利用余弦定理求a即可.

【详解】，

整理得，

解得或（舍去），

或.

又∵点P是的重心，

，

整理得.

当时，，得，

此时，

解得；

当时，，得，

此时，

解得.

故答案为：或

【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，向量的数量积运算法则、性质，余弦定理，属于难题.

四、解答题：（本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：

（1）求下部四棱台的侧面积；

（2）求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：，取3）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；

（2）根据相关体积公式分析运算.

【小问1详解】

奖杯底座的侧面上的斜高等于和．

故．

小问2详解】

.

18. 已知棱长为1的正方体中．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理证明；

（2）根据三棱锥体积公式计算即可.

【详解】证明：（1）在棱长为1的正方体中，，且

所以四边形为平行四边形

又平面，平面，

平面；

（2）由正方体易知，三棱锥高为，

所以

．

19. 已知的内角，A，B，C的对边为a，b，c，且．

（1）求；

（2）若的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．

【答案】（1）   

（2）2

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；

（2）根据面积公式求得，再根据等面积得，从而有，利用基本不等式即可求解.

【小问1详解】

由正弦定理，得，即，

故.

【小问2详解】

由（1）知，

因为的面积为，所以，解得，

又因为，

所以．

于是,

那么．

所以（当且仅当时等号成立）

故的最大值为2．

20. 设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）.

（1）求的值；

（2）为线段上一点，若，求实数的值；

（3）在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值.

【答案】（1）26    （2）   

（3）在处时，取得最小值.

【解析】

【分析】（1）根据向量的线性运算和向量数量积的定义；（2）根据平面向量基本定理即可求解；（3）根据向量的数量积的定义和向量的加法即可求解.

【小问1详解】

∵是边长为4的正三角形，点、、四等分线段，

∴

；

【小问2详解】

设，

又，

根据平面向量基本定理解得；

【小问3详解】

设，，

∴，

又，

∴当时，即在处时，取得最小值.（本题也可以建系来解题）

21. 如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且.

（1）若，求EF的值；

（2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；

（2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可.

【小问1详解】

由题意可得，

设，则，

在中，由余弦定理，

则，即，

由正弦定理，可得，

即，可得，

在中，，

，

由正弦定理，可得，

故.

故EF的值.

【小问2详解】

设，则，

由正弦定理，可得，

在中，由正弦定理，可得，

故的面积

，

∵，∴，∴，

∴，当且仅当，即时，等号成立，

故面积的最小值.

22. 已知函数，其中a参数.

（1）证明：，；

（2）设，求所有的数对，使得方程在区间内恰有2023个根.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式计算推理作答.

（2）确定函数的周期，讨论在方程在区间上的根的情况，再结合给定2023个根推理计算作答.

【小问1详解】

依题意，

，

，

，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，函数是周期函数，周期为，

对于每个正整数,都有，

若，由（1）得在区间内若有根，则各有偶数个根，

于是方程在区间内有偶数个根，不符合题意，

如果，则，且，

当时,，

设，结合，知可化为，

于是，当时，方程在内有两个根，

当时，，

设，结合，知可化为，

于是，方程在内无解，因此方程在内有三个解，

从而方程在区间内有个解，由，得；

若，则，

当时，，

设，结合，知可化为，

于是，即只有一个解，

当时，，

设，结合，知可化为，

显然函数在上单调递增，，方程没有属于的根，

因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；

若，则，

当时，，

设，结合，知可化为，此方程无解，

当时，，

设，结合，知可化为，

于是，即只有一个解，

因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；

综上所述满足条件的为.

【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.