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专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练（解析版）
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这是一份专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练（解析版），共37页。试卷主要包含了点在直线上运动，点在圆上运动等内容，欢迎下载使用。
专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理（解析版）
典例剖析+针对训练
类型一 点在直线上运动
典例1（2022•利州区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．0.5 B．2.5 C．2 D．1
思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
延长HM交CD于点N．
则△EFB≌△EHG，
∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，
∴△EBH为等边三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBE＝90°，
∴∠GHE＝∠FBE＝90°，
∴点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，连接BH，EH，
则四边形HEPM为矩形，
∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，
∴∠PEC＝30°．
∵EC＝BC﹣BE＝3，
∴CP=12EC=32，
∴CM＝MP+CP＝1+32=52，
即CG的最小值为52．
方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，
则△CEG≌△EFH，
∴CG＝FH，
当FH⊥AB时，FH最小＝1+32=52．
故选：B．
总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．
针对训练
1．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝23，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 ．
思路引领：以BC为边构建出和△BPD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求值．
解：如图所示，以BC为底边向上作等腰△BQC，使∠BQC＝120°，连接PQ．
由题意可得△BQC和△BPD均为顶角为120° 的等腰三角形，
可得BQBC=BPBD=13，∠QBC＝∠PBD＝30°，
∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，
∴∠PBQ＝∠DBC，
∴△PBQ∽△DBC，
∴PQDC=BQBC=13，
∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小，
如图所示，设OP′⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP'为QP的最小值，
可得AK⊥BC，
∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，
∴BK＝3，∠QBK＝30°，
∴QK=BK3=3，
∵tan∠ACB=23=AKKC，KC＝3，
∴AK=23KC=63，
∴AQ＝AK﹣QK=53，AC=AK2+KC2=313，
∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK，
∴△AQP'∽△ACK，
∴AQAC=QP'KC，
∴53313=QP'3，
∴QP'=53913，
∴CD=3QP'=151313．
总结提升：本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难点在于构造相似三角形的手拉手模型，属于难题．
2．（2021秋•忠县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 ．
思路引领：由“SAS”可证△DHE≌△DBF，可得EH＝BF，则当EH有最小值时，BF有最小值，由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，即可求解．
解：如图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HN⊥BD于N，
∵BC＝5，CD＝2，
∴BD＝3，
∵△DHB是等边三角形，HN⊥BD，
∴DN＝BN=32，DB＝DH，∠HDB＝60°，
∴CN=72，
∵将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠HDB，
∴∠EDH＝∠FDB，
在△DHE和△DBF中，
DE=DF∠EDH=∠FDBDH=DB，
∴△DHE≌△DBF（SAS），
∴EH＝BF，
∴当EH有最小值时，BF有最小值，
由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，
此时，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，
∴四边形CNHE是矩形，
∴HE＝CN=72，
故答案为：72．
总结提升：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（2021秋•东台市期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是 ．
思路引领：连接OE，利用SAS证明△ADF≌△ODE（SAS），得OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，则点E在射线OE上运动，且OE＝AF，当点F在线段AO上从点A至点O运动时，故点E的运动路程是AO，利用勾股定理求出AO的长即可．
解：连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝DO，∠DAB＝90°，
∵∠DAC＝60°，
∴△DAO是等边三角形，
∴DA＝DO，∠ADO＝60°，
∵△DFE是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠ADF＝∠ODE，
又AD＝DO，DF＝DE，
∴△ADF≌△ODE（SAS），
∴OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，
∴点E在射线OE上运动，且OE＝AF，
当点F在线段AO上从点A至点O运动时，
∴点E的运动路程是AO，
在Rt△ADB中，设AD＝x，则BD＝2x，
∴（2x）2﹣x2＝62，
解得x＝23（负值舍去），
∴AD＝AO＝23，
即点E的运动路程为23，
故答案为：23．
总结提升：本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，确定点E的运动路径是解题的关键．
类型二 点在圆上运动
典例2 （2022•桐梓县模拟）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为 ．
【灵活运用】
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【迁移拓展】
（4）如图③，BC＝42，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．
思路引领：（1）结论：OC＝AE．只要证明△CBO≌△ABE即可；
（2）利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为22+3；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；
（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝42=定值，∠BDC＝90°，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；
解：（1）如图①中，结论：OC＝AE，
理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，
∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，
∴∠CBO＝∠ABE，
∴△CBO≌△ABE，
∴OC＝AE．
（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，
∴当E、O、A共线，
∴AE的最大值为3，
∴OC的最大值为3．
故答案为3．
（3）如图1，连接BM，
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）
最大值＝AB+AN，
∵AN=2AP＝22，
∴最大值为22+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE=2，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3-2=2-2，
∴P（2-2，2）．
（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM，
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC＝42=定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的半圆⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝22+2 6，
∴AC的最大值为22+26．
综上所述，
当点A在线段BD的右侧时，
以BC为边作等边△BCM，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠MBD＝∠CBA，且AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可，
∵BC＝62=定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC的上方，DM⊥BC时，DM的值最小，
DM的最小值＝MO﹣OD=BM2-BO2-12BC＝26-22，
∴AC的最小值为26-22．
综上所述，AC的最大值为26+22，AC的最小值为26-22．
总结提升：本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．
针对训练
1．（2022秋•天宁区校级期中）已知⊙O的半径长7cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是 cm．
思路引领：根据点与圆的位置关系和中点定义进行解答即可．
解：根据点和圆的位置关系，得OP＝7cm，
再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP＝14cm．
故答案为：14．
总结提升：本题考查了点与圆的位置关系，中点定义，熟知点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
2．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 ．
思路引领：通过证明△DBO∽△CBE，可得OD=2CE，当CE有最大值时，OD有最大值，即可求解．
解：如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD，
∵将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，
∴BC＝CD，∠DCB＝90°，
∴∠DBC＝45°，BD=2BC，
∵△OBE是等腰直角三角形，
∴OE＝BE，∠OBE＝45°，OB=2BE＝1，
∴BE＝OE=22，
∵∠DBC＝∠OBE，
∴∠OBD＝∠CBE，
又∵DBCB=OBBE=2，
∴△DBO∽△CBE，
∴ODCE=DBCB=2，
∴OD=2CE，
∴当CE有最大值时，OD有最大值，
当点C，点O，点E三点共线时，CE有最大值为1+22，
∴OD的最大值为2+1，
总结提升：本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
3．（2021秋•秦淮区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为 ．
思路引领：由AB是直径，得∠APB＝90°，取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，由三角形中位线知ME⊥MF，即∠EMF＝90°，则点M在以EF为直径的半圆上，即可得出答案．
解：∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB=AC2+BC2=162+122=20，
连接AP，BP，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
即AP⊥BP，
取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，
在△BPC中，
∵M，E为PC、BC的中点，
∴ME∥BP，ME=12BP，
在△APC中，
∵点M、F为PC、AC的中点，
∴MF∥AP，MF=12AP，
∴ME⊥MF，
即∠EMF＝90°，
∴点M在以EF为直径的半圆上，
∴EF=12AB＝10，
∴点M的运动路径长为12×2π×5=5π，
故答案为：5π．
总结提升：本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理，利用定角对定弦确定点M的运动路径是解题的关键．
4．（2018•江汉区模拟）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 ．
思路引领：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝23，∠OCP＝∠ECD，由△COP∽△CED，推出OPED=CPCD=2，即ED=12OP＝1（定长），由点E是定点，DE是定长，推出点D在半径为1的⊙E上，由此即可解决问题．
解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝23，∠OCP＝∠ECD，
∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，
∴CP＝2CD，
∴COCE=CPCD=2，
∴△COP∽△CED，
∴OPED=CPCD=2，
即ED=12OP＝1（定长），
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为1的⊙E上，
∵OD≤OE+DE＝23+1，
∴OD的最大值为23+1，
故答案为23+1．
总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
5．（2021秋•岳麓区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的35，求此时点M的坐标；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．
思路引领：（1）将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）设M（m，m2﹣6m+5），先求AB＝4，则S△ABC＝10，再由题意可得S△AMB＝6=12×4×（m2﹣6m+5），即可求M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；
（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，可证明△ADB'≌△APB'（SAS），则可得D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，又由B'（1，﹣4），F（7，0），则B'F＝213，所以DF的最大值为61+2，DF的最小值为61-2，即可求213-2≤DF≤213+2．
解：（1）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
令y＝0，则x＝1，
∴A（1，0），
将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，
得1+b+c=0c=5，
∴b=-6c=5，
∴y＝x2﹣6x+5；
（2）设M（m，m2﹣6m+5），
令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，
解得x＝5或x＝1，
∴B（5，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC=12×4×5＝10，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的35，
∴S△AMB＝6=12×4×（m2﹣6m+5），
解得m＝2或m＝4，
∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；
（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，
∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，
∴∠B'AD＝∠PAB，
∵AB＝AB'，PA＝AD，
∴△ADB'≌△APB'（SAS），
∴BP＝B'D，
∵PB＝2，
∴B'D＝2，
∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，
∵B（5，0），A（1，0），
∴B'（1，﹣4），
∵BF＝2，
∴F（7，0），
∴B'F＝213，
∴DF的最大值为213+2，DF的最小值为213-2，
∴213-2≤DF≤213+2．
总结提升：本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用瓜豆原理是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022•安徽一模）如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，
∴BE＝EH，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°，
∴△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
∴∠PEC＝180°﹣∠PEH﹣∠BEH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴PC=12CE，
则CM＝MP+CP＝HE+12EC＝2+32=72，
故选：D．
总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．
2．（2021•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝53，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（ ）
A．52 B．52 C．533 D．3
思路引领：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．利用全等三角形的性质证明∠AFQ＝90°，推出∠AEF＝60°，推出点Q在射线FE上运动，求出DH，可得结论．
解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠BAD＝90°，
∵△ABF，△APQ都是等边三角形，
∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，
∴∠BAP＝∠FAQ，
在△BAP和△FAQ中，
BA=FA∠BAP=∠FAQPA=QA，
∴△BAP≌△FAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，
∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°=1033，
∴点Q在射线FE上运动，
∵AD＝BC＝53，
∴DE＝AD﹣AE=533，
∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，
∴DH＝DE•sin60°=533×32=52，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为52，
故选：A．
总结提升：本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线FE上运动，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2022秋•惠山区校级月考）如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边且运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
思路引领：根据△OPQ是等腰直角三角形，可知点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同，且OP：OQ=2：1，得出面积比为2，求出△ABC的面积即可解决问题．
解：∵△OPQ是等腰直角三角形，
∴点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同，
∵OP：OQ=2：1，
∴点P的轨迹图形与点Q的轨迹图形相似比为2：1，
∵A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），
∴AB＝3，BC＝4，
∴S△ABC=12⋅BC⋅AB=12×3×4=6，
∴点Q的轨迹形成的封闭图形面积为12×6=3，
故选：B．
总结提升：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确寻找点Q的运动轨迹是解题的关键．
4．（2021秋•沭阳县校级期末）如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 ．
思路引领：证明△ADC∽△AEQ，求出QE=12，在Rt△ABE中求出BE=172，进而求出答案．
解：如图，取AB的中点D，连接CD，过点A作AE⊥AB，使AE=12AD=12，连接QE、BE．
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD=12AB=1，
∵∠QAC＝90°，∠EAB＝90°，
∴∠QAE＝∠CAD，
∵AQAC=12，AEAD=12，
∴△ADC∽△AEQ，
∴QECD=AQAC=12，
∴QE=12CD=12，
∵∠EAB＝90°，
∴EB=AE2+AB2=172，
当点Q、E、B三点共线时，BQ最大为12+172=1+172．
故答案为：1+172．
总结提升：本题考查旋转变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．（2022•邗江区校级一模）如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AN⊥x轴于点M，交直线y=-33x于点N，点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．
思路引领：利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，证明线段B0Bn就是点B运动的路径即可．
解：由题意得：OM＝2，点N在直线y=-33x上，AN⊥x轴于点M，
则△OMN为顶角30°的直角三角形，ON=23×2=433，
设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn，如图1所示：
∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，
∴∠OAN＝∠B0ABn
又∵AB0＝AO•tan30°，ABn＝AN•tan30°，
∴AB0：AO＝ABn：AN＝tan30°，
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，
∴B0Bn＝ON•tan30°=433×33=43．
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径，
当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi，如图2所示：
∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，
∴∠OAP＝∠B0ABi，
又∵AB0＝AO•tan30°，ABi＝AP•tan30°，
∴AB0：AO＝ABi：AP，
∴△AB0Bi∽△AOP，
∴∠AB0Bi＝∠AOP．
又∵△AB0Bn∽△AON，
∴∠AB0Bn＝∠AOP，
∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn，
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径，
综上所述，点B运动的路径是线段B0Bn，长度为43，
故答案为：43．
总结提升：本题考查了一次函数图象、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、轨迹等知识；确定点B的运动路径是解题的关键．
6．（2020春•江阴市期中）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是 ．
思路引领：根据已知条件得到点B的运动轨迹也为圆，根据全等三角形的性质得到OP＝O'B＝2，即可求出路径长．
解：如图，连接AO、OP，将AO绕点A逆时针旋转60°，得线段AO'，连接O'B、OO'，
∵AO＝AO'，∠OAO'＝60°，
∴△OAO'为正三角形，
∵△APB为正三角形，
∴∠PAB＝60°，PA＝BA，
∴∠PAB﹣∠OAB＝∠OAO'﹣∠OAB，
∴∠PAO＝∠BAO，
在△APO与△ABO′中，
AO=AO'∠PAO=∠BAO'PA=BA，
∴△APO≌△ABO′，
∴OP＝O'B＝2，
∴⊙O'即为动点B运动的路径，
∴当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是4π，
总结提升：此题考查了动点路径长，关键在于确定从动点的运动轨迹，考查了旋转、全等知识，“瓜豆原理”．
7．（2019秋•鼓楼区期中）如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．
（1）点P的运动路径是一个圆；
（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．
（1）思路引导
要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长
可以发现M，r．
思路引领：（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP=12OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．
（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示：
则HP是△ABO的中位线，
∴HP=12OB＝1，
∴P点到H点的距离固定为1，
∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；
（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，
∴PC⊥AB，PA＝PB=12AB=12BC，
∴PC=3PA=32AB，
当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，
∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，
∴AP'=12AM=32，
∴PC=332；
当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，
∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，
∴AP''=12AN=72，
∴PC=732；
∴PC长的取值范围是332≤PC≤732．
总结提升：本题考查了轨迹、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键．
8．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．
（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．
①点P'的轨迹是 （填“线段”或者“圆”）；
②CP′的最小值是 ；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为 ．
思路引领：（1）①连接CP、BP'，证明△ABP'≌△ACP（SAS），得出BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，即可得出答案；
②由等腰直角三角形的性质得出BC=2AC＝42，当点P'在线段BC上时，得出CP'最小＝BC﹣BP'＝42-2；
（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ，证明△ADQ≌△ACP（SAS），得出DQ＝CP＝2，当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝6；
（3）M点的轨迹是一个圆O'，求出CO'和圆O'的半径，即可解决问题．
解：（1）①连接CP、BP'，如图1所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AC＝AB，由旋转的性质得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，
∴∠PAC＝∠P'AB，
在△ABP'和△ACP中，AP'=AP∠P'AB=∠PACAB=AC，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，
∴点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；
故答案为：圆；
②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，
∴BC=2AC＝42，
当点P'在线段BC上时，CP'最小＝BC﹣BP'＝42-2；
故答案为：42-2；
（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ、CP，如图2所示：
∵△APQ和△ACD是等边三角形，
∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，
∴∠DAQ＝∠CAP，
在△ADQ和△ACP中，AD=AC∠DAQ=∠CAPAQ=AP，
∴△ADQ≌△ACP（SAS），
∴DQ＝CP＝2，
当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；
（3）如图3所示：M点的轨迹是以MM'为直径的一个圆O'，
则PM＝PA＝2，PM'＝PA＝4+2＝6，
则CO'是梯形PMM'P'的中位线，
∴CO'=12（2+6）＝4，
连接MM'''，
则∠MM'''M'＝90°，
∴P'M'''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4，
∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''，
∴△MM'M'''是等腰直角三角形，∴MM'=2
MM'''＝42，
∴O'M''＝22，
∴CM＝CO'﹣O'M''＝4﹣22；
故答案为：4﹣22．
总结提升：本题是圆的综合题目，考查了轨迹、圆的定义、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最值问题；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）连接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的长；
（3）若AB＝10，AC＝8，点F是⊙O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径长为 ．
思路引领：（1）只要证明△OEC≌△OEA，得∠OAE＝∠OCE＝90°，即可证明．
（2）设OD＝a，则DE＝3a，由△OAD∽△OEA，得OAOE=ODOA，列出方程求出a，再利用勾股定理即可解决问题．
（3）如图2中，连接OM，取OA的中点O′，连接O′M，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径是以O′为圆心2为半径的圆，由此即可解决问题．
（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，
∴EA＝EC，
在△OEC和△OEA中，
OE=OEOC=OAEA=EC，
∴△OEC≌△OEA，
∴∠OAE＝∠OCE，
∵EC是⊙O切线，
∴EC⊥OC，
∴∠OCE＝90°，
∴∠OAE＝∠OCE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．
（2）如图1中，设OD＝a，则DE＝3a，
∵∠AOD＝∠AOE，∠ODA＝∠OAE，
∴△OAD∽△OEA，
∴OAOE=ODOA，
∴4a2＝81，
∵a＞0，
∴a=92，
∴OE＝18，
在Rt△AOE中，AE=OE2-OA2=182-92=93．
（3）如图2中，连接OM，取OA的中点O′，连接O′M．
∵AM＝MF，
∴OM⊥AF，
∵AO′＝OO′，OA＝OB＝5，
∴O′M=12OA＝定长=52，
∴当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径是以O′为圆心52为半径的圆，
∴点M运动的路径长为2π•52=5π．
故答案为5π．
总结提升：本题考查圆综合题、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（2021•遵义）点A是半径为23的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB．
（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；
将下列解答过程补充完整．
解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．
由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．
∴OO′＝BO＝6
又∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC＝60°，AB＝BC
∴∠OBO′＝∠ABC＝60°
∴∠OBA＝∠O′BC
在△OBA和△O′BC中，
OB=O'B∠OBA=∠O'BCAB=CB
∴ △OBA≌△O′BC （SAS）
∴OA＝O′C
在△OO′C中，OC＜OO′+O′C
当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C
即OC≤OO′+O′C
∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 6+23 ．
（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；
（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．
思路引领：（1）第一个空根据前面提到的两个三角形以及后面的SAS知是判断这两个三角形全等；第二个空根据前面的取等条件OC＝OO'+O'C即知最大值；
（2）类似地，如第（2）问解答中以OB为边作正方形，类似第（1）问做法依然证明两个三角形全等，再利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取等号得OC最小值；
（3）类似地，如第（3）问解答中以OB为腰，点B为顶点作顶角120°的等腰三角形，类似第（1）问的做法依然证明两个三角形全等，再利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取等号得OC最小值，再求AB的长，最后得△ABC的周长．
解：（1）将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．
由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝BO＝6，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴∠OBO′＝∠ABC＝60°，
∴∠OBA＝∠O′BC，
在△OBA和△O′BC中，
OB=O'B∠OBA=∠O'BCAB=CB，
∴△OBA≌△O′BC（SAS），
∴OA＝O′C，
在△OO′C中，OC＜OO′+O′C，
当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C，
即OC≤OO′+O′C，
∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，OC的最大值为6+23．
故答案为：△OBA≌△O′BC，6+23．
（2）如图②﹣1中，作以OB为边的正方形OBC1D1，连接OC1，C1C，
∵四边形OBC1D1是正方形，
∴OB＝BC1＝6，∠OBC1＝90°，
∴OC1=2OB=62，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OBC1＝∠ABC，
∴∠OBA＝∠C1BC，
在△OBA和△C1BC中，
OB=BC1∠OBA=∠C1BCAB=BC，
∴△OBA≌△C1BC（SAS），
∴CC1=OA=23，
在△OCC1中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得62-23=OC1-CC1＜OC，
当O，C1，C三点共线，且点C1在OC的延长线上时，62-23=OC1-CC1=OC，
即OC1﹣CC1≤OC，
∴当O，C1，C三点共线，且点C1在OC的延长线上时，OC取最小值，最小值是62-23．
OC取最小值的图象如下所示：
（3）如下图，作以OB为腰，顶点为B点，顶角为120°的等腰△OBC2，连接OC2，C2C，过点B作BB2⊥OC2于点B2，
∵OB＝BC2＝6，∠OBC2＝120°，
∴∠BOC2＝∠OC2B＝30°，
∵BB2⊥OC2，
∴∠C2BB2=12∠OBC2=12×120°=60°，OB2＝B2C2，
在Rt△C2BB2中，32=sin60°=sin∠C2BB2=B2C2BC2=B2C26，B2C2=33，
∴OC2=OB2+B2C2=B2C2+B2C2=63，
∵∠ABC＝∠OBC2＝120°，
∴∠OBA＝∠C2BC，
在△OBA和△C2BC中，
OB=BC2∠OBA=∠C2BCAB=BC，
∴△OBA≌△C2BC（SAS），
∴CC2=OA=23，
在△OCC2中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得63-23=OC2-CC2＜OC，即43＜OC，
当O，C2，C三点共线，且点C2在OC的延长线上时，63-23=OC2-CC2=OC=43即OC2﹣CC2≤OC，
∴当O，C2，C三点共线，且点C2在OC的延长线上时，OC取最小值，最小值是63-23=43，
当OC取最小值时的图象如如图③﹣2中，此时过点B作BB3⊥AC于点B3，且延长OA于点O3，使得BO3⊥OO3，
∵∠BOC2＝∠OC2B＝30°，
又∵△OBA≌△C2BC，
∴∠AOB＝∠CC2B＝∠OC2B＝30°，
在Rt△OBO3中，OB＝6，∠O3OB＝∠AOB＝30°，
∴BO3＝OB•sin30°＝6×12=3，OO3＝OB•cos30°＝6×32=33，
∵OA=23，
∴AO3=OO3-OA=33-23=3，
在Rt△ABO3中，AB=(BO3)2+(AO3)2=32+(3)2=23，
∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴AB=BC=23，
∵BB3⊥AC，
∴∠ABB3=12∠ABC=12×120°=60°以及AB3＝B3C，
在Rt△ABB3中，32=sin60°=sin∠ABB3=AB3AB=AB323，AB3=3，
∴AC＝AB3+B3C＝AB3+AB3＝6，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=23+23+6=6+43．
总结提升：本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定，三角形三边不等式关系，特殊角的三角函数值，圆的性质，旋转的性质等知识点，第（1）问的做法相当于把△OBA旋转到△BO'C上，从而顺利用上三角形三边不等式关系得OC的最值．这种通过旋转转化边角关系以及类比题图作出相应的辅助线（图中是等边三角形，辅助线就做等边三角形；图中是正方形、等腰三角形，辅助线就相应的作出）的做法是中考里考查的重要思想．
专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理（解析版）
典例剖析+针对训练
类型一 点在直线上运动
典例1（2022•利州区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．0.5 B．2.5 C．2 D．1
思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
延长HM交CD于点N．
则△EFB≌△EHG，
∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，
∴△EBH为等边三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBE＝90°，
∴∠GHE＝∠FBE＝90°，
∴点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，连接BH，EH，
则四边形HEPM为矩形，
∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，
∴∠PEC＝30°．
∵EC＝BC﹣BE＝3，
∴CP=12EC=32，
∴CM＝MP+CP＝1+32=52，
即CG的最小值为52．
方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，
则△CEG≌△EFH，
∴CG＝FH，
当FH⊥AB时，FH最小＝1+32=52．
故选：B．
总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．
针对训练
1．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝23，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 ．
思路引领：以BC为边构建出和△BPD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求值．
解：如图所示，以BC为底边向上作等腰△BQC，使∠BQC＝120°，连接PQ．
由题意可得△BQC和△BPD均为顶角为120° 的等腰三角形，
可得BQBC=BPBD=13，∠QBC＝∠PBD＝30°，
∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，
∴∠PBQ＝∠DBC，
∴△PBQ∽△DBC，
∴PQDC=BQBC=13，
∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小，
如图所示，设OP′⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP'为QP的最小值，
可得AK⊥BC，
∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，
∴BK＝3，∠QBK＝30°，
∴QK=BK3=3，
∵tan∠ACB=23=AKKC，KC＝3，
∴AK=23KC=63，
∴AQ＝AK﹣QK=53，AC=AK2+KC2=313，
∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK，
∴△AQP'∽△ACK，
∴AQAC=QP'KC，
∴53313=QP'3，
∴QP'=53913，
∴CD=3QP'=151313．
总结提升：本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难点在于构造相似三角形的手拉手模型，属于难题．
2．（2021秋•忠县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 ．
思路引领：由“SAS”可证△DHE≌△DBF，可得EH＝BF，则当EH有最小值时，BF有最小值，由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，即可求解．
解：如图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HN⊥BD于N，
∵BC＝5，CD＝2，
∴BD＝3，
∵△DHB是等边三角形，HN⊥BD，
∴DN＝BN=32，DB＝DH，∠HDB＝60°，
∴CN=72，
∵将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠HDB，
∴∠EDH＝∠FDB，
在△DHE和△DBF中，
DE=DF∠EDH=∠FDBDH=DB，
∴△DHE≌△DBF（SAS），
∴EH＝BF，
∴当EH有最小值时，BF有最小值，
由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，
此时，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，
∴四边形CNHE是矩形，
∴HE＝CN=72，
故答案为：72．
总结提升：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（2021秋•东台市期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是 ．
思路引领：连接OE，利用SAS证明△ADF≌△ODE（SAS），得OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，则点E在射线OE上运动，且OE＝AF，当点F在线段AO上从点A至点O运动时，故点E的运动路程是AO，利用勾股定理求出AO的长即可．
解：连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝DO，∠DAB＝90°，
∵∠DAC＝60°，
∴△DAO是等边三角形，
∴DA＝DO，∠ADO＝60°，
∵△DFE是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠ADF＝∠ODE，
又AD＝DO，DF＝DE，
∴△ADF≌△ODE（SAS），
∴OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，
∴点E在射线OE上运动，且OE＝AF，
当点F在线段AO上从点A至点O运动时，
∴点E的运动路程是AO，
在Rt△ADB中，设AD＝x，则BD＝2x，
∴（2x）2﹣x2＝62，
解得x＝23（负值舍去），
∴AD＝AO＝23，
即点E的运动路程为23，
故答案为：23．
总结提升：本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，确定点E的运动路径是解题的关键．
类型二 点在圆上运动
典例2 （2022•桐梓县模拟）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为 ．
【灵活运用】
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【迁移拓展】
（4）如图③，BC＝42，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．
思路引领：（1）结论：OC＝AE．只要证明△CBO≌△ABE即可；
（2）利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为22+3；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；
（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝42=定值，∠BDC＝90°，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；
解：（1）如图①中，结论：OC＝AE，
理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，
∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，
∴∠CBO＝∠ABE，
∴△CBO≌△ABE，
∴OC＝AE．
（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，
∴当E、O、A共线，
∴AE的最大值为3，
∴OC的最大值为3．
故答案为3．
（3）如图1，连接BM，
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）
最大值＝AB+AN，
∵AN=2AP＝22，
∴最大值为22+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE=2，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3-2=2-2，
∴P（2-2，2）．
（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM，
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC＝42=定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的半圆⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝22+2 6，
∴AC的最大值为22+26．
综上所述，
当点A在线段BD的右侧时，
以BC为边作等边△BCM，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠MBD＝∠CBA，且AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可，
∵BC＝62=定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC的上方，DM⊥BC时，DM的值最小，
DM的最小值＝MO﹣OD=BM2-BO2-12BC＝26-22，
∴AC的最小值为26-22．
综上所述，AC的最大值为26+22，AC的最小值为26-22．
总结提升：本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．
针对训练
1．（2022秋•天宁区校级期中）已知⊙O的半径长7cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是 cm．
思路引领：根据点与圆的位置关系和中点定义进行解答即可．
解：根据点和圆的位置关系，得OP＝7cm，
再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP＝14cm．
故答案为：14．
总结提升：本题考查了点与圆的位置关系，中点定义，熟知点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
2．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 ．
思路引领：通过证明△DBO∽△CBE，可得OD=2CE，当CE有最大值时，OD有最大值，即可求解．
解：如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD，
∵将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，
∴BC＝CD，∠DCB＝90°，
∴∠DBC＝45°，BD=2BC，
∵△OBE是等腰直角三角形，
∴OE＝BE，∠OBE＝45°，OB=2BE＝1，
∴BE＝OE=22，
∵∠DBC＝∠OBE，
∴∠OBD＝∠CBE，
又∵DBCB=OBBE=2，
∴△DBO∽△CBE，
∴ODCE=DBCB=2，
∴OD=2CE，
∴当CE有最大值时，OD有最大值，
当点C，点O，点E三点共线时，CE有最大值为1+22，
∴OD的最大值为2+1，
总结提升：本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
3．（2021秋•秦淮区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为 ．
思路引领：由AB是直径，得∠APB＝90°，取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，由三角形中位线知ME⊥MF，即∠EMF＝90°，则点M在以EF为直径的半圆上，即可得出答案．
解：∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB=AC2+BC2=162+122=20，
连接AP，BP，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
即AP⊥BP，
取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，
在△BPC中，
∵M，E为PC、BC的中点，
∴ME∥BP，ME=12BP，
在△APC中，
∵点M、F为PC、AC的中点，
∴MF∥AP，MF=12AP，
∴ME⊥MF，
即∠EMF＝90°，
∴点M在以EF为直径的半圆上，
∴EF=12AB＝10，
∴点M的运动路径长为12×2π×5=5π，
故答案为：5π．
总结提升：本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理，利用定角对定弦确定点M的运动路径是解题的关键．
4．（2018•江汉区模拟）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 ．
思路引领：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝23，∠OCP＝∠ECD，由△COP∽△CED，推出OPED=CPCD=2，即ED=12OP＝1（定长），由点E是定点，DE是定长，推出点D在半径为1的⊙E上，由此即可解决问题．
解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝23，∠OCP＝∠ECD，
∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，
∴CP＝2CD，
∴COCE=CPCD=2，
∴△COP∽△CED，
∴OPED=CPCD=2，
即ED=12OP＝1（定长），
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为1的⊙E上，
∵OD≤OE+DE＝23+1，
∴OD的最大值为23+1，
故答案为23+1．
总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
5．（2021秋•岳麓区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的35，求此时点M的坐标；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．
思路引领：（1）将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）设M（m，m2﹣6m+5），先求AB＝4，则S△ABC＝10，再由题意可得S△AMB＝6=12×4×（m2﹣6m+5），即可求M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；
（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，可证明△ADB'≌△APB'（SAS），则可得D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，又由B'（1，﹣4），F（7，0），则B'F＝213，所以DF的最大值为61+2，DF的最小值为61-2，即可求213-2≤DF≤213+2．
解：（1）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
令y＝0，则x＝1，
∴A（1，0），
将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，
得1+b+c=0c=5，
∴b=-6c=5，
∴y＝x2﹣6x+5；
（2）设M（m，m2﹣6m+5），
令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，
解得x＝5或x＝1，
∴B（5，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC=12×4×5＝10，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的35，
∴S△AMB＝6=12×4×（m2﹣6m+5），
解得m＝2或m＝4，
∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；
（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，
∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，
∴∠B'AD＝∠PAB，
∵AB＝AB'，PA＝AD，
∴△ADB'≌△APB'（SAS），
∴BP＝B'D，
∵PB＝2，
∴B'D＝2，
∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，
∵B（5，0），A（1，0），
∴B'（1，﹣4），
∵BF＝2，
∴F（7，0），
∴B'F＝213，
∴DF的最大值为213+2，DF的最小值为213-2，
∴213-2≤DF≤213+2．
总结提升：本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用瓜豆原理是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022•安徽一模）如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，
∴BE＝EH，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°，
∴△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
∴∠PEC＝180°﹣∠PEH﹣∠BEH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴PC=12CE，
则CM＝MP+CP＝HE+12EC＝2+32=72，
故选：D．
总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．
2．（2021•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝53，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（ ）
A．52 B．52 C．533 D．3
思路引领：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．利用全等三角形的性质证明∠AFQ＝90°，推出∠AEF＝60°，推出点Q在射线FE上运动，求出DH，可得结论．
解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠BAD＝90°，
∵△ABF，△APQ都是等边三角形，
∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，
∴∠BAP＝∠FAQ，
在△BAP和△FAQ中，
BA=FA∠BAP=∠FAQPA=QA，
∴△BAP≌△FAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，
∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°=1033，
∴点Q在射线FE上运动，
∵AD＝BC＝53，
∴DE＝AD﹣AE=533，
∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，
∴DH＝DE•sin60°=533×32=52，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为52，
故选：A．
总结提升：本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线FE上运动，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2022秋•惠山区校级月考）如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边且运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
思路引领：根据△OPQ是等腰直角三角形，可知点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同，且OP：OQ=2：1，得出面积比为2，求出△ABC的面积即可解决问题．
解：∵△OPQ是等腰直角三角形，
∴点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同，
∵OP：OQ=2：1，
∴点P的轨迹图形与点Q的轨迹图形相似比为2：1，
∵A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），
∴AB＝3，BC＝4，
∴S△ABC=12⋅BC⋅AB=12×3×4=6，
∴点Q的轨迹形成的封闭图形面积为12×6=3，
故选：B．
总结提升：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确寻找点Q的运动轨迹是解题的关键．
4．（2021秋•沭阳县校级期末）如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 ．
思路引领：证明△ADC∽△AEQ，求出QE=12，在Rt△ABE中求出BE=172，进而求出答案．
解：如图，取AB的中点D，连接CD，过点A作AE⊥AB，使AE=12AD=12，连接QE、BE．
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD=12AB=1，
∵∠QAC＝90°，∠EAB＝90°，
∴∠QAE＝∠CAD，
∵AQAC=12，AEAD=12，
∴△ADC∽△AEQ，
∴QECD=AQAC=12，
∴QE=12CD=12，
∵∠EAB＝90°，
∴EB=AE2+AB2=172，
当点Q、E、B三点共线时，BQ最大为12+172=1+172．
故答案为：1+172．
总结提升：本题考查旋转变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．（2022•邗江区校级一模）如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AN⊥x轴于点M，交直线y=-33x于点N，点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．
思路引领：利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，证明线段B0Bn就是点B运动的路径即可．
解：由题意得：OM＝2，点N在直线y=-33x上，AN⊥x轴于点M，
则△OMN为顶角30°的直角三角形，ON=23×2=433，
设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn，如图1所示：
∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，
∴∠OAN＝∠B0ABn
又∵AB0＝AO•tan30°，ABn＝AN•tan30°，
∴AB0：AO＝ABn：AN＝tan30°，
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，
∴B0Bn＝ON•tan30°=433×33=43．
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径，
当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi，如图2所示：
∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，
∴∠OAP＝∠B0ABi，
又∵AB0＝AO•tan30°，ABi＝AP•tan30°，
∴AB0：AO＝ABi：AP，
∴△AB0Bi∽△AOP，
∴∠AB0Bi＝∠AOP．
又∵△AB0Bn∽△AON，
∴∠AB0Bn＝∠AOP，
∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn，
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径，
综上所述，点B运动的路径是线段B0Bn，长度为43，
故答案为：43．
总结提升：本题考查了一次函数图象、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、轨迹等知识；确定点B的运动路径是解题的关键．
6．（2020春•江阴市期中）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是 ．
思路引领：根据已知条件得到点B的运动轨迹也为圆，根据全等三角形的性质得到OP＝O'B＝2，即可求出路径长．
解：如图，连接AO、OP，将AO绕点A逆时针旋转60°，得线段AO'，连接O'B、OO'，
∵AO＝AO'，∠OAO'＝60°，
∴△OAO'为正三角形，
∵△APB为正三角形，
∴∠PAB＝60°，PA＝BA，
∴∠PAB﹣∠OAB＝∠OAO'﹣∠OAB，
∴∠PAO＝∠BAO，
在△APO与△ABO′中，
AO=AO'∠PAO=∠BAO'PA=BA，
∴△APO≌△ABO′，
∴OP＝O'B＝2，
∴⊙O'即为动点B运动的路径，
∴当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是4π，
总结提升：此题考查了动点路径长，关键在于确定从动点的运动轨迹，考查了旋转、全等知识，“瓜豆原理”．
7．（2019秋•鼓楼区期中）如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．
（1）点P的运动路径是一个圆；
（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．
（1）思路引导
要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长
可以发现M，r．
思路引领：（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP=12OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．
（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示：
则HP是△ABO的中位线，
∴HP=12OB＝1，
∴P点到H点的距离固定为1，
∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；
（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，
∴PC⊥AB，PA＝PB=12AB=12BC，
∴PC=3PA=32AB，
当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，
∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，
∴AP'=12AM=32，
∴PC=332；
当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，
∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，
∴AP''=12AN=72，
∴PC=732；
∴PC长的取值范围是332≤PC≤732．
总结提升：本题考查了轨迹、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键．
8．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．
（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．
①点P'的轨迹是 （填“线段”或者“圆”）；
②CP′的最小值是 ；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为 ．
思路引领：（1）①连接CP、BP'，证明△ABP'≌△ACP（SAS），得出BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，即可得出答案；
②由等腰直角三角形的性质得出BC=2AC＝42，当点P'在线段BC上时，得出CP'最小＝BC﹣BP'＝42-2；
（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ，证明△ADQ≌△ACP（SAS），得出DQ＝CP＝2，当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝6；
（3）M点的轨迹是一个圆O'，求出CO'和圆O'的半径，即可解决问题．
解：（1）①连接CP、BP'，如图1所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AC＝AB，由旋转的性质得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，
∴∠PAC＝∠P'AB，
在△ABP'和△ACP中，AP'=AP∠P'AB=∠PACAB=AC，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，
∴点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；
故答案为：圆；
②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，
∴BC=2AC＝42，
当点P'在线段BC上时，CP'最小＝BC﹣BP'＝42-2；
故答案为：42-2；
（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ、CP，如图2所示：
∵△APQ和△ACD是等边三角形，
∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，
∴∠DAQ＝∠CAP，
在△ADQ和△ACP中，AD=AC∠DAQ=∠CAPAQ=AP，
∴△ADQ≌△ACP（SAS），
∴DQ＝CP＝2，
当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；
（3）如图3所示：M点的轨迹是以MM'为直径的一个圆O'，
则PM＝PA＝2，PM'＝PA＝4+2＝6，
则CO'是梯形PMM'P'的中位线，
∴CO'=12（2+6）＝4，
连接MM'''，
则∠MM'''M'＝90°，
∴P'M'''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4，
∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''，
∴△MM'M'''是等腰直角三角形，∴MM'=2
MM'''＝42，
∴O'M''＝22，
∴CM＝CO'﹣O'M''＝4﹣22；
故答案为：4﹣22．
总结提升：本题是圆的综合题目，考查了轨迹、圆的定义、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最值问题；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）连接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的长；
（3）若AB＝10，AC＝8，点F是⊙O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径长为 ．
思路引领：（1）只要证明△OEC≌△OEA，得∠OAE＝∠OCE＝90°，即可证明．
（2）设OD＝a，则DE＝3a，由△OAD∽△OEA，得OAOE=ODOA，列出方程求出a，再利用勾股定理即可解决问题．
（3）如图2中，连接OM，取OA的中点O′，连接O′M，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径是以O′为圆心2为半径的圆，由此即可解决问题．
（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，
∴EA＝EC，
在△OEC和△OEA中，
OE=OEOC=OAEA=EC，
∴△OEC≌△OEA，
∴∠OAE＝∠OCE，
∵EC是⊙O切线，
∴EC⊥OC，
∴∠OCE＝90°，
∴∠OAE＝∠OCE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．
（2）如图1中，设OD＝a，则DE＝3a，
∵∠AOD＝∠AOE，∠ODA＝∠OAE，
∴△OAD∽△OEA，
∴OAOE=ODOA，
∴4a2＝81，
∵a＞0，
∴a=92，
∴OE＝18，
在Rt△AOE中，AE=OE2-OA2=182-92=93．
（3）如图2中，连接OM，取OA的中点O′，连接O′M．
∵AM＝MF，
∴OM⊥AF，
∵AO′＝OO′，OA＝OB＝5，
∴O′M=12OA＝定长=52，
∴当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径是以O′为圆心52为半径的圆，
∴点M运动的路径长为2π•52=5π．
故答案为5π．
总结提升：本题考查圆综合题、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（2021•遵义）点A是半径为23的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB．
（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；
将下列解答过程补充完整．
解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．
由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．
∴OO′＝BO＝6
又∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC＝60°，AB＝BC
∴∠OBO′＝∠ABC＝60°
∴∠OBA＝∠O′BC
在△OBA和△O′BC中，
OB=O'B∠OBA=∠O'BCAB=CB
∴ △OBA≌△O′BC （SAS）
∴OA＝O′C
在△OO′C中，OC＜OO′+O′C
当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C
即OC≤OO′+O′C
∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 6+23 ．
（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；
（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．
思路引领：（1）第一个空根据前面提到的两个三角形以及后面的SAS知是判断这两个三角形全等；第二个空根据前面的取等条件OC＝OO'+O'C即知最大值；
（2）类似地，如第（2）问解答中以OB为边作正方形，类似第（1）问做法依然证明两个三角形全等，再利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取等号得OC最小值；
（3）类似地，如第（3）问解答中以OB为腰，点B为顶点作顶角120°的等腰三角形，类似第（1）问的做法依然证明两个三角形全等，再利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取等号得OC最小值，再求AB的长，最后得△ABC的周长．
解：（1）将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．
由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝BO＝6，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴∠OBO′＝∠ABC＝60°，
∴∠OBA＝∠O′BC，
在△OBA和△O′BC中，
OB=O'B∠OBA=∠O'BCAB=CB，
∴△OBA≌△O′BC（SAS），
∴OA＝O′C，
在△OO′C中，OC＜OO′+O′C，
当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C，
即OC≤OO′+O′C，
∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，OC的最大值为6+23．
故答案为：△OBA≌△O′BC，6+23．
（2）如图②﹣1中，作以OB为边的正方形OBC1D1，连接OC1，C1C，
∵四边形OBC1D1是正方形，
∴OB＝BC1＝6，∠OBC1＝90°，
∴OC1=2OB=62，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OBC1＝∠ABC，
∴∠OBA＝∠C1BC，
在△OBA和△C1BC中，
OB=BC1∠OBA=∠C1BCAB=BC，
∴△OBA≌△C1BC（SAS），
∴CC1=OA=23，
在△OCC1中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得62-23=OC1-CC1＜OC，
当O，C1，C三点共线，且点C1在OC的延长线上时，62-23=OC1-CC1=OC，
即OC1﹣CC1≤OC，
∴当O，C1，C三点共线，且点C1在OC的延长线上时，OC取最小值，最小值是62-23．
OC取最小值的图象如下所示：
（3）如下图，作以OB为腰，顶点为B点，顶角为120°的等腰△OBC2，连接OC2，C2C，过点B作BB2⊥OC2于点B2，
∵OB＝BC2＝6，∠OBC2＝120°，
∴∠BOC2＝∠OC2B＝30°，
∵BB2⊥OC2，
∴∠C2BB2=12∠OBC2=12×120°=60°，OB2＝B2C2，
在Rt△C2BB2中，32=sin60°=sin∠C2BB2=B2C2BC2=B2C26，B2C2=33，
∴OC2=OB2+B2C2=B2C2+B2C2=63，
∵∠ABC＝∠OBC2＝120°，
∴∠OBA＝∠C2BC，
在△OBA和△C2BC中，
OB=BC2∠OBA=∠C2BCAB=BC，
∴△OBA≌△C2BC（SAS），
∴CC2=OA=23，
在△OCC2中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得63-23=OC2-CC2＜OC，即43＜OC，
当O，C2，C三点共线，且点C2在OC的延长线上时，63-23=OC2-CC2=OC=43即OC2﹣CC2≤OC，
∴当O，C2，C三点共线，且点C2在OC的延长线上时，OC取最小值，最小值是63-23=43，
当OC取最小值时的图象如如图③﹣2中，此时过点B作BB3⊥AC于点B3，且延长OA于点O3，使得BO3⊥OO3，
∵∠BOC2＝∠OC2B＝30°，
又∵△OBA≌△C2BC，
∴∠AOB＝∠CC2B＝∠OC2B＝30°，
在Rt△OBO3中，OB＝6，∠O3OB＝∠AOB＝30°，
∴BO3＝OB•sin30°＝6×12=3，OO3＝OB•cos30°＝6×32=33，
∵OA=23，
∴AO3=OO3-OA=33-23=3，
在Rt△ABO3中，AB=(BO3)2+(AO3)2=32+(3)2=23，
∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴AB=BC=23，
∵BB3⊥AC，
∴∠ABB3=12∠ABC=12×120°=60°以及AB3＝B3C，
在Rt△ABB3中，32=sin60°=sin∠ABB3=AB3AB=AB323，AB3=3，
∴AC＝AB3+B3C＝AB3+AB3＝6，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=23+23+6=6+43．
总结提升：本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定，三角形三边不等式关系，特殊角的三角函数值，圆的性质，旋转的性质等知识点，第（1）问的做法相当于把△OBA旋转到△BO'C上，从而顺利用上三角形三边不等式关系得OC的最值．这种通过旋转转化边角关系以及类比题图作出相应的辅助线（图中是等边三角形，辅助线就做等边三角形；图中是正方形、等腰三角形，辅助线就相应的作出）的做法是中考里考查的重要思想．
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