2023年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学二模试卷（含答案）

2023年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，负数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  由个有公共顶点的直角三角形拼成的图形如图所示，若，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图是小强散步过程中所走的路程单位：与步行时间单位：的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  分解因式：          ．

8.  如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则          ．
 

9.  已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是        ．

10.  为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖在购买奖品时发现，种奖品的单价比种奖品的单价多元，用元购买种奖品的数量与用元购买种奖品的数量相同设种奖品的单价是元，则可列分式方程为______ ．

11.  如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点若，，则的长为______ ．
 

12.  如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，矩形的面积为，则 ______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．
解不等式组：．

14.  本小题分
以下是某同学化简分式的部分运算过程：

上面的运算过程中第______步出现了错误；
请你写出完整的解答过程．

15.  本小题分
为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组依次记为，，，小雨和莉莉两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
小雨抽到组题目的概率是______；
请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．

16.  本小题分
如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹．
在图中作的角平分线；
在图中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．

17.  本小题分
如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
求证：≌；
若，，求的长．

18.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若．
求点的坐标及的值；
若，求一次函数的表达式．

19.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，与过点的切线平行，，相交于点．
求证：；
若，求的长．

20.  本小题分
湖中小岛上码头处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面点处的快艇和湖岸处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，且在的正南方向米处．
求湖岸与码头的距离结果精确到米，参考数据：；
救援船的平均速度为米分，快艇的平均速度为米分，在接到通知后，快艇能否在分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．接送游客上下船的时间忽略不计

21.  本小题分
某校为响应“传承屈原文化弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香宜昌建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：

数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．
请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
扇形统计图中，分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是______；______；样本数据的中位数位于____________分钟时间段；
请将表格补充完整；
请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间．

22.  本小题分
跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分如图中实线部分所示，落地点在着陆坡如图中虚线部分所示上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
的值为______；
若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；
若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为______；
若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．

23.  本小题分
【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放．其中，，．
【问题探究】
小昕同学将三角板绕点按顺时针方向旋转．
如图，当点落在边上时，延长交于点，求的长．
若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离．

连接，取的中点，三角板由初始位置图，旋转到点、、首次在同一条直线上如图，求点所经过的路径长．
如图，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是负数，，是正数，既不是正数也不是负数，
故选：．
根据负数的定义即可得出答案．
本题考查了实数，掌握在正数前面添加“”得到负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
由数轴上在的右侧可得与的大小关系．
本题考查实数与数轴，解题关键是掌握数轴的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、与不能合并，故D不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，合并同类项法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，合并同类项，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图可知，，
，
，，
同理可得，，
，
．
故选：．
由，，可知：：：：：：：：，由此可求出的长．
本题主要考查含角的直角三角形的三边关系，勾股定理，掌握含角的直角三角形的三边关系是解题基础．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：，左视图如下：

故选：．
细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
 

6.【答案】 

【解析】解：由函数图象知，从分钟时间段小强匀速步行，
这一时间段小强的步行速度为，
故选：．
根据小强匀速步行时的函数图象为直线，根据图象得出结论即可．
本题主要考查函数图象的知识，根据函数图象得出匀速步行的时间段是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
直接用平方差公式进行分解．平方差公式：．
本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
【解答】
解：．
故答案为：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形中心角的计算方法得出，，最后根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】
解：连接、，

正多边形的每个外角都相等，且其和为，
据此可得多边形的边数为：，
，
，
．
故答案为：．

9.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
先根据根的判别式的值为，进而得出等式求出即可．
本题主要考查了根的判别式，根据已知得出得出是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设种奖品的单价是元，则种奖品的单价是元，
依题意得：．
故答案为：．
设种奖品的单价是元，则种奖品的单价是元，根据数量总价单价，结合用元购买种奖品的数量与用元购买种奖品的数量相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又，
，
，
现根据矩形的性质证明≌，然后求出，再解直角三角形即可．
本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，根据三角形全等求出是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：矩形的面积为，
，
又，
，
故答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义可得出答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数图象上的一点分别向轴，轴作垂线，与坐标轴所围成的长方形的面积等于是解决问题的关键．
 

13.【答案】解：原式
；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：． 

【解析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、计算绝对值，最后计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组和实数的运算，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：第步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：；
原式，
，
，
，
．
故答案为：．
根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：小雨抽到组题目的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果有种，
小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】解：如图中，射线即为所求；
如图中，直线即为所求．
 

【解析】连接，取的中点，作射线即可；
利用是相结合的射线画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

17.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
由折叠得：，，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，过点作于，

，，
在中，由勾股定理得：，
设，
由知：，
，
，
由折叠得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
． 

【解析】根据证明两个三角形全等即可；
如图，过点作于，由勾股定理计算，设，在中，由勾股定理得：，列方程可解答．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题关键．
 

18.【答案】解：令，则，
，
，
设，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
即，；
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
将代入到直线解析式中得，
一次函数的表达式为． 

【解析】令，则，所以，得到，设，因为轴，所以，，因为的面积为，列出方程得到，所以，所以；
因为，在直角三角形中，利用勾股定理列出方程，得到，得到，从而，将坐标代入到一次函数中即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，设出交点的坐标，利用已知条件列出方程，是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：是的切线，
，
，
，
是直径，
，
，
．
解：连接，
，
，
，，
，
∽，
，
即，
，，
，
，
解得：，
在中，，，
． 

【解析】根据垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定定理解答即可；
根据相似三角形的判定定理，勾股定理解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定定理，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：如图，延长到，则于点，

根据题意可知：，米，，
，
米，
，
米，
米，
米
答：湖岸与码头的距离约为米；
设快艇在分钟内将该游客送上救援船，
救援船的平均速度为米分，快艇的平均速度为米分，
，
，
答：快艇能在分钟内将该游客送上救援船． 

【解析】延长到，则于点，根据题意可得，米，，所以，然后根据含度角的直角三角形即可解决问题；
设快艇在分钟内将该游客送上救援船，根据救援船的平均速度为米分，快艇的平均速度为米分，列出方程，进而可以解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
 

21.【答案】，，，；
，；
 分钟，
答：估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间为分钟． 

【解析】解：分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是：，
本次调查的学生有：人，
，
的值是，
样本数据的中位数位于分钟时间段，
故答案为：，，，；
一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值，
时间段的组中值为，
时间段的频数为：，
故答案为：，；
见答案；
根据表格中的数据和扇形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可得到分钟时间段对应扇形的圆心角的度数，的值以及样本数据的中位数位于哪一时间段；
根据中的结果和表格中的数据，可以将表格补充完整；
根据表格中的数据，可以计算出该校八年级学生周末课外平均阅读时间．
本题考查频数分布表、扇形统计图、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】   

【解析】解：起跳台的高度为，
，
把代入得：
，
故答案为：；
，，
，
基准点到起跳台的水平距离为，
，
基准点的高度为；
，
，
运动员落地点要超过点，
时，，
即，
解得，
故答案为：；
他的落地点能超过点，理由如下：
运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，
抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
，
他的落地点能超过点．
根据起跳台的高度为，即可得；
由，，知，根据基准点到起跳台的水平距离为，即得基准点的高度为；
运动员落地点要超过点，即是时，，故，即可解得答案；
运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，即是抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过点．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
 

23.【答案】解：由题意得，，
在中，，，
；
当点在上方时，
如图，过点作于，
在中，，
，
，
在中，，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
当点在下方时，如图，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
过点作于，
，
，
即点到直线的距离为；
如图，连接，取的中点，

取的中点，连接，则，
，
，
点为的中点，点为的中点，
，
点是以点为圆心，为半径的圆上，如图，
三角板由初始位置图，旋转到点、、首次在同一条直线上时，点所经过的轨迹为所对的圆弧，
点所经过的路径长为；
． 

【解析】

【分析】
此题是几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，弧长公式，三角形的中位线定理，三角形的面积，画出图形是解本题的关键．
根据锐角三角函数求解，即可求出答案；
当点在上方时，如图过点作于，根据锐角三角函数求出，，最后利用面积求解，即可求出答案；
当点在下方时，同的方法，即可求出答案；
先求出，再判断出点是以点为圆心，为半径的圆上，最后用弧长公式求解，即可求出答案；
过点作于，求出，即可求出答案．
【解答】
解：见答案；
见答案；
见答案；
见答案；

如图，过点作于，
点为的中点，，
，
，
由知，点是以点为圆心，为半径的圆上，
点到直线的距离的最大值是，