甘肃省金昌市2023届高三二模数学（理）试题（含答案）

甘肃省金昌市2023届高三二模数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足，其中为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，若该圆台的体积为，则其母线长为（    ）

A． B． C．4 D．

4．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（    ）

A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6

5．已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ）

A． B． C． D．

6．在的展开式中，的系数为（    ）

A．4 B．－4 C．－60 D．60

7．已知是函数的一个零点，若，则（    ）

A． B．

C． D．

8．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内的条件可以是（    ）

A． B． C． D．

9．设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．在底面是边长为4的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为______．

14．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题，“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是“现有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，估计此金杖总重量约为_________斤．

15．若函数，又是函数的图象上的两点，且的最小值为，则的值为______.

16．已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点E，过F的直线与C在第一象限的交点为A，则的最大值为______．

三、解答题

17．在中，内角的对边分别为，且．

(1)求；

(2)若，求．

18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．

(1)证明：平面；

(2)若，，且，，求二面角的余弦值．

19．中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：

甲班　　8　　13　　28　　32　　39

乙班　　12　 25　  26　　28　　31

如果学生平均每周自我慗夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”．

(1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；

(2)从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生总数为，写出的分布列和数学期望．

20．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足（为坐标原点）？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

21．已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的直角坐标方程和的普通方程；

(2)求曲线上的点到直线距离的最小值．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式的解集为，求证：．

参考答案：

1．A

2．C

3．A

4．B

5．A

6．C

7．B

8．C

9．D

10．D

11．B

12．C

13．

14．15

15．

16．

17．(1)

(2)

18．(1)证明见解析

(2)

19．(1)估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时；估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时

(2)分布列见解析；期望为2

20．(1)

(2)不存在，理由见解析

21．(1)单调递增区间为；单调递减区间为

(2)

22．(1)曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程

(2)

23．(1)

(2)证明见解析