2023年广东省东莞外国语学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省东莞外国语学校中考数学二模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在，，，中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  安徽年新建基站座以上，其中数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形中，为圆锥的侧面展开图的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  已知点在一次函数的图象上，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  正十边形的外角和是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  教练想从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加比赛，故先在队内举行了一场选拔比赛下表记录了这四名运动员选拔赛成绩的平均数与方差：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应选(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

9.  如图，为的切线，切点为，连接、，交于点，点在上，连接、，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  把因式分解的结果是______ ．

12.  二次函数的顶点坐标是______ ．

13.  已知关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为______ ．

14.  扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为______ ．

15.  如图，在中，，，，点是边上一动点，点在边上，且，则的最小值为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图所示，在三角形中，是上的一点．
以为一边，在三角形内求作，使，交于点要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
若，，，求的长．

19.  本小题分
某商场选购、两种品牌的儿童服装，品牌服装每套进价比品牌服装每套进价多元，用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．
求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？
品牌每套售价为元，品牌服装每套售价为元，商场决定，购进品牌服装的数量比购进品牌服装的数量的倍还多套，两种服装全部售出后，可使总的获利不低于元，则最少购进品牌的服装多少套？

20.  本小题分
近些年来，“校园安全”受到全社会的广泛关注，为了了解学生对于安全知识的了解程度，学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

接受问卷调查的学生共有______ 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为______ ；
补全条形统计图；
若从对校园安全知识达到了“了解”程度的个女生和个男生中随机抽取人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到个男生和个女生的概率．

21.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数第一象限交于、两点，点是轴负半轴上一动点，连接，．
求一次函数的表达式；
若的面积为，求点的坐标．

22.  本小题分
如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，交的延长线于点，连接交于点．
求证：是的切线；
若点为的中点，求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，在中，，，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动当点不与点、点重合时，过点作，其中点在上方，，以、为邻边作▱设点运动的时间为秒．
边的长为______ ；点到边的距离为______ ；
当点落在边上时，求的值；
设线段与边交于点，线段与边交于点，当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、本选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、本选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、本选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：．
根据轴对称图形、中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
 

2.【答案】 

【解析】解：在，，，中，是无理数的是．
故选：．
根据无理数的定义进行解答即可．
本题考查的是无理数．涉及到算术平方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为，的值为所有整数位减，或是小数点向左移动的位数，由此即可求解．
本题主要考查运用乘方表示较大数，掌握科学记数法的表示形式，确定，的值是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面展开图的是扇形，
圆锥的侧面展开图的是：．
故选：．
根据圆锥的侧面展开图是扇形解答即可．
本题考查了几何体的展开图，解题的关键是掌握常见几何体的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是长方形．圆锥的侧面展开图是扇形．正方体的侧面展开图是长方形．三棱柱的侧面展开图是长方形．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故本选项错误，不符合题意；
B.，故本选项错误，不符合题意；
C.，故本选项错误，不符合题意；
D.，故本选项正确，符合题意．
故选：．
A.根据同底数幂的除法法则即可判断；根据完全平方公式即可判断；根据积的乘方运算法则即可判断；根据同底数幂的乘法法则即可判断．
本题主要考查整式的混合运算、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点在一次函数的图象上，
，
解得：．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：多边形的外角和等于，
正十边形的外角和是．
故选：．
根据任意多边形的外角和等于解答即可．
本题考查了多边形的外角，多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则边形取个外角，无论边数是几，其外角和永远为．
 

8.【答案】 

【解析】解：乙和丁的用时较小，
从乙和丁中选择一人参加比赛，
，
选择乙参赛，
故选：．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

9.【答案】 

【解析】解：与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由切线的性质得，而，所以，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质定理、圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明及是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点坐标为，点坐标为，点坐标为，
，，
从一圈的长度为．
，
细线另一端在绕四边形第圈的第个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点的坐标是．
故选：．
由点、、的坐标可得出、的长度，从而可得四边形的周长，再根据即可得出细线另一端所在位置的点的坐标．
本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形一周的长度，从而确定个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可．
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：提公因式法；公式法；十字相乘法；分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故答案为：．
根据顶点式的意义直接解答即可．
本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
扇形面积计算公式：设圆心角是，扇形所在圆的半径为，扇形面积为，则，由此即可计算．
本题考查扇形面积的计算，关键是掌握扇形面积的计算公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，延长到使，连接，则，当点、、三点共线时取等号，即为的最小值；

，，，，
，，
过作于，则，
，
，，
在中，，
，
故的最小值为．
故答案为：．
延长到使，连接，则为的最小值，作于，利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的长度即可．
本题考查轴对称最短路线问题、勾股定理、含度角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出辅助线找到最小值为是解答的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】利用二次根式的性质，立方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义计算即可．
本题考查了实数的运算，掌握二次根式的性质，立方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
，
． 

【解析】先对分式进行化简，然后代值求解即可．
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，为所作；

，，
∽，
，
即，
． 

【解析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线，也考查了相似三角形的判定与性质．
利用基本作图作；
证明∽，然后利用相似比计算的长．
 

19.【答案】解：设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：、两种品牌服装每套进价分别为元、元；
设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，
由题意得：，
解得：，
答：至少购进品牌服装的数量是套． 

【解析】首先设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，根据关键语句“用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．”列出方程，解方程即可；
首先设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，根据“可使总的获利超过元”可得不等式，再解不等式即可．
本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出、两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：接受问卷调查的学生共有人，
“基本了解”部分所对应扇形的圆心角，
故答案为：，；
“了解”的人数为人，
补全图形如下：

画树状图得：

可能的情况一共有种，抽到“一男一女”学生的情况有种，
抽到“一男一女”学生的概率是：．
由“了解很少”的人数及其所占百分比可得总人数，“基本了解”部分所对应扇形的圆心角基本了解人数总人数
根据各了解程度的人数之和等于总人数求出了解的人数，据此可补全条形图；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到个男生和个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：反比例函数第一象限经过点，
，
反比例函数的表达式为：，
，
点，
由题意得，
解得，
故一次函数的表达式为：；

设直线交轴于点，则点，

设点，
则，
解得：，
点的坐标为． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由，即可求解．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，，

，
，
又，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
证明：如图，连接，

，
，
，
又，，
，
，
≌，
，
点为的中点，
，
；
解：如图，延长交于点，

是的直径，，
，
，
，
在中，，
，，
，
，，
∽，
，即，
，
，
在中，，
． 

【解析】连接，，证得，得出，则，则结论得证；
连接，得出，证明≌，则，证出，则可得出结论；
延长交于点，得出，在中，，可求出，，证明∽，由可求出，再求出，则可得出的长．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆周角定理，平行线的判定性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：，，，
；
如图，过点作于，

，
，
；
故答案为：；．

当点落在边上时，如图，过点作于，

由题意得：，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；

如图，过点作于，

，，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，即，
解得：，
，
故A的长为．
由勾股定理可得，如图，过点作于，利用，即可求得答案；
如图，过点作于，先证明≌，可得，再利用等腰三角形的判定和性质得出，得出，即可求得答案；
如图，过点作于，由∽，可得，求得，，利用等腰三角形性质可得，，再由∽，可得，即，求得，即可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形．