2023年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某校开展了“空中云班会”的满意度调查，九年级各班满意的人数分别为，，，下列关于这组数据描述错误的是(    )

A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 方差是

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，是的直径，点，都是上的点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若点在直线上，则下列各点也在直线上的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在某校的科技节活动中，九年级开展了测量教学楼高度的实践活动“阳光小组”决定利用无人机测量教学楼的高度如图，已知无人机与教学楼的水平距离为米，在无人机上测得教学楼底部的俯角为，测得教学楼顶部的仰角为根据以上信息，可以表示教学楼单位：米的高度是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  抛物线：与轴负半轴交于点，与轴交于点，将抛物线沿直线平移得到抛物线，若抛物线与轴交于点，则点的纵坐标的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四边形的对角线与交于点，且，，，，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  在函数中，自变量的取值范围是          ．

12.  在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值是______ ．

13.  分解因式：          ．

14.  在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值则 ______ 度

15.  如图，在菱形中，与相切于点，与相切于点，点在上，则 ______ ．

16.  如图，矩形中，，，点，分别为边，上的动点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
当点为的中点时，线段的长是______ ；
当点在边上运动时，线段的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，在平行四边形中，，分别是，上一点，，交于点求证：．

19.  本小题分
已知：．
化简；
从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求的值．
条件：若点是反比例函数图象上的点；
条件：若是方程的一个根．

20.  本小题分
为落实立德树人根本任务，坚持“五育”并举全面发展素质教育某学校提倡家长引导孩子在家做一些力所能及的家务劳动为了解九年级学生平均每周家务劳动时间，随机抽取了部分九年级学生进行调查，根据调查结果，绘制如下频数分布表：

请完成下列问题：
若九年级共有名学生，估计平均每周家务劳动时间少于小时的学生大约有______ 人
学校为了鼓励学生进行家务劳动，计划在参与调查的学生中，抽取名学生分享劳动心得若只从平均每周家务劳动时间不低于小时的名学生其中名男生，名女生中随机抽取，请用树状图或列表的方法求抽取的两名学生中恰有名男生和名女生的概率．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，且反比例函数的图象经过，两点，直线交轴于点．
求的值；
求的面积．

22.  本小题分
坚定文化自信，为乡村振兴塑形铸魂为发展旅游经济，某乡村企业制作一批“美丽乡村”主题文化衫进行销售第一批文化衫的制作成本是元，面市后文化衫供不应求，又用元制作了第二批同款文化衫，制作的数量是第一批数量的倍，但由于原材料涨价，第二批文化衫每件的成本增加了元．
该企业制作的第一批文化衫每件的成本是多少元？
两批文化衫标价相同，在季末清仓时，最后件按折全部售出问每件文化衫标价为多少元时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于？
注：盈利率销售金额成本成本

23.  本小题分
如图，为的外接圆，，，点为的中点，连接，作的角平分线交于点．
尺规作图：作出线段；保留作图痕迹，不写作法
连接，求证：；
若，求的周长．

24.  本小题分
已知抛物线：经过点．
用含的代数式表示；
若抛物线与轴交于两点，点在点左侧，且，求点的坐标；
当时，自变量的取值范围是：或，若点在抛物线上，求的取值范围．

25.  本小题分
如图，已知是等边三角形，，点为的中点，点，分别为边，上的动点点不与，重合，且．
求的取值范围；
若，求的长；
求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
所给的实数中，比小的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和原图形重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、中位数是，选项不符合题意；
B、众数是，选项不符合题意；
C、平均数为，选项不符合题意；
D、方差为，选项符合题意．
故选：．
排序后位于中间或中间两数的平均数即为中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
本题主要考查了众数、平均数以及方差的计算，注意：极差只能反映数据的波动范围，众数反映了一组数据的集中程度，平均数是反映数据集中趋势的一项指标，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，单项式乘多项式的法则，负整数指数幂的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，单项式乘多项式，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：为的直径，
，
，
，
．
故选：．
由为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由，得出的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得的度数．
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点，
，解得：，
一次函数的解析式为．
当时，，
当时，，
点在一次函数的图象上．
故选：．
由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，分别计算自变量为、所对应的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出一次函数解析式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：圆锥的主视图是边长为的等边三角形，
圆锥的底面直径为，母线长为，
圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图的面积为：，
故选：．
根据圆锥的主视图求出圆锥的底面直径为，母线长为，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
在中，，米，
米，
在中，，
米，
米，
教学楼的高度是米，
故选：．
根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，当时，；
当时，，
解得，
，，
设直线的解析式为，
则，
解得
直线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，即抛物线的顶点在直线上，
抛物线沿直线平移得到抛物线，则抛物线的顶点坐标一定在直线上，
设抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
在中，令，则，
，
的最大值为，
故选：．
先求出，，进而求出直线的解析式为，再推出抛物线沿直线平移得到抛物线，则抛物线的顶点坐标一定在直线上，设抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，进而求出，则的最大值为．
本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的平移，推出抛物线的顶点坐标一定在直线上是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，，
则，
，
，
，
，
，
，
整理得，，
在和中，
，
，
，
把代入式并整理得，
，
，
，
．
故选：．
设，，分别用，表示出和，由，列出方程关于，的方程，再根据勾股定理，列出方程关于，的方程，两方程联立解出，的值，从而得到的长度．
本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理建立方程求解是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．
根据被开方数大于等于可知：，解得的范围．
【解答】
解：根据题意得：，
解得，．  

12.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点为，
，，
．
故答案为：．
直接利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出，的值，即可得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】见答案．
 

14.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
，，
．
故答案为：．
由三角形外角的性质得到，由三角形内角和定理，即可得到答案．
本题考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，关键是掌握三角形外角的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，，，
与相切于点，与相切于点，
，
四边形是菱形，
，
，
≌，
，
，，
≌，
，，
，
、、三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由条件可以证明≌，≌推出，得到、、三点共线，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质，推出，由直角三角形的性质，即可求出的度数，得到的度数，即可解决问题．
本题考查切线的性质，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点推出；由直角三角形的性质，求出．
 

16.【答案】  

【解析】解：当为的中点时，
，
点也会在的中点，
，；
设，作于，作于，
，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
≌，
，
当时，，，

，
当时，取最小值，
；
当，，，

，
当时，取最小值，
；
根据已知条件得到，推出点也会在的中点，于是得到，；
设，作于，作于，得到，根据旋转的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，当时，，，当，，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
 

17.【答案】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为：． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；
点是反比例函数图象上的点，
，
；
是方程的一个根，
，
，
； 

【解析】利用分式的减法法则化简即可；
由点在反比例函数图象上，即可得出的值，代入化解后的分式中即可得出结论；
是方程的一个根，即可得出的值，代入化解后的分式中即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一元一次方程的解，分式的运算，把分式化简是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：估计平均每周家务劳动时间少于小时的学生大约有人，
故答案为：；
列表如下：

共有种情况，其中名男同学和名女同学的有种结果，
则恰是名男同学和名女同学的概率为．
总人数乘以样本中平均每周家务劳动时间少于小时的学生人数所占比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：反比例函数经过点，，
；
分别过点、作轴垂线，；

，
∽，
，
，，
，
平行四边形中，，
点的纵坐标为，
点在反比例函数上，
，
又，
设直线解析式为：，则，
解得，
直线解析式为：，
令，，解得，
点，
，
． 

【解析】根据待定系数法求解即可；
分别过点、作轴垂线，，通过证得∽，求得，进一步求得，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求得点的坐标，根据三角形面积公式即可求得的面积．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法以及求得关键点的坐标是解题的关键．
 

22.【答案】解：该企业制作的第一批文化衫每件的成本是元，则该企业制作的第二批文化衫每件的成本是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该企业制作的第一批文化衫每件的成本是元；
该企业制作的第一批文化衫数量为件，
该企业制作的第二批文化衫数量为件．
设每件文化衫标价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：问每件文化衫标价为元． 

【解析】该企业制作的第一批文化衫每件的成本是元，则该企业制作的第二批文化衫每件的成本是元，利用数量总价单价，结合制作第二批文化衫的数量是第一批数量的倍，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
利用制作数量制作总成本制作单价，可求出该企业制作的第一、二批文化衫的数量，设每件文化衫标价为元，利用总利润销售单价销售数量制作总成本，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

23.【答案】解：如图，线段即为所求；

证明：，，
又，，
，
；

解：如图，连接，，延长至点，使得，连接，

由可得，，，
≌，
，，
，
在中，作边上的高，则，，
，
，，，
，，
，
，
，
，
的周长． 

【解析】根据要求作出图形；
证明，可得结论；
如图，连接，，延长至点，使得，连接，首先证明，求出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

24.【答案】解：抛物线：经过点，
，
．
抛物线与轴交点纵坐标为；
令，且将代入得：；
解得：；；．
，
；
整理得：；
当时，；
；；即．
当时，，
；；即．
依题意，当时，自变量的取值范围是：或，可知：
，又由得：；
解析式可整理为：；
，
当时，；即：；解得：；
点在抛物线上，
；
整理得：；
；
；
；
解得：或． 

【解析】代入点的坐标即可求得；
用字母系数表示、两点坐标，根据已知条件计算可求；
由题设可知抛物线的顶点信息及开口方向，基于些讨论的取值范围．
本题考查了二次函数的性质，计算量较大，综合性强．第三问难度较大，容易漏解．
 

25.【答案】解：，，
，
；

过点作，过点作，

，
，，
，
∽，
设，则，
为中点，
，
在中，，
，，
，
，

，
，，，
∽，
，即，
解得：，即；

如图，连接，过点作于，过点作且，

在与中，
，，，
∽，
，
设，
由可知，
又，，
又．，
又，
∽，
，即．
．
当且仅当，，三点共线时取等号，即取得最小值．
过点作交的延长线于点，

，，
，，
，
在中，
，

即的最小值是． 

【解析】根据的取值范围，可得结论；
过点作，过点作，证明∽，设，则，利用相似三角形的性质构建方程求解；
如图，连接，过点作于，过点作且，构造相似三角形解决问题即可．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．