2023年广东省广州市增城区中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省广州市增城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图所示的几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  若分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  点关于原点对称的点为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是的直径，弦于点，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在中，，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到里外的城市，用慢马送所需的时间比用快马送所需的时间多天已知快马速度是慢马速度的倍，求慢马的速度设慢马的速度为里天，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点是函数图象上一点，过点作轴，轴，分别与函数的图象相交于点和点，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，点，都是边上的点，，交于点，若，则：的值是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

10.  如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过点、，顶点为，抛物线过点，，顶点为，若点在线段上，则：的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算：          ．

12.  如图，在中，，将沿着射线平移个单位长度，得到，若，则 ______ ．

13.  如表记录了甲、乙、丙三名学生这学期的射击成绩的平均数和方差：

根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择          ．

14.  抛物线的对称轴是直线______ ．

15.  如图，直线与轴和轴分别交于、两点，射线于点，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以，，为顶点的三角形与全等，则的长为______ ．

16.  如图，在菱形中，，，点为对角线不含点上任意一点，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程：．

18.  本小题分
如图，，，，求的长．

19.  本小题分
已知．
化简；
若点在一次函数的图象上，求的值．

20.  本小题分
新课标年版要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”我区九年级学生进行了一次数学素养监测，并随机抽取了名学生的测试成绩，按照“优”“良”“中”“差”四个等级进行统计，并根据统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
求的值；
将条形统计图补充完整；
现从成绩为“优”的甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽取两位同学参与“跨学科学习、项目式学习”汇报，用树状图或列表法求出甲同学被抽到的概率．
 

21.  本小题分
如图，矩形中，点是对角线的中点，，，若反比例函数的图象经过点，与边交于点．
求的值；
求的面积．

22.  本小题分
随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径某市年数字阅读市场规模为万元，年数字阅读市场规模为万元．
求年到年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
若年平均增长率不变，求年该市数字阅读市场规模是多少万元？

23.  本小题分
如图，在等腰中，，过点作交于点．
尺规作图：作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径作保留痕迹，不要求写作法；
在所作的图形中，
求证：是的切线；
若的半径为，问线段上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数，
当时，求抛物线的顶点坐标；
当时，设抛物线与轴交于，两点点在点左侧，顶点为，若为等边三角形，求的值；
过其中且垂直轴的直线与抛物线交于，两点若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于，求的取值范围．

25.  本小题分
在正方形中，点、分别在边、上，且，连接．
如图，若，，求的长度；
如图，连接，与、分别相交于点、，若正方形的边长为，，求的长；
判断线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：圆锥体的主视图是等腰三角形，因此选项C中的图形比较符合题意，
故选：．
根据圆锥体的三视图进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是得出正确答案的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，
解得，，
故选：．
根据分母不等于零分式有意义，可得答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点为．
故选：．
直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
此题考查关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
在中，．
故选：．
先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
，
故选：．
根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查了解直角三角形，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，
根据题意，得：，
故选：．
设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，由题意得等量关系：慢马所需的天数快马所需的天数，根据等量关系，可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，由题意可知，，
，，
的面积是：，
故选：．
设，由题意可知，，即可得出，，根据三角形面积公式即可求解．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出点的坐标，从而表示出线段的长度是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
点，都是边上的点，，
∽，
．
故选：．
通过三角形相似，相似三角形的面积比与对应边的比的关系求出：的值，再通过∽，得出：的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定与性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，作轴，轴，

抛物线过，两点，
设它的解析式为，
对称轴为直线，
它的顶点的坐标为，
．
抛物线过，两点，
设它的解析式为，
对称轴为直线，
它的顶点的坐标为．
．
，，
，．
，
∽，
，

．
故选：．
由题意得点的横坐标为，点的横坐标为根据两个函数与轴交点的坐标，将函数解析式转化为交点式，然后求出顶点的纵坐标，根据相似列出关于和的等式即可．
本题考查了二次函数图象与性质，以及相似三角形判定和性质，解题的关键是将原函数解析式转化为交点式，求出函数的顶点坐标．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键，是一道基础题．
【解答】
解：；
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：沿着射线的方向平移，得到，
，
，，
，
即平移的距离为．
故答案为：．
根据平移的性质得到，再利用，然后求出的长，从而得到平移的距离．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行或共线且相等．
 

13.【答案】乙 

【解析】

【分析】
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】
解：丙和乙的平均数较大，
从丙和乙中选择一人参加竞赛，
乙的方差较小，
选择乙参加比赛，
故答案为：乙．  

14.【答案】 

【解析】解：由可知，抛物线对称轴为直线．
故答案为：．
已知抛物线解析式为顶点式，可确定抛物线的顶点坐标及对称轴．
本题考查了二次函数的性质，抛物线解析式的顶点式可确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大小值，函数的增减性．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，
，
，
，
在中，
令，则，
令，则，
，，由勾股定理得，
当时，如图，

≌，
；
当时，如图，

≌，
，
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，当时，如图，当时，如图，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，过点作于．

四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
如图，过点作于，过点作于证明，求出，利用垂线段最短解决问题即可．
本题考查菱形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型
 

17.【答案】解：
得：，解得：
将代入得：，解得：
所以方程组的解为：． 

【解析】

【分析】
直接运用加减消元法解答即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键．  

18.【答案】解：在和中，
，
≌，
，
，
，即，
的长是． 

【解析】由，，，根据全等三角形的判定定理“”证明≌，则，所以的长是．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：



；
点在一次函数的图象上，
，
，
． 

【解析】先通分，然后化简即可；
根据点在一次函数的图象上，可以得到，从而可以得到的值，然后代入中化简的结果计算即可．
本题考查分式的化简求值、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：这次调查的学生数为名，
即的值为；
“中”等级的人数为人，
“优”等级的人数所占的百分比为，
如图，

画树状图为：

共有种等可能的结果，其中甲同学被选到的结果数为，
所以甲同学被选到的概率． 

【解析】用“差”等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
用“中”的人数所占的百分比乘以调查的总人数得到“中”等级的人数，再计算出“优”等级人数所占的百分比，然后补全两个统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出甲同学被选到的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

21.【答案】解：由题意可得为，
为中点，
为，
反比例函数的图象经过点，
，即；
． 

【解析】由题意求出坐标，再求出坐标，然后求出中的，即可得解；
利用即可求解．
本题考查反比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，数形结合是解题关键．
 

22.【答案】解：设年到年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：年到年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为；
万元，
，
预计年该市数字阅读市场规模万元． 

【解析】设年到年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为，利用年该市数字阅读市场规模年该市数字阅读市场规模年到年该市数字阅读市场规模的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
利用年该市数字阅读市场规模年该市数字阅读市场规模年到年该市数字阅读市场规模的年平均增长率，可预计出年该市数字阅读市场规模，将其与万元比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，列式计算．
 

23.【答案】解：如图，
，，
是直角三角形，
过点，，的圆的圆心是斜边的中点，
所以作出边的中垂线交于，
即：为所求作的图形，

证明：如图，
连接，，
，
在中，，
，
，
，
是的切线；
解：由知，，
，
，
，
，
，
，
由知，，
以，，为顶点的三角形与相似，
当，
，
，
，
当时，
在中，，，
，
即：满足条件的的长为或． 

【解析】先判断出是直角三角形，进而得出过，，的圆的圆心必是中点，即可作出图形；
先求出，再求出，即可得出结论；
先求出，再分两种情况用三角形的中位线和用含的直角三角形的性质即可得出结论．
此题是相似三角形的综合题，主要考查了直角三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，相似三角形的性质，三角形的中位线定理，解的关键是得出过点，，的圆的圆心是的中点，解的关键是求出，解的关键是分情况讨论．
 

24.【答案】解：，
当时，抛物线的顶点坐标为；
依照题意，画出图形，如图所示．

当时，，
解得：，．
由Ⅰ可知，顶点的坐标为．
，
．
为等边三角形，，
，
点的坐标为，
，
；
分两种情况考虑，如图所示：

，设在对称轴左边，
当时，，
当时，，
，
解得：；
当时，，
，
解得：，
综上，当时，；当时，． 

【解析】化为顶点式，即可求出顶点坐标；
根据题意，画出图形，当时，，求得，，由可知，顶点的坐标为，根据为等边三角形，可得，即可求解；
分两种情况考虑，根据对称性求得的横坐标，确定的值，即的纵坐标，分当时，当时画出图形，结合图象列出不等式，解不等式即可求解．
本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，延长至点，使，连接，

四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
；
四边形是边长为的正方形，
，
设，则，
由知，，
，
，，
在中，，
，
解得：，
；
，证明如下：
如图，延长至点，使，连接，在上截取，连接，，

由知，，，
四边形为矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
． 

【解析】延长至点，使，连接，先根据证明≌，得到，，，于是可通过证明≌，得到，则；
设，则，由可得，于是在中，根据勾股定理列出方程，求解即可；
延长至点，使，连接，在上截取，连接，，易通过证明≌，得到，，进而得出，再通过证明≌，得到，在中，根据勾股定理得，再等量代换即可得到结论．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题是解题关键．