2022-2023学年山东省青岛市市南区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市市南区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  把用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列说法正确的是(    )

A. 相等的角是对顶角
B. 在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行
C. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等

4.  如图，在下列给出的条件中，不能判定的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若一个三角形三个内角度数的比为：：，那么这个三角形是(    )

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形

6.  若的结果中不含的一次项，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形如图，然后将剩余部分剪拼成一个长方形如图，上述操作能验证的等式是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了后回家，图中的折线段是她出发后所在位置离家的距离与行走时间之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  已知，，那么的值是______ ．

10.  若是完全平方式，则的值是______ ．

11.  一个角的补角是它的余角的倍，则这个角余角的度数是______ ．

12.  如图，是的中线，是边上的中点，连接，若的面积为，则的面积为______ ．

13.  如图，直线，点，分别在直线和直线上，点在两条平行线之间，和的角平分线交于点，已知，则的度数为______ ．

14.  如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．
观察图形，填写如表；

如果一辆自行车的链条安装以后共由节链条组成，那么链条的总长度是______ ．

15.  如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______ ．

16.  骑摩托车从甲地去乙地，开汽车从乙地去甲地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两地间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示．
甲、乙两地之间的路程为______ 千米；
甲出发______ 小时后甲、乙两地相距千米．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
作图题．
用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：点为线段外一点，求作直线，使．

18.  本小题分
计算：
；
；
用乘法公式计算：．
；
；

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

20.  本小题分
已知：如图，中，，若、在边上，点在边上，于点，
，求证：将下列推理过程补充完整：
证明：，，已知，
______
______
______ ______
，
______ ______
______

21.  本小题分
某经销商销售了一种水果，进价是元千克，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：

从表格可以看出售价每下调元销售量就增加______ 千克，每上涨元销售量就减少______ 千克，直接写出每天销量千克与每千克售价元的函数关系式．
求出当售价从元千克调整到元千克时，求这一天的销售量是多少千克？利润多少元？

22.  本小题分
如图，已知，．
问与平行吗？如果平行请说明理由．
若于，平分，，求的度数．

23.  本小题分
某数学兴趣小组在一组课题学习活动中以“钟表上时针与分针的重合时刻”为课题展开了研究．
【问题提出】如图是某钟表，图是该钟表的简化平面示意图，设时针、分针所在直线在同一平面内，直线表示钟表的数轴线在：：之间求时针与分针的重合时刻．
【问题探究】设钟表中心为，表示“”的点为，表示“”的点为，表示“”的点为，表示“”的点为，下面是小颖同学的研究过程：
解题思路：建立函数关系的方法求解．
设自变量和因变量：设：后再经过，时针、分针分别与所成夹角度数为，，直接写出，关于的关系式．
求解：
【问题解决】请按照小颖的思路解答此问题；
【问题拓展】求该钟表在：：之间，时针与分针所在直线互相垂直的时刻．
 

24.  本小题分
已知直线，点在直线上，点，为平面内两点，于点．

如图，当点在直线上，点在直线上方时，延长交直线于点，则和之间的数量关系是______；
如图，当点在直线上且在点左侧，点在直线与之间时，过点作交直线于点为探究与之间的数量关系，小明过点作请根据他的思路，写出与的关系，并说明理由；
请从下面，两题中任选一题作答．如图，在的条件下，作的平分线交直线于点，当时直接写出的度数；如图，当点在直线上且在点左侧，点在直线下方时，过点作交直线于点，作的平分线交直线于点，当时，直接写出的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则求解即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：相等的角不一定是对顶角，故A错误，不符合题意；
在同一平面内，不相交的两条直线必平行，故B正确，符合题意；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故C错误，不符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据对顶角性质、平行线的判定与性质判断求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

解：当时，可知是和被所截得到的同位角，可得到，故A可以；
当时，可知是、被所截得到的同位角，可得，故B不可以；
当时，可知是和被所截得到的内错角，可得，故C可以；
当时，可知是和被所截得到的一对同旁内角，可得，故D可以，
故选B．
【分析】本题主要考查平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，根据平行线的判定，逐项进行判断即可．  

5.【答案】 

【解析】解：三角形三个内角度数的比为：：，
最大内角的度数是，
此三角形是直角三角形，
故选：．
根据三角形内角和等于求出最大内角的度数，再得出选项即可．
本题考查了三角形内角和定理，能熟记三角形内角和定理是解此题的关键，注意：三角形内角和等于．
 

6.【答案】 

【解析】解：原式，
，
，
故选：．
根据多项式乘多项式的运算法则进行化简，然后令含的一次项系数为零即可求出答案．
本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式运算法则，本题属于基础题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，剩余部分的面积是：，
图拼成的是长为，宽为的矩形，因此面积为，
根据剩余部分的面积相等得：，
故选：．
分别求出从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项
本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用算式表示图形的面积，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成用数学式子表示出来．
 

8.【答案】 

【解析】解：观察关于的函数图象，发现：
在图象段，该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，
可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是．
故选：．
根据给定关于的函数图象，分析段可得出该段时间蕊蕊妈妈绕以家为圆心的圆弧进行运动，由此即可得出结论．
本题考查了函数的图象，解题的关键是分析函数图象的段．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象分析出大致的运动路径是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，




．
故答案为：．
利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

10.【答案】或 

【解析】解：，
，
或．
故答案为：或．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：设这个角的度数是，
则，
解得．
这个角的余角．
答：这个角的余角度数是．
故答案为：．
根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的度数的倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果．
本题考查余角和补角的知识，设出未知数是解决本题的关键，要掌握解答此类问题的方法．
 

12.【答案】 

【解析】解：是的中线，的面积为，
，
是边上的中点，
．
故答案为：．
根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
本题主要考查了三角形的面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作，过点作．

，
，，
，，
，
，
，
平分，平分，
．
故答案为：．
过点作，过点作根据平行线的性质得到，结合角平分线的定义得到，同理可得
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论．
 

14.【答案】   

【解析】解：根据题意，得，
当时，，
故答案为：；
当时，，
故答案为：．
根据表格可知与的关系式，可知时，的值；
将代入中函数关系式即可．
本题考查了图形的变化规律，函数关系式，根据表格信息表示出函数关系式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，，则，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
设两个正方形的边长分别为、，则，由可得，根据代入求出的值即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
 

16.【答案】 或 

【解析】解：由图象可得，当时，，
甲，乙两地之间的路程为千米；
故答案为：；
由图象可得：的速度为：千米小时，的速度为：千米小时，
设出发小时，，相距千米，由题意得：
相遇前：，
解得，
相遇后：，
解得，
综上所述，出发小时或小时后，、两人相距千米．
故答案为：或．
由图象直接可得甲，乙两地之间的路程为千米；求出的速度为：千米小时，的速度为：千米小时，设出发小时，，相距千米，分两种情况列方程，可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答．
 

17.【答案】解：如图，直线即为所求．
 

【解析】过点作直线交于点，作即可．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：

；



；




；




；


． 

【解析】先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可；
先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可；
利用平方差公式进行运算即可；
利用平方差公式及完全平方公式进行运算即可；
利用整式的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】解：原式


当，时，
原式． 

【解析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，进一步合并，最后代入求得数值即可．
此题考查整式的化简求值，掌握计算公式和运算方法是解决问题的关键．
 

20.【答案】垂直定义  同位角相等，两直线平行    两直线平行，内错角相等    等量代换  同位角相等，两直线平行 

【解析】证明：，，已知，
垂直定义，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
，
等量代换，
同位角相等，两直线平行．
故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行．
首先证明，然后根据，可得，再根据同位角相等，两直线平行可判定出．
本题主要考查了平行线的判定与性质定理，掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：从表格可以看出售价每下调元销售量就增加千克，每上涨元销售量就增减少千克，
当售价从元千克下调到元千克时，，
每天销量千克与每千克售价元的函数关系式为；
故答案为：，；
当售价从元千克调整到元千克时，，
这一天的销售量是，
这种水果进价是元千克
利润为元．
这一天的销售量是，利润元．
根据表格中的数据可得售价每下调元销售量就增加千克，每上涨元销售量就增减少千克，根据此关系可得当售价从元千克下调到元千克时，得出其销售量，以此即可得到与的函数关系式；
将代入中求得的函数关系式中，求出这一天的销售量，再根据“利润售价成本销售量”即可解答
本题主要考查一次函数的应用，解题关键是从表格中得出售价每下调元销售量就增加千克，每上涨元销售量就增减少千克．
 

22.【答案】解：，
理由：，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
的度数为． 

【解析】利用已知可得，从而可得，进而可得，然后利用同旁内角互补，两直线平行可得，即可解答；
根据垂直定义可得，再利用的结论可得，从而可得，然后利用的结论可得，再利用角平分线的定义可得，即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：；．
根据题意得：，解得．
答：在：到：之间时针秘分针重合时刻为点分钟．
根据题意得：，解得．
答：在：到：之间时针与分针所在直线互相垂直的时刻为点分钟． 

【解析】根据分针每分钟转，时针每分钟转，根据题意列函数关系式，
根据分针每分钟转，时针每分钟转，根据题意列方程求解，
根据分针每分钟转，时针每分钟转，根据题意列方程求解．
本题考查了函数的图象和钟面角，一元一次方程的应用，数形结合思想是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
选择，
如图，过点作，

设，则：
，
由可得，
，
，
平分，
，
，
，
解得：，
；
选择，
设，
，，，
，
，
，
，
，
平分，
，
在中，，
在中，
，
，
，
，
解得：，
．
利用平行线的性质即可得出结论；
利用平行线的性质和角度的计算即可得出结论；
题需要作出辅助线，即可求解；题利用平行线的性质，用表示出，然后放在和中求解即可．
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，本题的难点在于第三问题中辅助线的做法．