2023年湖北省黄冈市浠水县英才学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖北省黄冈市浠水县英才学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  大于且小于的整数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  钓鱼岛是钓鱼岛列岛的主岛，是中国固有领土，面积，将用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图几何体的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，已知点，分别在的边，上，若，，由作图痕迹可得，的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图是根据南街米粉店今年月日至日每天的用水量单位：吨绘制成的折线统计图．下列结论正确的是(    )

A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是

7.  如图所示，边长为的正三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到三角形，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在正方形中，为上一点，交对角线于点，点是上的一点且，连结，交于点满足，现给出下列结论：；；若，则其中正确的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  分解因式：          ．

10.  如图，有一个含有角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若，则的度数是______．

11.  若方程的两根分别为，，则的值为______．

12.  如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为，则的长为______．

13.  一个仅装有球的不透明布袋里共有个球只有编号不同，编号分别为，，，从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是______．

14.  某舰艇上午时在处测得灯塔在其南偏东的方位上，然后以每小时海里的速度沿南偏东的方向航行，时到达处，在处测得灯塔在其北偏东的方位上，则处到灯塔的距离是______．

15.  如图，，，，都是等腰直角三角形，其中点，，，在轴上，点，，，在直线上，已知，则的长为______ ．

16.  如图甲，在梯形中，，，动点从点出发沿线段向点运动，到达点即停止，若、分别是、的中点，设，的面积为，则与的函数关系的图象如图乙所示，则梯形的面积为______ ．

 

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

17.  先化简，再求值：，其中
 

18.  年月日是中华人民共和国成立周年纪念日，某商家用元购进了一批纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的倍，但每件贵了元．
该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？
若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下件按标价八折优惠卖出，如果两批纪念衫全部售完利润不低于元不考虑其他因素，那么每件纪念衫的标价至少是多少元？

四、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读册书数的数据．
求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；
根据随机抽查的这个结果，请估计该校名学生中课外阅读册书的学生人数；
若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？

 

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点．求反比例函数的解析式；
在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，写出自变量的取值范围．
求的面积．

21.  本小题分
如图，已知是的直径，是上的一点，是上的一点，于，交于，且．

求证：是的切线；
若，，圆的半径，求切线的长．

22.  本小题分
年月日，“美丽玉环，文旦飘香”号冠名列车正式发车，为广大旅客带去“中国文旦之乡”的独特味道根据市场调查，在文旦上市销售的天中，其销售价格元公斤与第天之间满足函数其中为正整数；销售量公斤与第天之间的函数关系如图所示，如果文旦上市期间每天的其他费用为元．
求销售量与第天之间的函数关系式；
求在文旦上市销售的天中，每天的销售利润与第天之间的函数关系式；日销售利润日销售额日维护费
求日销售利润的最大值及相应的的值．

23.  本小题分
如图，在中，，，，点，为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转．
如图，当时，______；，所在直线相交所成的较小夹角的度数是______；
将绕点逆时针旋转至图所示位置时，中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
当绕点逆时针旋转过程中，请直接写出的最大值，______．

 

24.  本小题分
如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，，，抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
若点是对称轴上的一个动点，是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
为的中点，一个动点从点出发，先到达轴上的点，再走到抛物线对称轴上的点，最后返回到点要使动点走过的路程最短，请找出点、的位置，写出坐标，并求出最短路程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：大于且小于的整数有个：
、、、、、．
故选：．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断出大于且小于的整数有几个即可．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可得，．
故选：．
根据科学记数法定义：将一个数写成直接求解即可得到答案．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看图形为：．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，熟知从正面看得到的图形是主视图是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据作图痕迹可知：是的平分线，
，
，
当时，最小，
，，
到的最小值是：．
故选：．
根据作图痕迹可得，是的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得的最小值．
本题考查了作图基本作图，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故A选项不合题意；
，故B选项符合题意．
，非同类项，不可合并，故C选项不合题意；
，故D选项不合题意；
故选：．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题是基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意知，
平均数为：，
众数为：、、、、；
中位数为：；
方差为：；
故选：．
根据图中数据分别求出平均数、众数、中位数及方差即可得出结论．
本题主要考查平均数、众数、中位数及方差的概念，熟练掌握平均数、众数、中位数及方差的概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，设与轴相交于，
是等边三角形，旋转角为，
，
轴，
等边的边长为，
，
，
又在第四象限，
点的坐标为．
故选：．
设与轴相交于，根据等边三角形的性质求出、，然后写出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化旋转，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
∽，
，
四边形是正方形，
，平分，
，
，
，
，
，
，
正确；
将绕点顺时针旋转到，
≌，
，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
正确；
设正方形的边长为，，
，
，
，，
在中，，
，
解得：，
即，，
，
错误．
正确的有个．
故选：．
把它化为，证明∽，推出，再根据正方形的性质得出，再根据和三角形内角和求出，进而得出；
将绕点顺时针旋转到，推出，，，进而证明≌，推出，最后得出；
设正方形的边长为，，根据，求出，进而得，，根据勾股定理求出，进而求出．
本题考查三角形相似的判定和性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形，熟练掌握这四个知识点的综合应用，将绕点顺时针旋转到是证明≌的解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式进行分解，注意分解要彻底．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，过作，则，

，
，
又，
，
，
，
故答案为：．
过作，则，根据平行线的性质即可得到结论．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故答案为．
先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

12.【答案】 

【解析】解：，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
在中，，为中点，，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形的中位线定理，求得的长是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：根据题意画图如下：

共有种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有种，
则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．
故答案为：．  

14.【答案】海里 

【解析】解：如图，

由题意知，，，
，，
，
，
，
又海里，
海里，
即处到灯塔的距离是海里，
故答案为：海里．
先根据题意得出、，从而判断出是等腰直角三角形，由海里及求解可得．
本题主要考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是理解并运用方向角得出直角三角形的各内角度数．
 

15.【答案】 

【解析】解：为等腰直角三角形，
，，
又点在直线上，

，即点为的中点，
又，
，
为等腰直角三角形，点在直线上，
，，
，
，
，都是等腰直角三角形，点，在直线上，
，，，，
，


当时，
．
故答案为：．
根据为等腰直角三角形，得出，，根据点在直线上，，，即点为的中点，根据，得出，根据为等腰直角三角形，得出，，得出，可求，根据，都是等腰直角三角形，可得，，，，得出，，当时，代入求值即可．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，规律型：图形的变化类，等腰直角三角形性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点
是的中位线

当时，点与点重合

当时，点与点重合





故答案为：．
先证明是的中位线，从而得出，再分两种情况计算面积：当时，点与点重合；当时，点与点重合；然后求和即可．
本题考查了动点问题的函数图象在几何图形面积问题中的应用，数形结合并分段讨论是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：设该商家购进的第一批纪念衫单价是元，则第二批纪念衫单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
则该商家购进的第一批纪念衫单价是元；
根据得：第一批数量为件，第二批为件，
设每件纪念衫的标价是元，
根据题意得：，
解得：，
则每件纪念衫的标价至少是元． 

【解析】设该商家购进的第一批纪念衫单价是元，则第二批纪念衫单价是元，根据购进了第二批这种纪念衫数量是第一批购进量的倍列出方程，求出方程的解即可得到结果；
根据得：第一批数量为件，第二批为件，设每件纪念衫的标价是元，由题意列出不等式，求出不等式的解集确定出的最小值即可．
此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
 

19.【答案】解：设阅读册书的人数为，由统计图可知：，
，
条形图中丢失的数据是，阅读书册数的众数是，中位数是；
该校名学生中课外阅读册书的学生人数为人，
答：该校名学生中课外阅读册书的学生人数是人；
设补查了人，
根据题意得，，
，
最多补查了人． 

【解析】本题考查条形统计图，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
设阅读册书的人数为，由统计中的信息列式计算即可；
该校名学生数课外阅读册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到结论；
设补查了人，根据题意列不等式即可得到结论．
 

20.【答案】解：
点在一次函数图象上，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为；
联立两函数解析式可得，解得或，
点坐标为，
结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，的取值范围为；
如图，设一次函数与轴交于点，

在中，令可求得，
，即，
． 

【解析】把点坐标代入一次函数解析式可求得的值，再代入反比例函数解析式可求得，则可求得反比例函数解析式；
联立两函数解析式，解方程组可求得点坐标，结合图象可求得满足条件的的取值范围；
设一次函数与轴交于点，可求得点坐标，利用可求得的面积．
本题主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明∽是本题的关键．
连接，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，可证是的切线；
由勾股定理可求，由锐角三角函数可求，可求，通过证明∽，可得，可求解．
 

22.【答案】解：当时，设，由图知可知，解得，
，
同理得，当时，
销售量与第天之间的函数关系式：；

；
整理得，；
当时，
的对称轴，
此时，在对称轴的右侧随的增大而增大
时，取最大值，则，
当时
的对称轴是
在时，取得最大值，此时，
当时
的对称轴为，
此时，在对称轴的左侧随的增大而减小
时，取最大值，的最大值是，
综上，文旦销售第天时，日销售利润最大，最大值是元． 

【解析】依据题意利用待定系数法易求得销售量与第天之间的函数关系式，
然后根据销售利润销售量售价进价，列出每天的销售利润与第天之间的函数关系式，
再依据函数的增减性求得最大利润．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
 

23.【答案】    

【解析】解：在中，，
，
，
，
点为边的中点，
，
点，为边，的中点，
是的中位线，
，
，，
在中，，
，
，
，
，所在直线相交所成的较小夹角为，
故答案为：，；

中结论仍然成立，证明：延长，相交于点，如图，

由旋转知，，
，，
，，
，，
，
∽，
，，
，
；

由题意，，，，
当点落在的延长线上时，的面积最大，最大值．
故答案为：．
先求出，，再求出，进而求出，即可得出结论；
先判断出∽，得出，，进而求出，即可得出结论；
当点落在的延长线上时，的面积最大，利用三角形面积公式求解即可．
本题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题．
 

24.【答案】解：，，，
，，，
设二次函数的解析式为，
将点的坐标代入，
，
，
二次函数的解析式为；
存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下：
，
对称轴为直线，
设直线的解析式为，
代入点、坐标可得：，
解得：，
直线的解析式为，
点，，
由两点距离公式可得，，，，
若使以点、、为顶点的三角形与相似，则有，
如图：当时，则有轴，
点；
如图：当时，
，
，
；
综上所述：点的坐标为或；
如图：作点关于轴的对称点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，分别与轴、抛物线的对称轴交于点、，此时的点、即为所求，即为动点所走过的最短路程，
，点为的中点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
，，
设直线的解析式为，
把点、坐标代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
当时，，
，，
点走过的最短路程为． 

【解析】设二次函数的解析式为，再将代入即可求解；
先求直线的解析式，分两种情况讨论：当时，则有轴，求出点；当时，由，可求；
作点关于轴的对称点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，分别与轴、抛物线的对称轴交于点、，此时的点、即为所求，即为动点所走过的最短路程，求出直线的解析式即可求、的坐标，在求出的长即可求最短距离．
本题是二次的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，轴对称求最短距离是解题的关键．