2024届高三数学一轮复习基础夯实练6：函数的概念及其表示

基础夯实练6  函数的概念及其表示

1．函数f(x)＝lg(x－2)＋的定义域是(　　)

A．(2，＋∞)   B．(2,3)

C．(3，＋∞)   D．(2,3)∪(3，＋∞)

2．(2023·三明模拟)已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤4}，则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是(　　)

A．f：x→y＝x＋1   B．f：x→y＝ex

C．f：x→y＝x2   D．f：x→y＝|x|

3．已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为(　　)

A．1  B.  C.  D.

4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　)

5．函数y＝1＋x－的值域为(　　)

A.   B.

C.   D.

6．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)，若函数f(x)的值域是(－∞，4]，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(1，]   D．(1，)

7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是(　　)

A．y＝－x＋1   B．

C．y＝ln|x|   D．y＝

8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有(　　)

A．f(x2)＝|x|   B．f(x2)＝x

C．f(cos x)＝x   D．f(ex)＝x

9．已知函数f(x)＝则f ＝________.

10．已知f()＝x－1，则f(x)＝________.

11．已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为__________．

12．已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．

13．(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于(　　)

A．－1  B．1  C．－  D.

14．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于(　　)

A．2  B.  C．1  D．0

15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是(　　)

A．(－2,2)   B．(－2,0)∪(0,2)

C．[－2,2]   D．(－，)

16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是(　　)

A．F(F(x))＝0

B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立

C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立

D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形

参考答案

1．D　2.B　3.C　4.A　5.B

6．B　[当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x＋3

＝－(x－1)2＋4，

当x＝1时，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，

所以当x≤2时，函数f(x)的值域是(－∞，4]，

所以当x>2时，函数f(x)＝6＋logax的值域为(－∞，4]的子集，

当a>1时，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上单调递增，

此时f(x)>f(2)＝6＋loga2>6，不符合题意，

当0<a<1时，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上单调递减，

此时f(x)<f(2)＝6＋loga2≤4，即loga2≤－2，

所以a2≥，可得≤a<1，

所以实数a的取值范围是.]

7．ABD　[对A，函数的定义域和值域都是R；

对B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；

对C，函数的定义域为

(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；

对D，因为函数

y＝＝2＋，

所以函数的定义域为

(－∞，2)∪(2，＋∞)，

值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

所以ABD是定义域和值域相同的函数．]

8．AD　[令t＝x2(t≥0)，f(t)＝|±|＝，故A符合函数定义；

令t＝x2(t≥0)，f(t)＝±，设t＝4，f(t)＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B不符合函数定义；

设t＝cos x，当t＝时，x可以取±等无数多个值，故C不符合函数定义；

令t＝ex(t>0)，f(t)＝ln t，故D符合函数定义．]

9.　10.x2－1(x≥0)　11.[－1,0]

12．1或－3　[－，－1]

13．B　[∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，

∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①

当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②

②×2－①，得3f(1)＝3，

解得f(1)＝1.]

14．B　[作出函数f(x)的图象，如图所示．

因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，

所以即－2<a≤3，

此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，

f(a＋2)＝，

所以a＝，即a2＝a＋2，

解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，

则f(a)＝.]

15．B　[当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，

当x<0时，若－x－1≥1－x2，

则x≤－1，

所以M(x)＝

若M(n)<1，

则当－1<n<1时，

1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，

即－1<n<0或0<n<1，

当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，

解得－2<n≤－1或1≤n<2，

综上，－2<n<0或0<n<2.]

16．BD　[∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－，x2＝0，x3＝，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A，B(0,1)，C，恰好△ABC为等边三角形，故D正确．]