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第6章《实数》——【期末复习】七年级数学下册章节知识点梳理（人教版）
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这是一份第6章《实数》——【期末复习】七年级数学下册章节知识点梳理（人教版），文件包含第6章实数教师版docx、第6章实数学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
知识点01：算术平方根
（1）定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
（2）表示方法
a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫被开方数．
（3）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根为；
②0的算术平方根是0，即=0；
③负数没有算术平方根．
知识点02：平方根
（1）平方根的概念
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根．
【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．
（2）开平方的概念
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
知识点03：平方根与算术平方根的区别
（1）定义不同；
（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；
（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示；
（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．
知识点04：立方根的概念和性质
（1）定义：
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．
（2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．
（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．
知识点05：开立方
（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；
②；
③=a．
（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根．
知识点06：平方根和立方根的区别和联系
（1）被开方数的取值范围不同
在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数．
（2）运算后的数量不同
一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．
知识点07：无理数
（1）无限不循环小数叫做无理数．如：，π，0.1225486…等．
（2）判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．
（3）常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如，，1+等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式
出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．
知识点08：实数的概念和分类
（1）概念：有理数与无理数统称为实数．
（2）实数按定义分类：
按正负分类：
知识点09：实数与数轴
（1）实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
（2）在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
知识点10：相反数与绝对值
相反数：数a的相反数是-a．
绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即．
知识点11：实数的运算
实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算．
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•澄海区期末）在实数：3.14159，，1.010 010 001，，π，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【易错点拨】根据无理数的意义判断即可．
【规范解答】解：＝4，
无理数有，π，共有2个，
故选：B．
【题后反思】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键，注意0.1010010001是有限小数，属于有理数．
2．（2分）（2022秋•桐柏县期末）判断下列说法错误的是（ ）
A．2是8的立方根B．±4是64的立方根
C．﹣是﹣的立方根D．（﹣4）3的立方根是﹣4
【易错点拨】根据立方根的定义进行判断，即可解答．
【规范解答】解：A．正确；
B.4是64的立方根，故错误；
C．正确；
D．（﹣4）3＝﹣64，﹣64的立方根是﹣4，正确；
故选：B．
【题后反思】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
3．（2分）（2022春•突泉县期末）通过估算，估计+1的值应在（ ）
A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间
【易错点拨】依据被开方数越大对应的算术平方根越大进行比较即可．
【规范解答】解：∵16＜19＜25，
∴4＜＜5，
∴5＜+1＜6．
故选：D．
【题后反思】本题主要考查的是估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．
4．（2分）（2022春•岚山区期末）在实数3.1415926，3.，，﹣，0，π中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【易错点拨】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【规范解答】解：3.1415926是有限小数，属于有理数；
3.是循环小数，属于有理数；
﹣是分数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
无理数有，π，共有2个．
故选：B．
【题后反思】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
5．（2分）（2022春•黔西南州期末）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0B．C．D．3.14
【易错点拨】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【规范解答】解：A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、3.14是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：C．
【题后反思】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
6．（2分）（2022春•定远县校级期末）下列实数：﹣π，﹣，，，2.4040040004…，3.14159中无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【易错点拨】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【规范解答】解：﹣是分数，属于有理数；
＝2是整数，属于有理数；
3.14159是有限小数，属于有理数；
无理数有﹣π，，2.4040040004…，共有3个．
故选：C．
【题后反思】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
7．（2分）（2022春•满洲里市期末）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．1.01001D．
【易错点拨】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【规范解答】解：A、＝5，5是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、1.01001是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【题后反思】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
8．（2分）（2022春•濠江区期末）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．0.6C．D．
【易错点拨】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【规范解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．0.6是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．＝2，2是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
【题后反思】本题考查了无理数的定义和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括三方面的数：①开方开不尽的根式，②含有π的，③一些有规律的数，如（两个1之间依次多一个0）等．
9．（2分）（2022春•潢川县期末）下列关于的说法错误的是（ ）
A．a可以是负数B．a可以是0
C．是a的算术平方根D．不可能是负数
【易错点拨】根据当a≥0时，≥0，即可解答．
【规范解答】解：A、a可以是非负数，故A符合题意；
B、a可以是0，故B不符合题意；
C、是a的算术平方根，故C不符合题意；
D、不可能是负数，故D不符合题意；
故选：A．
【题后反思】本题考查了实数，熟练掌握的双重非负性是解题的关键．
10．（2分）（2022春•威县校级期末）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0.03B．C．D．3π
【易错点拨】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【规范解答】解：A．0.03是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．＝9，9是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．＝﹣2，﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．3π是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【题后反思】本题考查了无理数的定义和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括三方面的数：①开方开不尽的根式，②含有π的，③一些有规律的数，如（两个1之间依次多一个0）等．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•武威期末）已知实数a的立方根是4，则的平方根是 ±2 ．
【易错点拨】根据立方根的定义求出a，再根据算术平方根求出，然后根据平方根的定义解答．
【规范解答】解：∵a的立方根是4，
∴a＝64，
∴＝＝8，
∴的平方根是±，
即±2．
故答案为：±2．
【题后反思】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，平方根的定义，熟记概念是解题的关键．
12．（2分）（2021春•莆田期末）已知：（x2+y2+1）2﹣4＝0，则x2+y2＝ 1 ．
【易错点拨】首先根据条件可以得到（x2+y2+1）2＝4，然后两边同时开平方即可求出x2+y2的值．
【规范解答】解：∵（x2+y2+1）2﹣4＝0，
∴（x2+y2+1）2＝4，
∵x2+y2+1＞0，
∴x2+y2+1＝2，
∴x2+y2＝1．
故答案为：1．
【题后反思】本题考查了平方根的定义，形如x2＝a的方程的解法，一般直接开方计算即可．此题也利用整体代值的思想．
13．（2分）（2017春•雨花区校级期末）计算：＝ 3 ．
【易错点拨】原式利用平方根，立方根定义计算即可求出值．
【规范解答】解：原式＝9﹣3﹣3＝3，
故答案为：3
【题后反思】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2分）（2022秋•南京期末）计算：+＝ 0 ．
【易错点拨】原式利用算术平方根及立方根定义计算即可得到结果．
【规范解答】解：原式＝﹣2+2＝0，
故答案为：0
【题后反思】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2分）（2022春•黔西南州期末）如图，面积为4的正方形ABCD的边AB在数轴上，且点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝1时，数轴上点B'表示的数是 2.5或﹣0.5 ．
【易错点拨】根据正方形ABCD的面积为4得到边长AD＝AB＝2，移动方向不确定，应该分类讨论，即可得到点B'表示的数．
【规范解答】解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴边长AD＝AB＝2，
∴点A表示的数为3，
当正方形沿数轴向右移动时，
当S＝1时，AD×AB′＝1，
∴AB′＝，
∴点B'表示的数为2.5；
当正方形沿数轴向左移动时，
当S＝1时，BC×A′B＝1，
∴A′B＝，
∴BB′＝1.5，
∴点B'表示的数为1﹣1.5＝﹣0.5；
故答案为：2.5或﹣0.5．
【题后反思】本题考查了实数与数轴，体现了分类讨论的思想，移动方向不确定，分类讨论是解题的关键．
16．（2分）（2022春•泸县期末）我们规定，对于任意实数m，符号[m]表示小于或等于m的最大整数，例如：[2，1]＝2，[2]＝2，[﹣2，1]＝﹣3，若对于整数x有[]＝﹣5，则符合题意的x的值是 ﹣3 ．
【易错点拨】根据[m]表示小于或等于m的最大整数，列出不等式组，可得答案．
【规范解答】解：由x有[]＝﹣5，
得：，
解得：﹣3≤x＜﹣，
符合题意的x是﹣3．
故答案为：﹣3．
【题后反思】本题考查了不等式组问题，利用[m]表示小于或等于m的最大整数得出不等式组是解题关键．
17．（2分）（2022春•扎赉特旗校级期末）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则|a﹣b|﹣|b+a|＝ 2b ．
【易错点拨】根据点在数轴的位置，知：a＜0，b＞0，且a的绝对值大于b的绝对值．根据实数的运算法则，知：a﹣b＜0，a+b＜0．再根据绝对值的性质进行化简即可．
【规范解答】解：根据数轴得：
a﹣b＜0，a+b＜0，
∴原式＝b﹣a+b+a
＝2b．
故答案为：2b．
【题后反思】此题主要考查了实数与数轴以及绝对值的性质与化简，正确得出a﹣b和a+b的符号是解题关键．
18．（2分）（2019春•东西湖区期末）计算：的值是 3 ．
【易错点拨】根据算术平方根的定义计算可得．
【规范解答】解：＝3，
故答案为：3．
【题后反思】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
19．（2分）（2022春•恩施市期末）2﹣的绝对值的相反数是 2﹣ ．
【易错点拨】利用相反数，绝对值的性质计算即可．
【规范解答】解：根据题意得：﹣|2﹣|＝﹣（﹣2）＝2﹣，
故答案为：2﹣
【题后反思】此题考查了实数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
20．（2分）（2019春•麟游县期末）设[x）表示小于x的最大整数，如[3）＝2，[﹣1.2）＝﹣2，则下列结论中正确的是 ③④ ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）＝0；②[x）﹣x的最小值是0；③[x）﹣x的最小值是﹣1；④存在实数x，使[x）﹣x＝﹣0.7成立．
【易错点拨】利用题中的新定义判断即可．
【规范解答】解：①[0）＝﹣1，故本选项错误；
②[x）﹣x＜0，所以[x）﹣x的最小值是﹣1，取不到0，故本选项错误；
③[x）﹣x＜0，所以[x）﹣x的最小值是﹣1，故本选项正确；
④存在实数x，使[x）﹣x＝﹣0.7成立．例如x＝﹣0.3时，故本项正确．
故答案为：③④．
【题后反思】此题考查了新定义的运用和实数的大小比较，正确理解[x）表示小于x的最大整数是解本题的关键．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•裕华区期末）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
【易错点拨】（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可；
（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为5am，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
【规范解答】解：（1）＝20（m），4×20＝80（m），
答：原来正方形场地的周长为80m．
（2）设这个长方形场地宽为3am，则长为5am．
由题意有：3a×5a＝315，
解得：a＝，
∵3a表示长度，
∴a＞0，
∴a＝，
∴这个长方形场地的周长为 2（3a+5a）＝16a＝16（m），
∵80＝16×5＝16×＞16，
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
【题后反思】本题主要考查了算术平方根的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
22．（6分）（2022秋•渭滨区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【易错点拨】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当＝12时，②当＝12时，分别计算即可．
【规范解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵＝12，＝6，＝4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵＝6，
∴分两种情况讨论：
①当＝12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当＝12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
【题后反思】本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．
23．（6分）（2022春•大观区校级期末）阅读下列材料：
∵＜＜，即1＜＜2，
∴的整数部分为1，小数部分为﹣1．
请根据材料提示，进行解答：
（1）的整数部分是 3 ，小数部分是 ﹣3 ．
（2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求2m+n﹣2的值．
（3）已知：10+＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请直接写出a，b的值．
【易错点拨】（1）估算的大小即可；
（2）估算无理数和的大小，进而确定m，n的值，再代入计算即可；
（3）估算无理数的大小，进而确定10+的大小，确定a，b的值即可．
【规范解答】解：（1）∵＜＜，即3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是﹣3，
故答案为：3，﹣3；
（2）∵2＜＜3，4＜＜5，
∴m＝﹣2，n＝4，
∴2m+n﹣2
＝2（﹣2）+4﹣2
＝2﹣4+4﹣2
＝0；
（3）∵5＜＜6，
∴15＜10+＜16，
∴10+的整数部分是15，小数部分是10+﹣15＝﹣5，
∵10+＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，
∴a＝15，b＝﹣5．
【题后反思】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．
24．（6分）（2022春•宁明县期末）如图所示，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．
（1）请你写出数x的值；
（2）求（x﹣）2的立方根．
【易错点拨】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；
（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可．
【规范解答】解：（1）∵点A、B分别表示1，，
∴AB＝﹣1，即x＝﹣1；
（2）∵x＝﹣1，
∴原式＝＝，
∴1的立方根为1．
【题后反思】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．
25．（6分）（2021春•肥西县期末）把下列各数分别填入相应的横线上．
﹣5、|﹣|、0、﹣3.14、、﹣12、﹣、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）
（1）整数： ﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6） ．
（2）分数： |﹣|、﹣3.14、、+1.99 ．
（3）无理数： 、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） ．
【易错点拨】根据整数、分数、无理数的定义进行判断．
【规范解答】解：（1）整数包括正整数、负整数和0．所以属于整数的有：﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6）．
（2）分数还包括有限小数和循环小数，所以属于分数的有：|﹣|、﹣3.14、、+1.99．
（3）无限不循环小数是无理数，所以属于无理数的有：、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
答案为：（1）﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6），
（2）|﹣|、﹣3.14、、+1.99，
（3）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
【题后反思】此题考查实数的分类，解答此题要从概念出发，并要深刻理解．有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数．
26．（6分）（2021春•厦门期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+9的立方根是3，求2（a+b）的平方根．
【易错点拨】根据平方根的定义求出a的值，再根据立方根的定义求出b的值，最后计算2（a+b）的值，即可解答．
【规范解答】解：由已知得，2a﹣1＝9
解得：a＝5，
又3a+b+9＝27
∴b＝3，
2（a+b）＝2×（3+5）＝16，
∴2（a+b）的平方根是：±＝±4．
【题后反思】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
27．（8分）（2021春•合肥期末）已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图：
（1）比较a﹣b与a+b的大小；
（2）化简|b﹣a|+|a+b|．
【易错点拨】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小；
（1）用作差法比较大小；
（2）根据绝对值的性质去掉绝对值号，再进行加减．
【规范解答】解：由图可知，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
（1）∵（a﹣b）﹣（a+b）＝a﹣b﹣a﹣b＝﹣2b＞0，
∴a﹣b＞a+b；
（2）因为b﹣a＜0，a+b＜0，
所以|b﹣a|+|a+b|
＝a﹣b﹣a﹣b
＝﹣2b．
【题后反思】本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，实数的大小比较，根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键，作差法是常用的比较大小的方法，要熟练掌握并灵活运用．
28．（8分）（2022春•克拉玛依区校级期末）已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
（1）求这个正数是多少？
（2）的平方根又是多少？
【易错点拨】（1）依据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可解得即可求出m；
（2）利用（1）的结果及平方根的定义即可求解．
【规范解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：（m+3）+（2m﹣15）＝0
解得m＝4．
则这个正数是（m+3）2＝49．
（2）＝3，则它的平方根是±．
【题后反思】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
29．（8分）（2022春•同安区期末）如图，长方形ABCD的面积为225cm2，长和宽的比为5：3．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为75cm2的圆（π取3），请通过计算说明理由．
【易错点拨】根据长方形的长宽比设长方形的长DC为5xcm，宽AD为3xcm，结合长方形ABCD的面积为225cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积为75cm2，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比较即可得出结论．
【规范解答】解：设长方形的长AB为5xcm，宽AD为3xcm．
由题意，得 5x•3x＝225，解得：x2＝15，
∵x＞0，
∴x＝，
∴AB＝5cm，AD＝3cm．
∵圆的面积为75cm2，设圆的半径为rcm，
∴πr2＝75，解得：r＝5．
∴两个圆的直径总长为20cm．
∵5＜20．
∴不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆．
【题后反思】本题考查了解一元二次方程、圆的面积以及实数大小比较，解题的关键是求出圆的半径以及长方形的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合长方形（或圆）的面积公式求出其长边长（或半径）是关键
知识点01：算术平方根
（1）定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
（2）表示方法
a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫被开方数．
（3）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根为；
②0的算术平方根是0，即=0；
③负数没有算术平方根．
知识点02：平方根
（1）平方根的概念
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根．
【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．
（2）开平方的概念
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
知识点03：平方根与算术平方根的区别
（1）定义不同；
（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；
（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示；
（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．
知识点04：立方根的概念和性质
（1）定义：
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．
（2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．
（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．
知识点05：开立方
（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；
②；
③=a．
（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根．
知识点06：平方根和立方根的区别和联系
（1）被开方数的取值范围不同
在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数．
（2）运算后的数量不同
一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．
知识点07：无理数
（1）无限不循环小数叫做无理数．如：，π，0.1225486…等．
（2）判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．
（3）常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如，，1+等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式
出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．
知识点08：实数的概念和分类
（1）概念：有理数与无理数统称为实数．
（2）实数按定义分类：
按正负分类：
知识点09：实数与数轴
（1）实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
（2）在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
知识点10：相反数与绝对值
相反数：数a的相反数是-a．
绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即．
知识点11：实数的运算
实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算．
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•澄海区期末）在实数：3.14159，，1.010 010 001，，π，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【易错点拨】根据无理数的意义判断即可．
【规范解答】解：＝4，
无理数有，π，共有2个，
故选：B．
【题后反思】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键，注意0.1010010001是有限小数，属于有理数．
2．（2分）（2022秋•桐柏县期末）判断下列说法错误的是（ ）
A．2是8的立方根B．±4是64的立方根
C．﹣是﹣的立方根D．（﹣4）3的立方根是﹣4
【易错点拨】根据立方根的定义进行判断，即可解答．
【规范解答】解：A．正确；
B.4是64的立方根，故错误；
C．正确；
D．（﹣4）3＝﹣64，﹣64的立方根是﹣4，正确；
故选：B．
【题后反思】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
3．（2分）（2022春•突泉县期末）通过估算，估计+1的值应在（ ）
A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间
【易错点拨】依据被开方数越大对应的算术平方根越大进行比较即可．
【规范解答】解：∵16＜19＜25，
∴4＜＜5，
∴5＜+1＜6．
故选：D．
【题后反思】本题主要考查的是估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．
4．（2分）（2022春•岚山区期末）在实数3.1415926，3.，，﹣，0，π中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【易错点拨】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【规范解答】解：3.1415926是有限小数，属于有理数；
3.是循环小数，属于有理数；
﹣是分数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
无理数有，π，共有2个．
故选：B．
【题后反思】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
5．（2分）（2022春•黔西南州期末）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0B．C．D．3.14
【易错点拨】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【规范解答】解：A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、3.14是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：C．
【题后反思】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
6．（2分）（2022春•定远县校级期末）下列实数：﹣π，﹣，，，2.4040040004…，3.14159中无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【易错点拨】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【规范解答】解：﹣是分数，属于有理数；
＝2是整数，属于有理数；
3.14159是有限小数，属于有理数；
无理数有﹣π，，2.4040040004…，共有3个．
故选：C．
【题后反思】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
7．（2分）（2022春•满洲里市期末）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．1.01001D．
【易错点拨】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【规范解答】解：A、＝5，5是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、1.01001是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【题后反思】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
8．（2分）（2022春•濠江区期末）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．0.6C．D．
【易错点拨】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【规范解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．0.6是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．＝2，2是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
【题后反思】本题考查了无理数的定义和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括三方面的数：①开方开不尽的根式，②含有π的，③一些有规律的数，如（两个1之间依次多一个0）等．
9．（2分）（2022春•潢川县期末）下列关于的说法错误的是（ ）
A．a可以是负数B．a可以是0
C．是a的算术平方根D．不可能是负数
【易错点拨】根据当a≥0时，≥0，即可解答．
【规范解答】解：A、a可以是非负数，故A符合题意；
B、a可以是0，故B不符合题意；
C、是a的算术平方根，故C不符合题意；
D、不可能是负数，故D不符合题意；
故选：A．
【题后反思】本题考查了实数，熟练掌握的双重非负性是解题的关键．
10．（2分）（2022春•威县校级期末）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0.03B．C．D．3π
【易错点拨】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【规范解答】解：A．0.03是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．＝9，9是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．＝﹣2，﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．3π是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【题后反思】本题考查了无理数的定义和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括三方面的数：①开方开不尽的根式，②含有π的，③一些有规律的数，如（两个1之间依次多一个0）等．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•武威期末）已知实数a的立方根是4，则的平方根是 ±2 ．
【易错点拨】根据立方根的定义求出a，再根据算术平方根求出，然后根据平方根的定义解答．
【规范解答】解：∵a的立方根是4，
∴a＝64，
∴＝＝8，
∴的平方根是±，
即±2．
故答案为：±2．
【题后反思】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，平方根的定义，熟记概念是解题的关键．
12．（2分）（2021春•莆田期末）已知：（x2+y2+1）2﹣4＝0，则x2+y2＝ 1 ．
【易错点拨】首先根据条件可以得到（x2+y2+1）2＝4，然后两边同时开平方即可求出x2+y2的值．
【规范解答】解：∵（x2+y2+1）2﹣4＝0，
∴（x2+y2+1）2＝4，
∵x2+y2+1＞0，
∴x2+y2+1＝2，
∴x2+y2＝1．
故答案为：1．
【题后反思】本题考查了平方根的定义，形如x2＝a的方程的解法，一般直接开方计算即可．此题也利用整体代值的思想．
13．（2分）（2017春•雨花区校级期末）计算：＝ 3 ．
【易错点拨】原式利用平方根，立方根定义计算即可求出值．
【规范解答】解：原式＝9﹣3﹣3＝3，
故答案为：3
【题后反思】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2分）（2022秋•南京期末）计算：+＝ 0 ．
【易错点拨】原式利用算术平方根及立方根定义计算即可得到结果．
【规范解答】解：原式＝﹣2+2＝0，
故答案为：0
【题后反思】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2分）（2022春•黔西南州期末）如图，面积为4的正方形ABCD的边AB在数轴上，且点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝1时，数轴上点B'表示的数是 2.5或﹣0.5 ．
【易错点拨】根据正方形ABCD的面积为4得到边长AD＝AB＝2，移动方向不确定，应该分类讨论，即可得到点B'表示的数．
【规范解答】解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴边长AD＝AB＝2，
∴点A表示的数为3，
当正方形沿数轴向右移动时，
当S＝1时，AD×AB′＝1，
∴AB′＝，
∴点B'表示的数为2.5；
当正方形沿数轴向左移动时，
当S＝1时，BC×A′B＝1，
∴A′B＝，
∴BB′＝1.5，
∴点B'表示的数为1﹣1.5＝﹣0.5；
故答案为：2.5或﹣0.5．
【题后反思】本题考查了实数与数轴，体现了分类讨论的思想，移动方向不确定，分类讨论是解题的关键．
16．（2分）（2022春•泸县期末）我们规定，对于任意实数m，符号[m]表示小于或等于m的最大整数，例如：[2，1]＝2，[2]＝2，[﹣2，1]＝﹣3，若对于整数x有[]＝﹣5，则符合题意的x的值是 ﹣3 ．
【易错点拨】根据[m]表示小于或等于m的最大整数，列出不等式组，可得答案．
【规范解答】解：由x有[]＝﹣5，
得：，
解得：﹣3≤x＜﹣，
符合题意的x是﹣3．
故答案为：﹣3．
【题后反思】本题考查了不等式组问题，利用[m]表示小于或等于m的最大整数得出不等式组是解题关键．
17．（2分）（2022春•扎赉特旗校级期末）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则|a﹣b|﹣|b+a|＝ 2b ．
【易错点拨】根据点在数轴的位置，知：a＜0，b＞0，且a的绝对值大于b的绝对值．根据实数的运算法则，知：a﹣b＜0，a+b＜0．再根据绝对值的性质进行化简即可．
【规范解答】解：根据数轴得：
a﹣b＜0，a+b＜0，
∴原式＝b﹣a+b+a
＝2b．
故答案为：2b．
【题后反思】此题主要考查了实数与数轴以及绝对值的性质与化简，正确得出a﹣b和a+b的符号是解题关键．
18．（2分）（2019春•东西湖区期末）计算：的值是 3 ．
【易错点拨】根据算术平方根的定义计算可得．
【规范解答】解：＝3，
故答案为：3．
【题后反思】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
19．（2分）（2022春•恩施市期末）2﹣的绝对值的相反数是 2﹣ ．
【易错点拨】利用相反数，绝对值的性质计算即可．
【规范解答】解：根据题意得：﹣|2﹣|＝﹣（﹣2）＝2﹣，
故答案为：2﹣
【题后反思】此题考查了实数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
20．（2分）（2019春•麟游县期末）设[x）表示小于x的最大整数，如[3）＝2，[﹣1.2）＝﹣2，则下列结论中正确的是 ③④ ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）＝0；②[x）﹣x的最小值是0；③[x）﹣x的最小值是﹣1；④存在实数x，使[x）﹣x＝﹣0.7成立．
【易错点拨】利用题中的新定义判断即可．
【规范解答】解：①[0）＝﹣1，故本选项错误；
②[x）﹣x＜0，所以[x）﹣x的最小值是﹣1，取不到0，故本选项错误；
③[x）﹣x＜0，所以[x）﹣x的最小值是﹣1，故本选项正确；
④存在实数x，使[x）﹣x＝﹣0.7成立．例如x＝﹣0.3时，故本项正确．
故答案为：③④．
【题后反思】此题考查了新定义的运用和实数的大小比较，正确理解[x）表示小于x的最大整数是解本题的关键．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•裕华区期末）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
【易错点拨】（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可；
（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为5am，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
【规范解答】解：（1）＝20（m），4×20＝80（m），
答：原来正方形场地的周长为80m．
（2）设这个长方形场地宽为3am，则长为5am．
由题意有：3a×5a＝315，
解得：a＝，
∵3a表示长度，
∴a＞0，
∴a＝，
∴这个长方形场地的周长为 2（3a+5a）＝16a＝16（m），
∵80＝16×5＝16×＞16，
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
【题后反思】本题主要考查了算术平方根的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
22．（6分）（2022秋•渭滨区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【易错点拨】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当＝12时，②当＝12时，分别计算即可．
【规范解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵＝12，＝6，＝4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵＝6，
∴分两种情况讨论：
①当＝12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当＝12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
【题后反思】本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．
23．（6分）（2022春•大观区校级期末）阅读下列材料：
∵＜＜，即1＜＜2，
∴的整数部分为1，小数部分为﹣1．
请根据材料提示，进行解答：
（1）的整数部分是 3 ，小数部分是 ﹣3 ．
（2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求2m+n﹣2的值．
（3）已知：10+＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请直接写出a，b的值．
【易错点拨】（1）估算的大小即可；
（2）估算无理数和的大小，进而确定m，n的值，再代入计算即可；
（3）估算无理数的大小，进而确定10+的大小，确定a，b的值即可．
【规范解答】解：（1）∵＜＜，即3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是﹣3，
故答案为：3，﹣3；
（2）∵2＜＜3，4＜＜5，
∴m＝﹣2，n＝4，
∴2m+n﹣2
＝2（﹣2）+4﹣2
＝2﹣4+4﹣2
＝0；
（3）∵5＜＜6，
∴15＜10+＜16，
∴10+的整数部分是15，小数部分是10+﹣15＝﹣5，
∵10+＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，
∴a＝15，b＝﹣5．
【题后反思】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．
24．（6分）（2022春•宁明县期末）如图所示，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．
（1）请你写出数x的值；
（2）求（x﹣）2的立方根．
【易错点拨】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；
（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可．
【规范解答】解：（1）∵点A、B分别表示1，，
∴AB＝﹣1，即x＝﹣1；
（2）∵x＝﹣1，
∴原式＝＝，
∴1的立方根为1．
【题后反思】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．
25．（6分）（2021春•肥西县期末）把下列各数分别填入相应的横线上．
﹣5、|﹣|、0、﹣3.14、、﹣12、﹣、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）
（1）整数： ﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6） ．
（2）分数： |﹣|、﹣3.14、、+1.99 ．
（3）无理数： 、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） ．
【易错点拨】根据整数、分数、无理数的定义进行判断．
【规范解答】解：（1）整数包括正整数、负整数和0．所以属于整数的有：﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6）．
（2）分数还包括有限小数和循环小数，所以属于分数的有：|﹣|、﹣3.14、、+1.99．
（3）无限不循环小数是无理数，所以属于无理数的有：、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
答案为：（1）﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6），
（2）|﹣|、﹣3.14、、+1.99，
（3）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
【题后反思】此题考查实数的分类，解答此题要从概念出发，并要深刻理解．有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数．
26．（6分）（2021春•厦门期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+9的立方根是3，求2（a+b）的平方根．
【易错点拨】根据平方根的定义求出a的值，再根据立方根的定义求出b的值，最后计算2（a+b）的值，即可解答．
【规范解答】解：由已知得，2a﹣1＝9
解得：a＝5，
又3a+b+9＝27
∴b＝3，
2（a+b）＝2×（3+5）＝16，
∴2（a+b）的平方根是：±＝±4．
【题后反思】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
27．（8分）（2021春•合肥期末）已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图：
（1）比较a﹣b与a+b的大小；
（2）化简|b﹣a|+|a+b|．
【易错点拨】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小；
（1）用作差法比较大小；
（2）根据绝对值的性质去掉绝对值号，再进行加减．
【规范解答】解：由图可知，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
（1）∵（a﹣b）﹣（a+b）＝a﹣b﹣a﹣b＝﹣2b＞0，
∴a﹣b＞a+b；
（2）因为b﹣a＜0，a+b＜0，
所以|b﹣a|+|a+b|
＝a﹣b﹣a﹣b
＝﹣2b．
【题后反思】本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，实数的大小比较，根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键，作差法是常用的比较大小的方法，要熟练掌握并灵活运用．
28．（8分）（2022春•克拉玛依区校级期末）已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
（1）求这个正数是多少？
（2）的平方根又是多少？
【易错点拨】（1）依据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可解得即可求出m；
（2）利用（1）的结果及平方根的定义即可求解．
【规范解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：（m+3）+（2m﹣15）＝0
解得m＝4．
则这个正数是（m+3）2＝49．
（2）＝3，则它的平方根是±．
【题后反思】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
29．（8分）（2022春•同安区期末）如图，长方形ABCD的面积为225cm2，长和宽的比为5：3．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为75cm2的圆（π取3），请通过计算说明理由．
【易错点拨】根据长方形的长宽比设长方形的长DC为5xcm，宽AD为3xcm，结合长方形ABCD的面积为225cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积为75cm2，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比较即可得出结论．
【规范解答】解：设长方形的长AB为5xcm，宽AD为3xcm．
由题意，得 5x•3x＝225，解得：x2＝15，
∵x＞0，
∴x＝，
∴AB＝5cm，AD＝3cm．
∵圆的面积为75cm2，设圆的半径为rcm，
∴πr2＝75，解得：r＝5．
∴两个圆的直径总长为20cm．
∵5＜20．
∴不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆．
【题后反思】本题考查了解一元二次方程、圆的面积以及实数大小比较，解题的关键是求出圆的半径以及长方形的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合长方形（或圆）的面积公式求出其长边长（或半径）是关键
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