【期末常考压轴题】湘教版七年级数学下册-专题02 解题技巧专题：解二元一次方程组压轴题五种模型 全攻略讲学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30198" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30198 \h 1
\l "_Tc10684" 【考点一 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc10684 \h 1
\l "_Tc14340" 【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc14340 \h 4
\l "_Tc22099" 【考点三 二元一次方程组的特殊解法】 PAGEREF _Tc22099 \h 8
\l "_Tc3620" 【考点四 新定义型二元一次方程组问题】 PAGEREF _Tc3620 \h 13
\l "_Tc9188" 【考点五 已知二元一次方程组的解求参数】 PAGEREF _Tc9188 \h 15
\l "_Tc2745" 【过关检测】 PAGEREF _Tc2745 \h 17
【典型例题】
【考点一 解二元一次方程组】
例题：（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）解二元一次方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
∴二元一次方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，准确计算．
【变式训练】
1．（2022春·山东青岛·八年级统考期末）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：；
（2），
得：，
得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
2．（2022春·山西太原·八年级校考阶段练习）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
故原方程组的解是：；
（2），
得：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
3．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）解二元一次方程组．
(1)； (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先整理方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
整理得：，
得，
解得：，
把代入解得：，
所以方程组的解为；
（2）解：
由①得③
把③代入②得：，
解得：
把代入①解得：，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，利用消元思想，消元的方法为：代入消元法和加减消元法．
【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】
例题：（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6
(2)
【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；
（2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解．
（1）
解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
（2）
解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
把，代入原方程组，
可得：，
由②得：③，
由①+③，可得：，
∴，
把代入①，可得：，
解得：，
∴原方程组的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）七年级期中）甲、乙两人解同一个方程组 , 甲因看错①中的得解为，乙因抄错了②中的解得，请求出原方程组的解．
【答案】．
【分析】把代入②得出，求出，把代入①得出，求出，得出方程组，①②得出，求出，再把代入①求出即可．
【详解】解：，
把代入②得：，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
即方程组为，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
2．（2022·吉林长春·七年级期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)加减消元法，第四步
(2)见解析
【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．
（2）按照解方程组的步骤求解即可
（1）
根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
（2）
方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
3．（2022·河北唐山·二模）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
【考点三 二元一次方程组的特殊解法】
例题：（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
【答案】
【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到1+2y＝9，解得y＝4，再将y＝4代入①得：x＝7，得到原方程组的解为：．
【详解】解：，
将①代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入①得：x＝7，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．
【变式训练】
1．（2022·重庆璧山·七年级期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可．
解得：，∴，解这个二元一次方程组即可．
（1）
∵方程组的解是，
∴，
解得： ；
（2）
对于，令，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
2．（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知，满足，且求的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于，的方程组再求的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值；
丙同学：先解方程组，再求的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
【答案】我最欣赏乙同学的解法，，理由见解析
【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出的值，分析简便的原因．
【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，
，
得：，
整理得：，
代入得：，
解得：，
这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的方法是解题的关键．消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．（2022·江西·上饶市广信区第七中学七年级期中）阅读探索：
知识累计：解方程组
解：设，，原方程组可变为
解方程组得：，即，解得．所以此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：
(2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据换元法设，，进行求解计算即可；
（2）根据换元法设进行求解计算即可．
（1）
解：设，，原方程组可变为：
解得：
即
解得：
（2）
解：设可得解得：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
【考点四 新定义型二元一次方程组问题】
例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义的含义可得从而可得答案；
（2）根据新定义的含义构建方程组再解方程组即可．
（1）
解：∵a※b= ax- by，2※2 =-3，
∴
∴
（2）
∵3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，
∴
整理得：，
①+②得： ③
把③代入①得：
把x=5代入②得：
∴
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，代数式的求值，二元一次方程组的解法，理解新定义的含义，构建二元一次方程组是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）对于、我们定义一种新运算“”：，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算已知：、，求的值．
【答案】3.5
【分析】根据已知条件得出方程组，求出、的值，根据题意得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵、，
∴，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）对x，y定义一种新运算，规定： ，（其中a，b均为非零常数），例如： ．
(1)求与的值（用含a，b的代数式表示）；
(2)若（c为非零的常数），求代数式7a+5b的值．
【答案】(1)，；
(2)5
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）结合（1）得到a，b的方程组，用含c的式子表示a，b，再代入计算即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）∵，
∴，
得：
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查新定下的列代数式，加减消元法，掌握加减消元法是解题的关键．
【考点五 已知二元一次方程组的解求参数】
例题：（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则k＝_____．
【答案】2
【分析】根据题意，先解关于的二元一次方程组，再根据x，y互为相反数，列式求解即可得到值．
【详解】解：，
由②①得，
由①②得，
x，y互为相反数，
，解得．
故答案为：2
【点睛】本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解方程组的步骤是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东韶关实验中学七年级期中）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是______．
【答案】1
【分析】根据题意，得出，即可求解．
【详解】解： ，
得，
∵的解满足，
∴，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
2．（2022·山东济宁·七年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝5的解相同，则k的值是 _____．
【答案】##
【分析】先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k.
【详解】解：，
①+②，得4（x+y）=3k+3，
把x+y=5代入，得20=3k+3，
解得k=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，理清方程组中未知数的系数特点是解决本题的关键．
3．（2022·山东淄博·七年级期中）关于x，y的二元一次方程组有正整数解，则正整数m的值是_______．
【答案】4
【分析】首先把m看作常数，解方程组分别表示x，y， 再根据y的值，可知2m+9是34的约数，列式可得m=4，代入x的值后符合题意，从而得出结论．
【详解】解：原方程为 ，
②×2－①×3得：，
∴，
把代入①得： ，
∵x，y是正整数，
∴2m+9=1，2，17，34，
∴m= -4，-3.5，4，12.5
∵m为正整数，
∴m=4，
当m= 4时，x=3，符合题意，
则正整数m的值是4；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解， 二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·重庆·七年级西南大学附中校考期末）方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】解：，
①+②得，，
∴，
把代入①得，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
2．（2023春·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将方程组中上式减去下式可得，结合，可求出，的值，再代入方程组中即可求出的值．
【详解】解：关于，的二元一次方程组，上式减去下式得，
∴，解方程组得，，代入方程得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的值求参数，掌握解二元一次方程组的方法（代入法，加减法）是解题的关键．
3．（2022春·全国·八年级专题练习）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】B
【分析】先将看作已知量，解二元一次方程组，用表示出，再结合，为整数，得出的整数解，然后把的整数解代入，得出的解，再把方程组的整数解代入，即可得出的值．
【详解】解：，
由，可得：，
∵，为整数，
∴当为时，为整数，
∴把的值代入，可得：，，，，，，，，
∴把的整数解代入，可得：，，，，，，，，
∴方程组的整数解为，，，，
把方程组的整数解代入，可得：，，，．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m的代数式表示y．
4．（2022春·全国·八年级专题练习）我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用换元法，令，得到：，即：，再解二元一次方程组即可．
【详解】解：在二元一次方程组中，令，
则，
∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴，
解得：．
故选C．
【点睛】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握换元法解方程组，是解题的关键．
5．（2022春·全国·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组，以下结论正确的有( )个．
①不论k取什么实数，的值始终不变；
②存在实数k，使得；
③当时，；
④当时，方程组的解也是方程的解．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由得：，故①正确；由得：，可得时，，故②正确；解出方程组可得，从而得到，此时，故③正确；求出此时方程组的解再代入，可得④错误，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
即不论k取什么实数，的值始终不变，故①正确；
由得：，
∴当，即时，，故②正确；
，解得：，
∴，
当时，，
解得：，故③正确；
当时，，
而，
即不是的解，故④错误，
∴正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程组（解中含有参数）是解决本题的关键．
二、填空题
6．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）已知，用x表示y：______；用y表示x：______．
【答案】
【分析】将二元一次方程看作关于x和关于y的一元一次方程求解即可．
【详解】解：2x﹣3y+6＝0，
移项得：﹣3y＝﹣2x﹣6，
系数化为1得：．
2x﹣3y+6＝0，
移项得：2x＝3y﹣6，
系数化为1得：．
故答案为：，．
【点睛】本题考查解二元一次方程，解题关键是将二元一次方程看作关于其中一个未知数的一元一次方程求解．
7．（2022春·八年级单元测试）若关于、的二元一次方程组的解、为为相反数，则__．
【答案】
【分析】方程组两方程相加表示出，根据求出的值即可．
【详解】解：，
①②得：，
由题意得：，
可得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
8．（2022·全国·七年级专题练习）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为________；
【答案】，，，
【分析】利用加减消元法消去x表示出y，根据y为整数，确定出整数m的值即可．
【详解】解：，
得：，
解得：，
由y为整数，得到，，，，
∵m为整数，
∴，，，，
故答案为：4，，，．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
9．（2022·全国·七年级专题练习）已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
【答案】
【分析】由题意可得，即可求方程组的解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．
10．（2022秋·山东聊城·七年级统考期末）已知关于，的方程组，下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；其中正确的有________．（请填上你认为正确的结论序号）
【答案】①③④
【分析】将两个二元一次方程相加可得x+y＝2+a，①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可，②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案；③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可，④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系即可
【详解】解：关于x，y的二元一次方程组，
（1）+（2）得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a，
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确；
②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确；
③方程组，解得，，∴x+2y＝2a+1+2-2a＝3，因此③是正确的；
④方程组，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x-y＝3（4-x-3y），即；，因此④是正确的，
故答案为①③④．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解答本题的关键．
三、解答题
11．（2022春·陕西西安·八年级西安市第三中学校联考阶段练习）解方程组：
(1)； (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）用代入法求解即可；
（2）用加减法求解即可．
【详解】（1）解： ，
将②代入①得：，
把代入②得，
∴原方程组的解为；
（2）解：整理得：，
①-②，得，解得：，
把代入①，得，解得：，
∴方程组的解是．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法或加减法解二元一次方程组是解题的关键．
12．（2022春·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）直接利用加减消元法解此二元一次方程组即可；
（2）先将原方程组变形为，然后再利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
由，得，
将代入，得，
，
原方程组的解是：；
（2）解：原方程组可化为：，
由，得，
；
将代入，得，
；
故原方程组的解是：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的加减消元法是解答此题的关键．
13．（2022春·全国·八年级期末）（1）解方程组：；
（2）已知关于x，y的方程组，该方程组的解x、y的值互为相反数，求a的值和方程组的解．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得；
（2）先根据相反数的定义可得，再利用加减消元法解方程组可得方程组的解，然后将方程组的解代入方程即可得的值．
【详解】解：（1），
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
则方程组的解为；
（2）、的值互为相反数，
，
由题意得：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
将，代入方程得：，
解得，
综上，，方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
14．（2021·浙江嘉兴·统考二模）解方程组：，小海同学的解题过程如下：
解：由②得，③
把③代入①得，
把代入③得，
∴此方程组的解为．
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，（1），（2），（3），（4），过程见解析
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没有变号，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），（4），
正确的解答过程：
由②得：y=5-x③
把③代入①得：3x-10+2x=6，
解得：x=，
把x=代入③得：y=，
∴此方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
15．（2022春·安徽六安·七年级统考阶段练习）已知关于的二元一次方程组．
(1)若，请写出方程①的所有正整数解；
(2)由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为，求的值及原方程组的解．
【答案】(1)，
(2)；；
【分析】（1）将代入方程，分别令，，求出对应的的值即可；
（2）将代入②式可求得的值；将代入①式可求得的值；从而得出原方程组，进一步解方程组即可；
【详解】（1）解：将代入方程可得：
当时，；
当时，；
当时，，没有符合条件的解；
∴该方程的正整数解为：，
（2）解：将代入②得：
解得：
将代入①得：
解得：
∴原方程组为
得：
解得：
得：
解得：
∴原方程组的解为：
【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程的关系是解决本题的关键．
16．（2022春·广东茂名·八年级校联考期中）甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
(1)求a与b的值；
(2)求的值．
【答案】(1)a＝−1，b＝10；
(2)0
【分析】（1）将代入方程组的第②个方程，将代入方程组的第①个方程，联立求出a与b的值；
（2）将a与b的值代入即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，将代入②，
得：−12＋b＝−2；
即b＝10；
将代入①，
得：5a＋20＝15，
即a＝−1；
（2）将a＝−1，b＝10代入，
可得：原式．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
17．（2022春·全国·八年级专题练习）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）．
例如，当时，．
(1)当时， ；
(2)若，求a和b的值；
(3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1） 由题意可得 ：，再将代入即可求解；
（2）由题意可得 ：，求出方程组的解即可；
（3）由题意可得 ：，求解方程组即可．
【详解】（1）当时，，
（2），
，
解得：，
∴a和b的值分别为，；
（3），
，
，
化简得：，
解得：，
∴a和b的值分别为，．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．
18．（2022春·全国·八年级期末）嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下．
解：将方程②变形，得．
将①代入③，得．
解这个方程，得．
把代入①，得．所以原方程组的解为
嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题．
(1)解方程组
①把方程①代入方程②，则方程②变为______________________；
②原方程组的解为____________________；
(2)解方程组
【答案】(1)①；②
(2)原方程组的解为
【分析】（1）结合已知条件，可知把方程①代入方程②，则方程②变为，进行求解即可；
（2）利用条件中给出的“整体换元法”，先将①进行变形为，再进行整体换元解方程即可．
【详解】（1）解：把方程①代入方程②，则方程②变为，
解得：，
将代入①，得，
∴原方程组的解为；
（2）由题意可知：①×2得：，
将③代入②，得，
解得：，
将代入①，得，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程解法中的特殊方法：整体换元法，重点在于找出“整体”进行消元，部分题型需要先进行转化，再进行整体换元．