【期末满分攻略】2022-2023学年人教版七年级数学下册讲学案-专题07 实数相关运算（3大类型）（原卷版+解析版）

              专题07  实数相关运算（3大类型）

考点1 平方根、算术平方有关运算

考点2 实数的化简求值

考点3  实数应用

【考点1 平方根、算术平方有关运算】

【典例1】（2022春•东莞市校级期中）若一个正数x的平方根分别是2a﹣3和a﹣9，求这个正数x．

【解答】解：∵一个正数x的平方根分别是2a﹣3和a﹣9，

∴2a﹣3+a﹣9＝0，

解得：a＝4，

2a﹣3＝2×4﹣3＝8﹣3＝5，

所以这个正数x＝52＝25

【变式1-1】（2022春•赣州期末）已知一个正数a的两个平方根分别是x+3和2x﹣15，求x和a的值．

【解答】解：由题意得，x+3＝﹣（2x﹣15），

解得x＝4，

a＝（4+3）2＝49，

∴x的值为4，a的值为49．

【变式1-2】（2022春•雨花区期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．

（1）求a和m的值；

（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．

【解答】解：（1）由题意得：a+6+2a﹣9＝0，

解得：a＝1，

∴m＝（a+6）2＝49．

（2）原方程为：x2﹣16＝0，

∴x2＝16，

解得：x＝±4．

【典例2】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．

【解答】解：根据题意，得a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，

解得a＝9，b＝10，

∴a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，

∴a+4b的平方根是±7．

【变式2-1】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．

（1）求a，b的值；

（2）求4a﹣6b的平方根．

【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3，

∴3b+3＝9，

解得b＝2，

∵3a+b的算术平方根为5，

∴3a+b＝25，

∵b＝2，

∴a＝，

（2）∵a＝，b＝2，

∴4a﹣6b＝，

∴4a﹣6b的平方根为．

【变式2-2】（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．

（1）求a、b的值；

（2）求ab+5的平方根．

【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．

∴2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，

解得a＝5，b＝4；

（2）当a＝5，b＝4时，ab+5＝25，

而25的平方根为±＝±5，

即ab+5的平方根是±5．

【变式2-3】（2022春•芜湖期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．

（1）求a，b的值；

（2）求a+b的平方根．

【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．

∴a＝12，b＝﹣3．

（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．

∴a+b＝12﹣3＝9．

∴a+b的平方根为＝±3．

【典例3】（2022春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+＝0．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）求的平方根．

【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+＝0，

∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，

解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；

（2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，

则＝

＝4，

故的平方根为：±2．

【变式3-1】（2022春•惠东县校级月考）已知．

（1）求x与y的值；

（2）求3x+2y的平方根．

【解答】解：（1）∵，

∴2y﹣8＝0，x﹣2＝0，

解得：x＝2，y＝4；

（2）3x+2y＝3×2+2×4＝14．

∵14的平方根为±，

∴3x+2y的平方根为．

【变式3-2】（2022春•枞阳县校级月考）若m，n满足等式（m﹣2）2+＝0．

（1）求m，n的值；

（2）求4m﹣3n的平方根．

【解答】解：（1）由题意得，m﹣2＝0，2n+6＝0，

解得：m＝4，n＝﹣3；

（2）4m﹣3n＝4×4﹣3×（﹣3）＝25．

∵25的平方根为±5，

∴4m﹣3n的平方根为±5．

【考点2 实数的化简求值】

【典例4】（2022•仙居县校级开学）计算：．

【解答】解：原式＝﹣+1+﹣4

＝﹣+﹣4+1

＝﹣3．

【变式4-1】（2022春•东莞市校级期中）计算：﹣+（﹣1）+2．

【解答】解：原式＝5﹣2+3﹣+2

＝6+．

【变式4-2】（2022春•东莞市校级期中）计算：﹣12020+﹣+|﹣2|．

【解答】解：原式＝﹣1+2﹣4+2﹣

＝﹣1﹣．

【变式4-3】（2022春•江津区校级期中）计算：

（1）（﹣1）2017﹣﹣||；

（2）．

【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2+2+2﹣

＝1﹣；

（2）原式＝2+0+2

＝4．

【变式4-4】（2022春•沙依巴克区校级期中）计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣3﹣2×3

＝﹣1﹣3﹣6

＝﹣10；

（2）原式＝2﹣2﹣（2﹣）+4

＝2﹣2﹣2++4

＝．

【考点3  实数应用】

【典例5】（2019春•温岭市期末）如图，用两个边长为cm的小正方形剪拼成一个大的正方形，

（1）则大正方形的边长是 　 　cm；

（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．

【解答】解：（1）大正方形的边长是＝4（cm）；

故答案为：4；

（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，

则2x•3x＝12，

解得：x＝，

3x＝3＞4，

所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为12cm2．

【变式5-1】（2022春•平潭县校级期末）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．

【解答】解：不能，

因为大正方形纸片的面积为（）2+（）2＝36cm2，

所以大正方形的边长为6cm，

设截出的长方形的长为3bcm，宽为2bcm，

则6b2＝30，

所以b＝（取正值），

所以3b＝3＝＞，

所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．

【变式5-2】（2022春•丹凤县期末）小丽想用一块面积为36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？为什么？

【解答】解：不同意，因为正方形的面积为36cm2，故边长为6cm，

设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，

长方形面积＝x⋅2x＝2x2＝20，解得x＝，

长为，

即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片．

1．（2022春•陇县期中）如果一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，求x和a的值．

【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，

∴2x﹣2+6﹣3x＝0，

∴x＝4，

∴2x﹣2＝2×4﹣2＝6，

又∵62＝36，

∴a＝36．

2．（2021秋•莱芜区期末）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6．

（1）求a的值；

（2）求这个数m．

【解答】解：（1）∵数m的两个不相等的平方根为a+2和3a﹣6，

∴（a+2）+（3a﹣6）＝0，

∴4a＝4，

解得a＝1；

（2）∴a+2＝1+2＝3，3a﹣6＝3﹣6＝﹣3，

∴m＝（±3）2＝9，

∴m的值是9．

3．（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．

（1）求a、b的值；

（2）求ab+5的平方根．

【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．

∴2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，

解得a＝5，b＝4；

（2）当a＝5，b＝4时，ab+5＝25，

而25的平方根为±＝±5，

即ab+5的平方根是±5．

4．（2022春•芜湖期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．

（1）求a，b的值；

（2）求a+b的平方根．

【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．

∴a＝12，b＝﹣3．

（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．

∴a+b＝12﹣3＝9．

∴a+b的平方根为＝±3．

5．（2021秋•永定区期末）已知|x﹣1|+＝0．

（1）求x与y的值；

（2）求x+y的算术平方根．

【解答】解：（1）∵|x﹣1|+＝0，而|x﹣1|≥0，≥0，

∴，

解得：；

（2）x+y＝1+3＝4．

∵4的平方根为±2，

∴x+y的算术平方根为2．

6．（2022春•重庆期中）计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式＝3﹣3+6

＝6；

（2）原式＝﹣1+10+2×0.5+﹣1

＝﹣1+10+1+﹣1

＝9+．

7．（2022春•鼓楼区校级期中）（1）计算：；

（2）计算：．

【解答】解：（1）原式＝1+4﹣3

＝2；

（2）原式＝2﹣﹣+﹣1

＝1﹣．

8．（2022春•龙马潭区月考）已知（x﹣1）2＝16，求x的值．

【解答】解：（x﹣1）2＝16，

由平方根的定义可得，x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，

解得x＝5或x＝﹣3，

答：x＝5或x＝﹣3．

9．（2022•杭州模拟）求x的值：25（x+2）2﹣36＝0．

【解答】解：移项得，25（x+2）2＝36，

∴（x+2）2＝，

∴x+2＝±，

∴x＝﹣2±，

∴x＝﹣或x＝﹣．

10．（2019春•遵义期中）解方程：

（x﹣3）2+1＝26；

【解答】解：（x﹣3）2+1＝26，

（x﹣3）2＝25，

x﹣3＝±5

∴x＝8或x＝﹣2

11.（2022秋•沈北新区期中）求下列各式中x的值：

﹣8（x﹣3）3＝27．

【解答】解：∵﹣8（x﹣3）3＝27，

∴．

∴x﹣3＝﹣．

∴x＝．

12.（2022秋•市北区期中）某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．

【解答】解：长方形花坛的宽为xm，长为2xm．

∵建一个面积为150m2的长方形花园，

∴2x•x＝150，

∴x2＝75，

∵x＞0，

∴x＝5，2x＝10，

∵正方形的面积为256m2，

∴正方形的边长为16m，

∵10＞16，

∴当长方形的边与正方形的边平行时，学校不能实现这个愿望．