2023年广东省东莞市中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省东莞市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年东莞市生产总值亿元，将亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一个几何体如图所示，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，直线，直线与，分别交于点，，过点作于点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  年月，某区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：，，，，，，，这组数据的中位数、众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D.

8.  如图，是的直径，若，，则长等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为，则凸轮的周长等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，是半圆的直径，，动点从点出发，沿的路径以每秒的速度运动一周设运动时间为，则下列图象能大致刻画与的关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  单项式的系数是______ ．

12.  因式分解：______．

13.  不等式组的整数解为______ ．

14.  如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则的高度是______ 米结果保留根号．

15.  如图，正方形的边长为，点是上一动点不与点，重合，过点作交正方形外角的平分线于点，交于点，连接下列结论：；；；的面积的最大值为其中正确的是______ 填写正确结论的序号

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在▱中，．
尺规作图：作边的中垂线，交边于点要求：保留作图痕迹，不写作法；
连接，若，求的度数．

19.  本小题分
年月日至日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．

表中______，______，______；
请补全频数分布直方图；
若某班恰有名女生和名男生的初赛成绩均为分，从这名学生中随机选取名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．

20.  本小题分
如图，▱放置在平面直角坐标系中，已知点，，，点在反比例函数的图象上．
直接写出点坐标，并求反比例函数的表达式；
将▱向上平移得到▱，使点在反比例函数的图象上，与反比例函数图象交于点连接，求的长及点的坐标．

21.  本小题分
某超市销售、两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多元，用元购买款保温杯的数量与用元购买款保温杯的数量相同．
、两款保温杯销售单价各是多少元？
由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个元，款保温杯的进价为每个元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

22.  本小题分
如图，是的直径，弦，垂足为，在上有点满足，交于点，过点作的平行线交的延长线于点，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若：：，，求的直径；
在的条件下，的长为______ ．

23.  本小题分
如图，四边形中，，，，，，点、同时从点出发，沿射线向右匀速移动．已知点移动速度是点移动速度的倍，以为一边在的上方作等边设点移动距离为．
点在四边形的边上时，______；点与点重合时，______；
求出使成为等腰三角形的的值；
求与四边形重叠部分的面积与之间的函数关系式，并直接写出的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是；
故选：．
根据互为相反数的两数之和为和只有符号不同的两个数是相反数进行判断即可．
本题考查相反数．熟练掌握相反数的定义，是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看，是一个矩形．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故选：．
根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法与乘法等知识点进行作答即可求得答案．
本题考查了合并同类项，同底数的幂的除法与乘法，积的乘方等多个运算性质，需同学们熟练掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图
于点，
，
，
，
．
故选：．
根据垂直的定义得出，由平行线的性质得到，由余角的定义即可得出结论．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：数据出现了次，最多，
众数为，
排序后为：，，，，，，，
故位于中间位置的数是，
中位数是．
故选：．
利用中位数及众数的定义确定答案即可．
本题考查了计算一组数据的中位数、众数的知识，掌握找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，且，
解得：，且．
故选：．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
此题考查了根的判别式：：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
在中，，
，
故选：．
根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】
解：为正三角形，
，，
，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长．
故选：．
由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到，，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．
此题考查了弧长的计算以及等边三角形的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：利用图象可得出：当点在半径上运动时，；
在弧上运动时，；
在上运动时，．
故选：．
在半径上运动时，；在弧上运动时，；在上运动时，，也是是二次函数；即可得出答案．
此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出与时间之间的函数关系是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：单项式的系数是．
故答案为：．
根据单项式的有关概念解答．
本题主要考查了单项式的系数，正确把握相关定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式先用提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】， 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以该不等式组的整数解为，，
故答案为：，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意知，米，
米，米，
米，
故答案为：．
如图，由题意知，，则，，根据，计算求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

15.【答案】 

【解析】解：在上取点，使，连接，

，，
，
又，
，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；
，
，
，故正确；
，
，
又，
，
，
，
，
，
而不一定等于，
不一定等于，故错误；
≌，
，
设，则，
当时，取最大值为，
面积的最大值为，故错误，
故答案为：．
在上取点，使，连接，然后证明和全等，再利用全等三角形的性质即可得出答案．
本题主要考查正方形的性质和全等三角形的应用，关键是要能作出辅助线，构造出全等的三角形，要牢记全等三角形的性质．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】利用零指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的性质，负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的性质，负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，直线，点即为所求；


四边形是平行四边形，
，
，
，

垂直平分线段，
，
，
． 

【解析】根据要求作出图形即可；
证明，推出，可得结论．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：，，；
补全频数分布直方图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为． 

【解析】

【分析】
用抽取的总人数减去其他三个组的频数得出的值，再由频率的定义求出，即可；
由中求得的的值，补全频数分布直方图即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：由题意得：，，，
故答案为：，，；
补全频数分布直方图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【点评】
本题考查的是频数分布表，频数分布直方图，用树状图法求概率等知识．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．  

20.【答案】解：点，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
点坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
反比例函数的表达式为：；
▱向上平移得到▱，
点的横坐标与点的横坐标相等，都是，
点在反比例函数的图象上，
点的坐标为，
，
，，
点的纵坐标，
点的横坐标为，
点的坐标为． 

【解析】由点，，，得，，，即可求解点坐标，得反比例函数的表达式为：；
▱向上平移得到▱，得点的横坐标与点的横坐标相等，都是，由点在反比例函数的图象上，得点的坐标为，，，，可得点的纵坐标，即可求解点的坐标为．
本题考查了反比例函数关系式求法，图象上点的坐标特征，平行四边形平移特征，解题关键是理解对应点平移的距离相等．
 

21.【答案】解：设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：款保温杯销售单价是元，款保温杯销售单价是元；
设这批保温杯的销售利润是元，购进款保温杯个，则购进款保温杯个，
款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，
，
解得，
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
时，取最大值，最大值是元，
此时，
答：购进款保温杯个，购进款保温杯个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元，可得：，解方程并检验得款保温杯销售单价是元，款保温杯销售单价是元；
设这批保温杯的销售利润是元，购进款保温杯个，则购进款保温杯个，根据款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，得，
根据题意得：，由一次函数性质得购进款保温杯个，购进款保温杯个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是元．
本题考查分式方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
 

22.【答案】 

【解析】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
是圆的切线；
解：连接，
：：，设，则，
，
，，
，
，
，
，
，，
设圆的半径为，则，
在中，，，，
由得，
解得：，
圆的直径为；
解：，
，
：：，
，
，
，，
∽，
，
，
，
．
根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质证得，即，即可证得是圆的切线；
设，则，根据垂径定理得出，进而得出，，根据勾股定理列出，即可求得，从而求得，，设圆的半径为，则，根据得，求得半径，就可以求得直径；
连接，通过证得∽，即可求得．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径．也考查了勾股定理和三角形相似的判定和性质．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图中，作于，则四边形是矩形．

，，
，
在中，，，
，
当等边三角形的高时，点想上，此时，
当点与重合时，，此时，
所以点在四边形的边上时，，点与点重合时，．
故答案为，．

注意到，故为等腰三角形只有三种情形：
当且在左侧时，，，
当且在右侧时，，，
当时，，，
综上所述，的值为或或．

当时，如图中，在四边形内部，所以的最大值为
当时，如图中，点、在线段上，与四边形重叠部分为四边形，

，
，
，
，
是直角三角形，
，的最大值为
当时，如图中，点在线段上，点在射线上，重叠部分是，

的最大值为，
综上所述，的最大值为；
如图中，作于，则四边形是矩形．当等边三角形的高时，点想上，此时，当点与重合时，，此时；
分三种情形：当且在左侧时，当且在右侧时，当时，分别构建方程即可解决问题；
分图，图，图三种情形解决问题．当时，如图中，在四边形内部，重叠部分就是；
当时，如图中，点、在线段上，与四边形重叠部分为四边形；
当时，如图中，点在线段上，点在射线上，重叠部分是；
本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、锐角三角函数、等腰三角形的判定和性质、多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．