不等式练习-2

不等式练习-2

一、选择题
1、已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
   A. a2>b2   B. lga>l   Ｃ.    D.
2、若 , 则下列结论不正确的是（ ）
   A．a2<b2    B. ab<b2    C.   D. |a|+|b|>|a+b|
3、设a+b<0,且b>0，则（ ）
A．b2>a2>ab   B.a2<b2<-ab   Ｃ. a2<-ab<b2   D. a2>-ab>b2
4、不等式 的解集为（ ）
A.(-∞,-1)(1,+∞)  B.(-∞,-2)(2,+∞) C.(-1,1)  D.(-2,2)
5、已知三个不等式：（ ）

（1）ab>0  （2） （3）bc>ad以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数为（ ）
   A．1    B. 2    C. 3    D. 4
6、已知实数x, y满足 ， 若x>0，则x的最小值为（ ）
   A. 2    B.4    C.6   D.8
7、已知不等式 的解集为（-∞，-1） （0，3），则实数a的值为（ ）
   A．-3    B. 3    C.–1    D.1
8、已知f(x)=3x+1, a,b (0,+ ∞), 若|x-1|<b,则 |f(x)-4|<a，则a,b之间的关系为（ ）
   A．3b≤a   B. 3a≤b   C.3b>a    D.3a≥b

二、填空题
1、不等式x(|x|-1)(x+2)<0的解集为         。
2、已知关于x的不等式 的解集为（-∞，1） （2，+∞），则不等式 的解集为         。
3、设当|x-2|＜a（a＞0）成立时，|x2-4|＜1也成立，则a的取值范围为          。
4、已知x+2y=4，且x≥0, ,则满足 的x的取值范围为           。

三、解答题
1、若x, y R+，且 ，求u=x+y的最小值
 

2、设函数f(x)=-4x+b，且不等式|f(x)|<c的解集为（-1，2）

（1）求b的值；（2）解关于x的不等式（4x+m）f(x)>0 (m R)
 

3、解不等式
 

4、已知实数a,b满足：关于x的不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R均成立（1）验证a=-2 , b=-8满足题意；（2）求出满足题意的实数a，b的值，并说明理由；（3）若对一切x>2，都有不等式x2+ax+b≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围。

5．解关于的不等式：．

6．设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果，求实数的取值范围．

7．求使恒成立的的最小值．

8．已知奇函数的定义域为全体实数，且当时，，问是否存在这样的实数，使得­对所有的均成立？若存在，则求出所有适合条件的实数；若不存在，试说明理由．

9．设，若，求证：

（1）且；（2）方程在内有两个实根．

10．对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：（)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择,方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1≤a≤3)．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用y质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．

(Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少；

(Ⅱ)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

不等式练习-2解析

1、解析： ,其中a,b可异号或其中一个为0，，应选D
2、解析：以认知已知不等式入手：
应选D
3、解析：取a=-2, b=1, 则a2=4, b2=1, ab=-2, -ab=2由此应选D
4、解析：注意到x R, x2=|x|2 ∴x2-|x|-2<0|x|2-|x|-2<0(|x|-2)(|x|+1)<0 |x|-2<0 |x|<2
5、解析：（2）

（1）、（3） （2）；（1）、（2） （3）；（2）、（3） （1）；故可以组成的正确命题3个，应选C

6、解析：当y=1时， ；当y≠1且y≠0时，由已知得

∴当y>1时 ≥4(当且仅当 时等号成立;当y<1且y≠0时, ，不合题意于是可知这里x的最小值为4, 应选B
7. 解析： x(x2-2x-a) ≤0(x≠0)∴由已知不等式的解集知x1=-1，x2=3为方程x2-2x-a=0的根∴由x1·x2=-a得a=3本题应选B
8、解析：为便于表述，令A={x| |x-1|<b}， B={x| |f(x)-4|<a}则A=（1-b，1+b）, 由题知A B，故有 由此得3b≤a，应选A

二、填空题：
1、分析：x(|x|-1)(x+2)<0 0<x<1 或-2<x<-1

2、分析：：(x-1)[(a-1)x+1]<0①

∴由已知解集得a-1<0且① 因此 x(x-2) ≥0(x≠0) x＜0或x≥2∴所求不等式的解集为（-∞，0）∪[2，+∞）
3、分析：设A={x| |x-2|＜a (a＞0) }, B={x| |x2-4|＜1}

则A=（2-a, 2+a）, 由题意得A B，注意到这里a＞0，∴由A B得
 
4、分析：由已知得



三、解答题
1、解：由 得：
∵y>4 ∴y-4>0
（当且仅当 时等号成立）∴ （当且仅当x=3且y=6时取得）
2、解：（1）由题设得|f(x)|<c |4x-b|<c①

 又已知|f(x)|<c的解为-1<x<2 ②  ∴由①②得 解得b=2

（2）由（1）得f(x)=-4x+2 ∴关于x的不等式（4x+m）f(x)>0(m R) (4x+m)(4x-2)<0 (m R) ③由比较 的大小为主线引发讨论：(i)当 即m＜-2时 由③解得 ； (ii) 当 ,即m= -2时, 不等式③无解；
(iii)当 ,即m＞-2时, 由③得 ∴ 当m<-2时解集为 ；当m=-2时,解集为ф；当m>-2时 , 原不等式解集为 。
3、解：原不等式 (x-2)[(a-1)x-(a-2)]>0 ①为确定两个因式的根的大小而讨论:注意到当a-1≠0时，
（1）当a=1时，原不等式 x-2>0 x>2

（2）当a≠1时 若0<a<1时，a-1<0， ∴由得①原不等式 若a>1时，a-1>0且 ∴由得原不等式 由（1）、（2）知当0<a<1时，原不等式解集为 当 a=1时，解集为（2，+∞）；当a>1时，解集为
4、解：（1）当a=-2,b=-8时，所给不等式左边=x2+ax+b|=|x2-2x-8|≤2|x2-2x-8|=|2x2-4x-16|=右边

∴此时所给不等式对一切x∈R成立
（2）注意到 2x2-4x-16=0 x2-2x-8=0 (x+2)(x-4)=0 x=-2或x=4 ∴当x=-2或x=4时|2x2-4x-16|=0 ∴在不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|中分别取x=-2，x=4得
（3）由已知不等式x2-2x-8≥(m+2)x-m-15 对一切x>2成立 x2-4x+7≥m(x-1)对一切x>2成立 ①   

令 ②  则（1） m≤g(x)的最小值
又当x>2时， （当且仅当 时等号成立）

∴g(x)的最小值为6（当且仅当x=3时取得） ③∴由②③得m≤2

5． 解：原不等式等价于

（1）当；（2）当；（3）当

6． 解：M ［1，4］有两种情况:其一是M=，此时Δ＜0；

其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围.

设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)

(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］

(2)当Δ=0时，a=－1或2.

当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］．

(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2．设f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4即，解得  2＜a＜，∴M［1，4］时，的范围是(－1，)

7． 解  由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2≤a2(x+y)，即2≤(a2－1)(x+y)① ∴x，y＞0，∴x+y≥2②

当且仅当x=y时，②中有等号成立，比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是 

8． 解：因为在R上为奇函数，又在上是增函数，所以在R上也是增函数，且，因为

所以

故

要使不等式对任意恒成立，只要大于函数的最大值即可  令，则求函数的最大值．

，此时

9． 证明：（I）因为，所以．由条件，消去，得；由条件，消去，得，．故．（II）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得．又因为而所以方程在区间与内分别有一实根．故方程在内有两个实根．

10． 解：（Ⅰ）设方案甲与方案乙的用水量分别为与，由题设有，解得，由得方案乙初次用水量为3，第二次用水量满足方程，解得，故，即两种方案的用水量分别为19与．因为当时，，即，故方案乙的用水量较少．

（Ⅱ）设初次与第二次清晰的用水辆分别为与，类似（Ⅰ）得

于是．当为定值时，

，当且仅当 时等号成立，此时（不合题意，舍去），或（0．8，0．99）将 代入（*）式得，故时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量是

，当时，，故是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）．这说明，随着的值的增加，最少用水总量增加．