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2022年广西玉林市中考数学试卷（解析版）
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这是一份2022年广西玉林市中考数学试卷（解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广西玉林市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．（3分）5的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
2．（3分）下列各数中为无理数的是（ ）
A． B．1.5 C．0 D．﹣1
3．（3分）今年我市高中计划招生52300人，将数据52300用科学记数法表示是（ ）
A．0.523×105 B．5.23×103 C．5.23×104 D．52.3×103
4．（3分）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（ ）
A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）
A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm
7．（3分）垃圾分类利国利民．某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：
①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率
②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表
③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比
正确统计步骤的顺序应该是（ ）
A．②→③→① B．②→①→③ C．③→①→② D．③→②→①
8．（3分）若x是非负整数，则表示﹣的值的对应点落在如图数轴上的范围是（ ）
A．① B．② C．③ D．①或②
9．（3分）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y1，y2分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是（ ）
A．兔子和乌龟比赛路程是500米
B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C．兔子比乌龟多走了50米
D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
10．（3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（ ）
A．互相平分 B．互相垂直
C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
11．（3分）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．（3分）计算：2÷（﹣2）＝ ．
14．（3分）计算：3a﹣a＝ ．
15．（3分）已知：α＝60°，则α的余角是 °．
16．（3分）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 ．
17．（3分）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
18．（3分）如图，点A在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：
①A（b，b）
②当b＝2时，k＝4
③m＝
④S四边形AOCB＝2b2
则所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分．解答应写出证明过程或演算步骤（含相应的文字说明）．将解答写在答题卡上．
19．（6分）计算：20220++|﹣|﹣sin30°．
20．（6分）解方程：＝．
21．（8分）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝∠CAD．若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD与△ACD全等．
问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？ （填“全等”或“不全等”），理由是 ；
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD的概率．
22．（8分）为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：
87 99 86 89 91 91 95 96 87 97
91 97 96 86 96 89 100 91 99 97
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
a
1
3
b
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
c
d
解决问题：
（1）直接写出上面表格中的a，b，c，d的值；
（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；
（3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．
24．（8分）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
（1）求两次购买龙眼各是多少吨？
（2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
26．（12分）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．
2022年广西玉林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．（3分）5的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：5的倒数是．
故选：A．
【点评】本题主要考查了倒数的定义．注意一个数与它的倒数符号相同．
2．（3分）下列各数中为无理数的是（ ）
A． B．1.5 C．0 D．﹣1
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【解答】解：A、是无理数，因此选项A符合题意；
B、1.5是有限小数，属于有理数，不是无理数，因此选项B不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，不是无理数，因此选项C不符合题意；
D、﹣1是整数，属于有理数，不是无理数，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．（3分）今年我市高中计划招生52300人，将数据52300用科学记数法表示是（ ）
A．0.523×105 B．5.23×103 C．5.23×104 D．52.3×103
【分析】将较大的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可．
【解答】解：52300＝5.23×104，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．
4．（3分）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（ ）
A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
【分析】俯角是向下看的视线与水平线的夹角，直接根据定义进行判断即可．
【解答】解：从热气球A看一栋楼底部C的俯角是∠DAC．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握俯角的定义是关键．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
【解答】解：这个几何体的主视图如下：
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前提．
6．（3分）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）
A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm
【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
7．（3分）垃圾分类利国利民．某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：
①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率
②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表
③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比
正确统计步骤的顺序应该是（ ）
A．②→③→① B．②→①→③ C．③→①→② D．③→②→①
【分析】根据统计调查的一般过程判断即可．
【解答】解：正确统计步骤的顺序应该是：整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表，绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比，从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率，即正确统计步骤的顺序应该是：②→③→①，
故选：A．
【点评】本题考查的是扇形统计图，统计调查的一般过程：①问卷调查法﹣﹣﹣﹣﹣收集数据；②列统计表﹣﹣﹣﹣﹣整理数据；③画统计图﹣﹣﹣﹣﹣描述数据．
8．（3分）若x是非负整数，则表示﹣的值的对应点落在如图数轴上的范围是（ ）
A．① B．② C．③ D．①或②
【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝1，
则表示﹣的值的对应点落在如图数轴上的范围是②．
故选：B．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y1，y2分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是（ ）
A．兔子和乌龟比赛路程是500米
B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C．兔子比乌龟多走了50米
D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个选项中的结论是否正确．
【解答】解：A、“龟兔再次赛跑”的路程为500米，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、乌龟在途中休息了35﹣30＝5（分钟），兔子在途中休息了50﹣10＝40（分钟），兔子比乌龟多休息了35分钟，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、兔子和乌龟同时从起点出发，都走了500米，原说法错误，故此选项符合题意；
D、比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，能够从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键．
10．（3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（ ）
A．互相平分 B．互相垂直
C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，
【解答】解：如图，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
故选：D．
【点评】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理以及正方形的性质，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
11．（3分）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别求出平移或翻折后的解析式，将点（2，0）代入可求解．
【解答】解：①向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣2）2，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故①符合题意；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故②符合题意；
③向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝x2﹣4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故③符合题意；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣x2+4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故④符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求出平移或翻折后的解析式是解题的关键．
12．（3分）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到A点，黑跳棋跳到F点，可得结论．
【解答】解：∵红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，
∴红跳棋每过6秒返回到A点，
2022÷6＝337，
∴经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点，
∵黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，
∴黑跳棋每过18秒返回到A点，
2022÷18＝112•••6，
∴经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点，
连接AE，过点F作FM⊥AE，
由题意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，
∴∠FAE＝30°，
在Rt△AFM中，AM＝AF＝，
∴AE＝2AM＝2，
∴经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是2．
故选：B．
【点评】本题考查了正六边形和两动点运动问题，根据方向和速度确定经过2022秒钟后两枚跳棋的位置是解本题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．（3分）计算：2÷（﹣2）＝ ﹣1 ．
【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案．
【解答】解：2÷（﹣2）
＝﹣（2÷2）
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．
14．（3分）计算：3a﹣a＝ 2a ．
【分析】根据合并同类项的法则进行解答即可．
【解答】解：3a﹣a＝2a．
故答案为：2a．
【点评】此题考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键．
15．（3分）已知：α＝60°，则α的余角是 30 °．
【分析】根据如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角即可得出答案．
【解答】解：90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了余角和补角，掌握如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角是解题的关键．
16．（3分）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 1 ．
【分析】先求出弧长BD＝CD+BC，再根据扇形面积公式：S＝lR（其中l为扇形的弧长，R是扇形的半径）计算即可．
【解答】解：由题意的长＝CD+BC＝1+1＝2，
S扇形ABD＝••AB＝×2×1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是记住扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长），求出的长＝CD+BC＝2是解题的关键．
17．（3分）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 △ABD，△ACD，△BCD ．
【分析】由网格利用勾股定理分别求解OA，OB，OC，OD，OE，根据三角形的外心到三角形顶点的距离相等可求解．
【解答】解：由图可知：
OA＝，
OB＝，
OC＝，
OD＝，
OE＝，
∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，
故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．
【点评】本题主要考查三角形外接圆与外心，勾股定理，求得OA＝OB＝OC＝OD≠OE是解题的关键．
18．（3分）如图，点A在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：
①A（b，b）
②当b＝2时，k＝4
③m＝
④S四边形AOCB＝2b2
则所有正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】①根据菱形的性质和勾股定理计算点A的坐标；
②根据①中的坐标，直接将b＝2代入即可解答；
③计算点B的坐标，代入一次函数的解析式可解答；
④根据菱形的面积＝底边×高可解答．
【解答】解：如图，
①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，
∴C（0，﹣2b），
∴OC＝2b，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB＝OC＝OA＝2b，
∵A与B关于x轴对称，
∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，
∴OD＝＝b，
∴A（b，b）；
故①不正确；
②当b＝2时，点A的坐标为（2，2），
∴k＝2×2＝4，
故②正确；
③∵A（b，b），A与B关于x轴对称，
∴B（b，﹣b），
∵点B在直线y＝mx﹣2b上，
∴bm﹣2b＝﹣b，
∴m＝，
故③正确；
④菱形AOCB的面积＝AB•OD＝2b•b＝2b2，
故④不正确；
所以本题结论正确的有：①②③；
故答案为：②③．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了坐标与图形性质，勾股定理，关于x轴对称，菱形的性质等知识，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分．解答应写出证明过程或演算步骤（含相应的文字说明）．将解答写在答题卡上．
19．（6分）计算：20220++|﹣|﹣sin30°．
【分析】利用零指数幂和特殊角的三角函数值进行化简，可求解．
【解答】解：原式＝1+2+﹣＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，利用零指数幂和特殊角的三角函数值化简是解题的关键．
20．（6分）解方程：＝．
【分析】根据解分式方程的一般步骤解出方程，检验，即可得到答案．
【解答】解：方程两边同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
检验，当x＝﹣1时，2（x﹣1）＝﹣4≠0，
所以原分式方程的解为x＝﹣1．
【点评】本题考查的是解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，注意解分式方程时，一定要检验．
21．（8分）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝∠CAD．若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD与△ACD全等．
问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？ 全等 （填“全等”或“不全等”），理由是 三边对应相等的两个三角形全等 ；
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD的概率．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可；
（2）先画树状图或列表，再根据所得的结果再判断△ABD≌△ACD的概率即可．
【解答】解：（1）在△ABD和△ACD中，
，
∴，△ABD≌△ACD（SSS）．
故答案为：全等，三边对应相等的两个三角形全等；
（2）树状图：
所有可能出现的结果（①②）（①③）（②①）（②③）（③①）（③②）共有六种等可能的情况，符合条件的有（①②）（①③）（②①）（③①）有四种，
令△ABD≌△ACD为事件A，则P（A）＝．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和随机事件的概率，熟练掌握相关判定定理和求概率的方法是解答本题的关键．
22．（8分）为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：
87 99 86 89 91 91 95 96 87 97
91 97 96 86 96 89 100 91 99 97
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
a
1
3
b
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
c
d
解决问题：
（1）直接写出上面表格中的a，b，c，d的值；
（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；
（3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
【分析】（1）根据20名学生的成绩的具体数据求出a、b，根据众数的定义求出c，根据中位数的定义求出d；
（2）根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率；
（3）根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
【解答】解：（1）∵91分的有4人，97分的有3人，
∴a＝4，b＝3，
∵91分的人数最多，
∴众数为91，即c＝91，
d＝＝93，
综上所述，a＝4，b＝3，c＝91，d＝93；
（2）成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为：×100%＝50%；
（3）估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：1500×50%＝750（人）．
【点评】本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．
【分析】（1）连接OD，由题可知，D已经是圆上一点，欲证EF为切线，只需证明∠ODF＝90°即可；
（2）连接BC，根据勾股定理求出BC，进而根据三角形的中位线定理可得OH的长，从而得DH的长，由等角的正切可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD．
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠ODA＝∠EAD．
∴OD∥AE．
∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接BC，交OD于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，
∴∠OHB＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥BC，
∴CH＝BC＝4，
∵CH＝BH，OA＝OB，
∴OH＝AC＝3，
∴DH＝5﹣3＝2，
∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，
∴四边形ECHD是矩形，
∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2，
∴AE＝6+2＝8，
∵∠DAB＝∠DAE，
∴tan∠DAB＝tan∠DAE＝＝＝．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，角平分线的定义，切线的判定等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一定的代表性．
24．（8分）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
（1）求两次购买龙眼各是多少吨？
（2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【分析】（1）设第一次购买龙眼x吨，则第二次购买龙眼（21﹣x）吨，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（21﹣y）吨龙眼加工成龙眼干，根据题意列出一元一次不等式，解一元一次不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）设第一次购买龙眼x吨，则第二次购买龙眼（21﹣x）吨，
由题意得：0.4x+0.3（21﹣x）＝7，
解得：x＝7，
∴21﹣x＝21﹣7＝14（吨），
答：第一次购买龙眼7吨，则第二次购买龙眼14吨；
（2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（21﹣y）吨龙眼加工成龙眼干，
由题意得：10×0.2y+3×0.5（21﹣y）≥39，
解得：y≥15，
∴至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉，
答：至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉．
【点评】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意找出题目中的相等关系和不等关系是解决问题的关键．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
【分析】（1）根据矩形的性质可得∠ADE＝∠ABF，∠∠DAE+∠BAE＝90°，结合题干AF⊥AE可得∠BAF+∠BAE＝90°，进而可得∠DAE＝∠BAF，进而可得△ADE∽△ABF，利用相似三角形的性质可得BF的长度；
（2）先根据AG∥CE，GC∥AE进而可得四边形AGCE是平行四边形，通过勾股定理可得GF2、EF2、AE2，再过点G作GM⊥AF于点M，易得△MGF∽△AEF，进而利用相似三角形的性质可得GM的长，即可得GM＝GB，进而可得GF是∠AFB的角平分线，最后利用角平分线得性质可得EA＝EC，即可得平行四边形AGCE是菱形．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAF+∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ADE∽△ABF，
∴，即，
∴BF＝2a，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AG∥CE，
∵GC∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
∴AG＝CE＝8﹣a，
∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，
在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，
在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，
在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，
如图，过点G作GM⊥AF于点M，
∴GM∥AE，
∴△MGF∽△AEF，
∴，
∴，
∴＝，
∴GM＝a，
∴GM＝BG，
又∵GM⊥AF，GB⊥FC，
∴GF是∠AFB的角平分线，
∴EA＝EC，
∴平行四边形AGCE是菱形．
解法二：∵AG∥CE，CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AG＝CE，
∵AB＝CD，
∴BG＝DE＝a，
∴tan∠EFC＝＝＝，
∴EC＝a+2＝8﹣a
∴a＝3，
∴AE＝＝5，
∴AE＝CE＝5，
∴四边形AGCE是菱形．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、菱形的判定、矩形性质等，解题关键是熟练掌握相关性质与判定．
26．（12分）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．
【分析】（1）把点B（2，0）代入y＝﹣2x2+bx+c中，再由对称轴是直线x＝列方程，两个方程组成方程组可解答；
（2）当△POD是等边三角形时，点P在OD的垂直平分线上，所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P，计算OD≠PD，可知△POD不可能是等边三角形；
（3）分种情况：①当PC∥x轴时，△CPM∽△BHM时，根据PH的长列方程可解答；②②如图3，△PCM∽△BHM，过点P作PE⊥y轴于E，证明△PEC∽△COB，可得结论．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）△POD不可能是等边三角形，理由如下：
如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，
∵C（0，4），D是OD的中点，
∴E（0，1），
当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1，
2x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍），
∴P（，1），
∴OD≠PD，
∴△POD不可能是等边三角形；
（3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，
分两种情况：
①如图2，△CMP∽△BMH，
∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，
∴tan∠OBC＝tan∠PCM，
∴＝＝＝＝2，
∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），
∵PH＝PM+MH，
∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，
解得：t1＝0，t2＝1，
∴P（1，4）；
②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，
过点P作PE⊥y轴于E，
∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，
∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠EPC，
∴△PEC∽△COB，
∴＝，
∴＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝，
∴P（，）；
综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法，等边三角形的判定，相似三角形性质和判定，三角函数等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似的情况．
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2022年广西玉林市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．（3分）5的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
2．（3分）下列各数中为无理数的是（ ）
A． B．1.5 C．0 D．﹣1
3．（3分）今年我市高中计划招生52300人，将数据52300用科学记数法表示是（ ）
A．0.523×105 B．5.23×103 C．5.23×104 D．52.3×103
4．（3分）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（ ）
A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）
A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm
7．（3分）垃圾分类利国利民．某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：
①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率
②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表
③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比
正确统计步骤的顺序应该是（ ）
A．②→③→① B．②→①→③ C．③→①→② D．③→②→①
8．（3分）若x是非负整数，则表示﹣的值的对应点落在如图数轴上的范围是（ ）
A．① B．② C．③ D．①或②
9．（3分）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y1，y2分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是（ ）
A．兔子和乌龟比赛路程是500米
B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C．兔子比乌龟多走了50米
D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
10．（3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（ ）
A．互相平分 B．互相垂直
C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
11．（3分）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．（3分）计算：2÷（﹣2）＝ ．
14．（3分）计算：3a﹣a＝ ．
15．（3分）已知：α＝60°，则α的余角是 °．
16．（3分）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 ．
17．（3分）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
18．（3分）如图，点A在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：
①A（b，b）
②当b＝2时，k＝4
③m＝
④S四边形AOCB＝2b2
则所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分．解答应写出证明过程或演算步骤（含相应的文字说明）．将解答写在答题卡上．
19．（6分）计算：20220++|﹣|﹣sin30°．
20．（6分）解方程：＝．
21．（8分）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝∠CAD．若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD与△ACD全等．
问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？ （填“全等”或“不全等”），理由是 ；
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD的概率．
22．（8分）为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：
87 99 86 89 91 91 95 96 87 97
91 97 96 86 96 89 100 91 99 97
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
a
1
3
b
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
c
d
解决问题：
（1）直接写出上面表格中的a，b，c，d的值；
（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；
（3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．
24．（8分）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
（1）求两次购买龙眼各是多少吨？
（2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
26．（12分）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．
2022年广西玉林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．（3分）5的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：5的倒数是．
故选：A．
【点评】本题主要考查了倒数的定义．注意一个数与它的倒数符号相同．
2．（3分）下列各数中为无理数的是（ ）
A． B．1.5 C．0 D．﹣1
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【解答】解：A、是无理数，因此选项A符合题意；
B、1.5是有限小数，属于有理数，不是无理数，因此选项B不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，不是无理数，因此选项C不符合题意；
D、﹣1是整数，属于有理数，不是无理数，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．（3分）今年我市高中计划招生52300人，将数据52300用科学记数法表示是（ ）
A．0.523×105 B．5.23×103 C．5.23×104 D．52.3×103
【分析】将较大的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可．
【解答】解：52300＝5.23×104，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．
4．（3分）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（ ）
A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
【分析】俯角是向下看的视线与水平线的夹角，直接根据定义进行判断即可．
【解答】解：从热气球A看一栋楼底部C的俯角是∠DAC．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握俯角的定义是关键．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
【解答】解：这个几何体的主视图如下：
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前提．
6．（3分）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）
A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm
【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
7．（3分）垃圾分类利国利民．某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：
①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率
②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表
③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比
正确统计步骤的顺序应该是（ ）
A．②→③→① B．②→①→③ C．③→①→② D．③→②→①
【分析】根据统计调查的一般过程判断即可．
【解答】解：正确统计步骤的顺序应该是：整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表，绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比，从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率，即正确统计步骤的顺序应该是：②→③→①，
故选：A．
【点评】本题考查的是扇形统计图，统计调查的一般过程：①问卷调查法﹣﹣﹣﹣﹣收集数据；②列统计表﹣﹣﹣﹣﹣整理数据；③画统计图﹣﹣﹣﹣﹣描述数据．
8．（3分）若x是非负整数，则表示﹣的值的对应点落在如图数轴上的范围是（ ）
A．① B．② C．③ D．①或②
【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝1，
则表示﹣的值的对应点落在如图数轴上的范围是②．
故选：B．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y1，y2分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是（ ）
A．兔子和乌龟比赛路程是500米
B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C．兔子比乌龟多走了50米
D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个选项中的结论是否正确．
【解答】解：A、“龟兔再次赛跑”的路程为500米，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、乌龟在途中休息了35﹣30＝5（分钟），兔子在途中休息了50﹣10＝40（分钟），兔子比乌龟多休息了35分钟，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、兔子和乌龟同时从起点出发，都走了500米，原说法错误，故此选项符合题意；
D、比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，能够从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键．
10．（3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（ ）
A．互相平分 B．互相垂直
C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，
【解答】解：如图，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
故选：D．
【点评】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理以及正方形的性质，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
11．（3分）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别求出平移或翻折后的解析式，将点（2，0）代入可求解．
【解答】解：①向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣2）2，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故①符合题意；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故②符合题意；
③向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝x2﹣4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故③符合题意；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣x2+4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故④符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求出平移或翻折后的解析式是解题的关键．
12．（3分）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到A点，黑跳棋跳到F点，可得结论．
【解答】解：∵红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，
∴红跳棋每过6秒返回到A点，
2022÷6＝337，
∴经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点，
∵黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，
∴黑跳棋每过18秒返回到A点，
2022÷18＝112•••6，
∴经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点，
连接AE，过点F作FM⊥AE，
由题意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，
∴∠FAE＝30°，
在Rt△AFM中，AM＝AF＝，
∴AE＝2AM＝2，
∴经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是2．
故选：B．
【点评】本题考查了正六边形和两动点运动问题，根据方向和速度确定经过2022秒钟后两枚跳棋的位置是解本题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．（3分）计算：2÷（﹣2）＝ ﹣1 ．
【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案．
【解答】解：2÷（﹣2）
＝﹣（2÷2）
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．
14．（3分）计算：3a﹣a＝ 2a ．
【分析】根据合并同类项的法则进行解答即可．
【解答】解：3a﹣a＝2a．
故答案为：2a．
【点评】此题考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键．
15．（3分）已知：α＝60°，则α的余角是 30 °．
【分析】根据如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角即可得出答案．
【解答】解：90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了余角和补角，掌握如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角是解题的关键．
16．（3分）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 1 ．
【分析】先求出弧长BD＝CD+BC，再根据扇形面积公式：S＝lR（其中l为扇形的弧长，R是扇形的半径）计算即可．
【解答】解：由题意的长＝CD+BC＝1+1＝2，
S扇形ABD＝••AB＝×2×1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是记住扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长），求出的长＝CD+BC＝2是解题的关键．
17．（3分）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 △ABD，△ACD，△BCD ．
【分析】由网格利用勾股定理分别求解OA，OB，OC，OD，OE，根据三角形的外心到三角形顶点的距离相等可求解．
【解答】解：由图可知：
OA＝，
OB＝，
OC＝，
OD＝，
OE＝，
∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，
故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．
【点评】本题主要考查三角形外接圆与外心，勾股定理，求得OA＝OB＝OC＝OD≠OE是解题的关键．
18．（3分）如图，点A在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：
①A（b，b）
②当b＝2时，k＝4
③m＝
④S四边形AOCB＝2b2
则所有正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】①根据菱形的性质和勾股定理计算点A的坐标；
②根据①中的坐标，直接将b＝2代入即可解答；
③计算点B的坐标，代入一次函数的解析式可解答；
④根据菱形的面积＝底边×高可解答．
【解答】解：如图，
①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，
∴C（0，﹣2b），
∴OC＝2b，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB＝OC＝OA＝2b，
∵A与B关于x轴对称，
∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，
∴OD＝＝b，
∴A（b，b）；
故①不正确；
②当b＝2时，点A的坐标为（2，2），
∴k＝2×2＝4，
故②正确；
③∵A（b，b），A与B关于x轴对称，
∴B（b，﹣b），
∵点B在直线y＝mx﹣2b上，
∴bm﹣2b＝﹣b，
∴m＝，
故③正确；
④菱形AOCB的面积＝AB•OD＝2b•b＝2b2，
故④不正确；
所以本题结论正确的有：①②③；
故答案为：②③．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了坐标与图形性质，勾股定理，关于x轴对称，菱形的性质等知识，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分．解答应写出证明过程或演算步骤（含相应的文字说明）．将解答写在答题卡上．
19．（6分）计算：20220++|﹣|﹣sin30°．
【分析】利用零指数幂和特殊角的三角函数值进行化简，可求解．
【解答】解：原式＝1+2+﹣＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，利用零指数幂和特殊角的三角函数值化简是解题的关键．
20．（6分）解方程：＝．
【分析】根据解分式方程的一般步骤解出方程，检验，即可得到答案．
【解答】解：方程两边同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
检验，当x＝﹣1时，2（x﹣1）＝﹣4≠0，
所以原分式方程的解为x＝﹣1．
【点评】本题考查的是解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，注意解分式方程时，一定要检验．
21．（8分）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝∠CAD．若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD与△ACD全等．
问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？ 全等 （填“全等”或“不全等”），理由是 三边对应相等的两个三角形全等 ；
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD的概率．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可；
（2）先画树状图或列表，再根据所得的结果再判断△ABD≌△ACD的概率即可．
【解答】解：（1）在△ABD和△ACD中，
，
∴，△ABD≌△ACD（SSS）．
故答案为：全等，三边对应相等的两个三角形全等；
（2）树状图：
所有可能出现的结果（①②）（①③）（②①）（②③）（③①）（③②）共有六种等可能的情况，符合条件的有（①②）（①③）（②①）（③①）有四种，
令△ABD≌△ACD为事件A，则P（A）＝．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和随机事件的概率，熟练掌握相关判定定理和求概率的方法是解答本题的关键．
22．（8分）为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：
87 99 86 89 91 91 95 96 87 97
91 97 96 86 96 89 100 91 99 97
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
a
1
3
b
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
c
d
解决问题：
（1）直接写出上面表格中的a，b，c，d的值；
（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；
（3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
【分析】（1）根据20名学生的成绩的具体数据求出a、b，根据众数的定义求出c，根据中位数的定义求出d；
（2）根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率；
（3）根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
【解答】解：（1）∵91分的有4人，97分的有3人，
∴a＝4，b＝3，
∵91分的人数最多，
∴众数为91，即c＝91，
d＝＝93，
综上所述，a＝4，b＝3，c＝91，d＝93；
（2）成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为：×100%＝50%；
（3）估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：1500×50%＝750（人）．
【点评】本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．
【分析】（1）连接OD，由题可知，D已经是圆上一点，欲证EF为切线，只需证明∠ODF＝90°即可；
（2）连接BC，根据勾股定理求出BC，进而根据三角形的中位线定理可得OH的长，从而得DH的长，由等角的正切可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD．
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠ODA＝∠EAD．
∴OD∥AE．
∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接BC，交OD于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，
∴∠OHB＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥BC，
∴CH＝BC＝4，
∵CH＝BH，OA＝OB，
∴OH＝AC＝3，
∴DH＝5﹣3＝2，
∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，
∴四边形ECHD是矩形，
∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2，
∴AE＝6+2＝8，
∵∠DAB＝∠DAE，
∴tan∠DAB＝tan∠DAE＝＝＝．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，角平分线的定义，切线的判定等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一定的代表性．
24．（8分）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
（1）求两次购买龙眼各是多少吨？
（2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【分析】（1）设第一次购买龙眼x吨，则第二次购买龙眼（21﹣x）吨，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（21﹣y）吨龙眼加工成龙眼干，根据题意列出一元一次不等式，解一元一次不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）设第一次购买龙眼x吨，则第二次购买龙眼（21﹣x）吨，
由题意得：0.4x+0.3（21﹣x）＝7，
解得：x＝7，
∴21﹣x＝21﹣7＝14（吨），
答：第一次购买龙眼7吨，则第二次购买龙眼14吨；
（2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（21﹣y）吨龙眼加工成龙眼干，
由题意得：10×0.2y+3×0.5（21﹣y）≥39，
解得：y≥15，
∴至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉，
答：至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉．
【点评】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意找出题目中的相等关系和不等关系是解决问题的关键．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
【分析】（1）根据矩形的性质可得∠ADE＝∠ABF，∠∠DAE+∠BAE＝90°，结合题干AF⊥AE可得∠BAF+∠BAE＝90°，进而可得∠DAE＝∠BAF，进而可得△ADE∽△ABF，利用相似三角形的性质可得BF的长度；
（2）先根据AG∥CE，GC∥AE进而可得四边形AGCE是平行四边形，通过勾股定理可得GF2、EF2、AE2，再过点G作GM⊥AF于点M，易得△MGF∽△AEF，进而利用相似三角形的性质可得GM的长，即可得GM＝GB，进而可得GF是∠AFB的角平分线，最后利用角平分线得性质可得EA＝EC，即可得平行四边形AGCE是菱形．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAF+∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ADE∽△ABF，
∴，即，
∴BF＝2a，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AG∥CE，
∵GC∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
∴AG＝CE＝8﹣a，
∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，
在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，
在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，
在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，
如图，过点G作GM⊥AF于点M，
∴GM∥AE，
∴△MGF∽△AEF，
∴，
∴，
∴＝，
∴GM＝a，
∴GM＝BG，
又∵GM⊥AF，GB⊥FC，
∴GF是∠AFB的角平分线，
∴EA＝EC，
∴平行四边形AGCE是菱形．
解法二：∵AG∥CE，CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AG＝CE，
∵AB＝CD，
∴BG＝DE＝a，
∴tan∠EFC＝＝＝，
∴EC＝a+2＝8﹣a
∴a＝3，
∴AE＝＝5，
∴AE＝CE＝5，
∴四边形AGCE是菱形．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、菱形的判定、矩形性质等，解题关键是熟练掌握相关性质与判定．
26．（12分）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．
【分析】（1）把点B（2，0）代入y＝﹣2x2+bx+c中，再由对称轴是直线x＝列方程，两个方程组成方程组可解答；
（2）当△POD是等边三角形时，点P在OD的垂直平分线上，所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P，计算OD≠PD，可知△POD不可能是等边三角形；
（3）分种情况：①当PC∥x轴时，△CPM∽△BHM时，根据PH的长列方程可解答；②②如图3，△PCM∽△BHM，过点P作PE⊥y轴于E，证明△PEC∽△COB，可得结论．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）△POD不可能是等边三角形，理由如下：
如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，
∵C（0，4），D是OD的中点，
∴E（0，1），
当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1，
2x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍），
∴P（，1），
∴OD≠PD，
∴△POD不可能是等边三角形；
（3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，
分两种情况：
①如图2，△CMP∽△BMH，
∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，
∴tan∠OBC＝tan∠PCM，
∴＝＝＝＝2，
∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），
∵PH＝PM+MH，
∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，
解得：t1＝0，t2＝1，
∴P（1，4）；
②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，
过点P作PE⊥y轴于E，
∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，
∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠EPC，
∴△PEC∽△COB，
∴＝，
∴＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝，
∴P（，）；
综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法，等边三角形的判定，相似三角形性质和判定，三角函数等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似的情况．
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