2022-2023学年广东省深圳市高级中学高中园高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省深圳市高级中学高中园高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数（其中为虚数单位），则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】直接利用模的性质求解即可.

【详解】.

故选：B.

2．已知向量，，若//，则t＝（    ）

A． B．2 C．4 D．

【答案】D

【分析】根据向量共线的坐标表示运算求解.

【详解】因为//，则，解得.

故选：D.

3．已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意求出圆锥的底面半径和高即可.

【详解】圆锥母线为，底面半径为，则，

所以圆锥的体积．

故选：A．

4．用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（    ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

【答案】A

【分析】以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，由斜二测画法得出三角形底边长和高的变化即可．

【详解】解：以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，

由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为轴，长度减半，

所以三角形的高变为原来的，

所以直观图中三角形面积是原三角形面积的，

即原三角形面积是直观图面积的倍．

故选：A．

5．已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.

【详解】，

，

两式相加得，

.

故选：C.

6．如图，在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（    ）

A．－4 B．－1 C．1 D．4

【答案】B

【分析】根据向量共线定理的推论的推论，根据题意化简，再由即可得解.

【详解】由，所以，

，

由，可得，

故选：B

7．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先根据已知条件的点为中点，又因为点为的外接圆圆心，得，再根据得为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.

【详解】已知，故点为中点，

又因为点为的外接圆圆心，故为直角三角形，且.

由于，易知为等边三角形，

过点作的垂线，垂足为，

设，则.

因此可得：向量在向量上的投影向量为.

故选：A

8．红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题利用勾股定理求出半径，再求出高度，分别求出两个球冠的面积，用球体的表面积减去两个球冠的面积即可解决问题.

【详解】由题意得：，

所以cm，

所以cm，

所以两个球冠的面积为cm2，

则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：

cm2，

故选：C.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面

B．经过两条相交直线，可以确定一个平面

C．经过两条平行直线，可以确定一个平面

D．经过空间任意三点可以确定一个平面

【答案】ABC

【分析】由平面的基本性质和推论，逐项判定，即可求解.

【详解】根据平面的基本性质及推论，可得：

经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，所以A正确；

经过两条相交直线，可以确定一个平面，所以B正确；

经过两条平行直线，可以确定一个平面，所以C正确；

根据“过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”所以D错误.

故答案为：ABC.

10．下列命题错误的有（    ）

A．若、都是单位向量，则

B．若，且，则

C．若非零向量与是共线向量，则、、、四点共线

D．向量的模与向量的模相等

【答案】ABC

【分析】直接利用单位向量，向量的相等，向量的共线，向量的模的相关的定义的应用判断A、B、C、D的结论．

【详解】解：对于A：若，都是单位向量，则，因为，的方向不一定相同，故，不一定相等，故A错误；

对于B：因为，且，当时，与任何向量都平行，故不能得到，故B错误；

对于C：非零向量与而是共线向量，即，不能得到、、、四点共线，故C错误；

对于D：向量与向量互为相反向量，故向量与向量的模相等，故D正确：

故选：ABC．

11．要得到函数到的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的倍

B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的倍

C．每个点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位长度

D．每个点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位长度

【答案】AD

【分析】根据三角函数图象变换可得出结论.

【详解】法一：将函数的图象先向左平移个单位长度，可得到函数的图象，

再将所得函数的图象上每点的横坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象；

法二：将函数的图象每个点的横坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象，

再将所得图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象.

故选：AD.

12．已知中，，，，则下列结论正确的有（    ）

A．为钝角三角形 B．为锐角三角形

C．面积为 D．

【答案】AC

【分析】由余弦定理求得最大角可判断A和B；由面积公式可判断C；由数量积可判断D.

【详解】在中，，∴，∴为钝角三角形，故选项A正确，选项B错误；

，故选项C正确；

，故选项D错误.

故选：AC．

三、填空题

13．在复数范围内，方程的解集为______.

【答案】

【分析】根据复数范围内方程的解法直接求解即可.

【详解】由得，所以或，

故答案为：

14．已知向量，，为向量与的夹角，则______.

【答案】/

【分析】利用平面向量的夹角公式求解.

【详解】因为向量，，且与的夹角，

所以.

故答案为：.

15．函数的单调递减区间为______.

【答案】，

【分析】利用诱导公式及辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.

【详解】因为

，

令，，

解得，，

所以函数的单调递减区间为，.

故答案为：，

16．如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是___________.

【答案】30

【分析】先用AB表示出BD和BC，再结合余弦定理即可求解.

【详解】由题意知：，设，则，

，即，解得或（舍去）.

故答案为：30.

四、解答题

17．已知，，.求

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由复数的乘法法则计算；

（2）再由复数的除法法则求得后可得其共轭复数．

【详解】（1）；

（2）由题可知，所以，

.

18．如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．

（1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；

（不需要写步骤及作图过程）

（2）求该正四棱锥形容器的体积．

【答案】（1）作图见解析；（2）．

【分析】（1）利用斜二测画法画出四棱锥的直观图即可．

（2）根据图中数据计算正四棱锥形容器的体积即可．

【详解】（1）根据题意画出该四棱锥的直观图，如下：

（2）设加工后的正四棱锥为，易得地面是边长为的正方形，斜高为50，所以棱锥高

正四棱锥形容器的体积为．

故所求正四棱锥形容器的体积为．

19．已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由两角和的公式展开后解方程得；

（2）用诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系化简变形为关于的式子，代入（1）的结论可得．

【详解】解：（1），解得；

（2）

．

【点睛】本题考查三角函数的求值，求值时一般先化简再求值，三角函数式的化简要遵循“三看”原：

(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．

20．在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．

问题：在中，内角、、的对边分别为，，，已知______．

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的周长．

【答案】选择见解析；（1）；（2）．

【分析】（1）若选择①：由正弦定理把化为，再结合和三角函数公式可得，从而可求出角；若选择②：利用余弦定理结合已知条件可求出角；

（2）由三角形的面积可求出，再由余弦定理化简变形可得，从而可求出三角形周长

【详解】（1）选择①：

由正弦定理得，，

由得，

即．

又，∴，

又，

∴．

选择②：

由选择条件可得

由余弦定理

得，

又，

∴．

（2）因为

∴，即，∴，

又由余弦定理，化简得，

即，

所以，

所以的周长为．

21．如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.

(1)用，表示；

(2)若，，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；

（2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；

【详解】（1）因为，所以，

化简得；

（2）因为，，，

所以，由图可知，

又因为、、三点共线，所以，

所以，

当，即时，取最小值.

22．如图，在梯形ABCD中，，AB＝5，AD＝2DC＝4，且，E是线段AB上一点，且AE＝4EB，F为线段BC上一动点.

(1)求∠DAB的大小；

(2)若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用基底与表示、，再结合代入可求得的值.

（2）建立平面直角坐标系由夹角公式计算可得结果.

【详解】（1）连接，，如图所示，

因为，，，

所以，，

所以与的夹角和与的夹角相同，并设为，，

则

，

又因为，

所以，

解得，

又因为，

所以，即.

（2）过点作于，如图所示，

则，，

故以为原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，

则，，，，，

又F为线段BC的中点，则，

所以，，

所以.