2023年新高二数学暑假讲义+习题（人教A版）第9讲直线与圆、圆与圆的位置关系

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第9讲直线与圆、圆与圆的位置关系

新课标要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。
知识梳理
一、直线与圆的位置关系及判断(直线：Ax＋By＋C＝0，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝

d d＝r
d>r[om]
代数法：由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图形

二、圆与圆的位置关系
1．用几何法判定圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，
则圆心距d＝|C1C2|＝．
则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系
外离
内含
相交
内切
外切
圆心距
与半径
的关系
d>r1＋r2
d<|r1－r2|
|r1－r2| d＝|r1－r2|
d＝r1＋r2
图示

2．用代数法判定圆与圆的位置关系
已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
将方程联立
消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，
则(1)判别式Δ>0时，C1与C2相交．
(2)判别式Δ＝0时，C1与C2外切或内切．
(3)判别式Δ<0时，C1与C2外离或内含．
名师导学
知识点1 直线与圆位置关系的判定
【例1-1】　已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
【解】　法一　直线与圆的位置关系问题可转化为方程组
有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题．
②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，　③
方程③的根的判别式．
Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)
当－20，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；
当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离．
法二　圆心(0，0)到直线y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r＝.
当d 当d＝r，即＝时，直线与圆相切，∴b＝±2.
当d>r，即>时，直线与圆相离，∴b>2或b<－2.
∴当－2 当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；
当b>2或b<－2时，直线与圆相离．
【变式训练1-1】a为何值时，直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100分别有如下关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离？
【解】　法一　(代数法)
由方程组
消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
(1)当直线和圆相交时，Δ＞0，
即－36a2＋90 000＞0，得－50＜a＜50；
(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，
即a＝50或a＝－50；
(3)当直线和圆相离时，Δ＜0，
即a＜－50或a＞50.
法二　(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0，0)，半径r＝10，
则圆心到直线的距离d＝＝.
(1)当直线和圆相交时，d＜r，
即＜10，得－50＜a＜50；
(2)当直线和圆相切时，d＝r，
即＝10，得a＝50或a＝－50；
(3)当直线和圆相离时，d＞r，
即＞10，得a＜－50或a＞50.
知识点2 直线与圆相切的有关问题
【例2-1】过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程．
【解】　由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故点M在圆外．
当切线斜率存在时，设切线方程是
y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
由于直线与圆相切，故＝1，解得k＝.
所以切线方程为24x－7y－20＝0.
又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切．
综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.
【变式训练2-1】若将例2-1中的点M的坐标改为(1，－2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？
【解】　由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故点M在圆上，
设圆的圆心为C，则C(1，－3)，显然CM的斜率不存在．
∵圆的切线垂直于经过切点的半径，∴所求切线的斜率k＝0，∴切线方程为y＝－2.
知识点3 直线与圆相交的有关问题
【例3-1】求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．
【解】　法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解．
解这个方程组，得
所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2)，
所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2.
法二　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)，

所以|OM|＝＝.
所以|AB|＝2|AM|＝2
＝2＝2.
【变式训练3-1】已知直线y＝kx(k>0)与圆C：(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则k＝________．
【解析】　圆心到直线的距离d＝，∵|AB|＝　，∴＋＝1，
∴k＝±. ∵k>0，∴k＝.
【答案】　

知识点4 两圆位置关系的判定
【例4-1】a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切；(2)相交；(3)外离？
【解】　将两圆方程写成标准方程，
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5或a＝2.
(2)当1 (3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.
【变式训练4-1】圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解析】　圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4，0)，半径等于3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0，3)，半径等于2.
两圆的圆心距等于＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3，故选C.
【答案】　C
知识点5 两圆相切问题
【例5-1】已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．
【解析】　设圆C的半径为r，又圆心距d＝＝5，
∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.
【答案】　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36
【变式训练5-1】若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于 (　　)
A．21 B．19 C．9 D．－11
【解析】　C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
∵C1，C2两圆的圆心分别为(0，0)，(3，4)，
∴两圆圆心距d＝＝5，
又两圆半径分别为1，，则d＝r1＋r2，
即5＝1＋，解得m＝9.
【答案】　C
知识点6 两圆相交的问题
【例6-1】已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，判断两圆的位置关系．
【解】　将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5.
圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.
又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，
r1－r2＝5－，
∴r1－r2<|C1C2| ∴两圆相交．
【变式训练6-1】在例6-1的条件下，求公共弦的长度．
【解】　法一　由例6-1知圆C1的圆心为(1，－5)，其到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3，∴公共弦长l＝2＝2＝2.
法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或
所以|AB|＝＝2，
即公共弦长为2.
知识点7 直线与圆的方程的应用
【例7-1】某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
【解】　建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上．依题意，有

A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0)．
设这座圆拱桥的拱圆的方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
于是有
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m，3<3.1，
所以该船可以从桥下通过．
【变式训练7-1】如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米．

【解析】　如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝2米．

【答案】　2

知识点8 坐标法证明几何问题
【例8-1】如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.

【证明】　以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，

如图所示，设|AB|＝2r，D(a，0)，则|CD|＝，
∴C(a，)，∴圆O：x2＋y2＝r2，
圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2.
两方程作差得直线EF的方程为2ax＋2y＝r2＋a2.
令x＝a，得y＝，
∴H(a，)，即H为CD中点，
∴EF平分CD.
【变式训练8-1】如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．

【证明】　如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0)．

设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，
故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．

名师导练
2.5.1 直线与圆的位置关系
A组-[应知应会]
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【解析】　∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.
∴圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r，则直线与圆的位置关系是相交．
【答案】　B
2．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
【解析】　依题意可设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，则圆心(0，0)到直线2x＋y＋c＝0的距离为＝，解得c＝±5.故所求切线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
【答案】　D
3．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
【解析】　由条件，知x－y＝0与x－y－4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C的圆心C在直线x－y－2＝0上．由得圆心C(1，－1)．又因为两平行线间距离d＝＝2，所以所求圆的半径长r＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
【答案】　B
4．若直线y＝kx与圆x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k＝________．
【解析】　圆x2＋y2－6x＋8＝0，即(x－3)2＋y2＝1，其圆心为(3，0)、半径等于1.
由题意可得k<0，再根据圆心到直线的距离等于半径可得＝1，求得k＝－.
【答案】　－
5．直线y＝x＋2被圆M：x2＋y2－4x－4y－1＝0所截得的弦长为________．
【解析】　x2＋y2－4x－4y－1＝0可变为(x－2)2＋(y－2)2＝9，故圆心坐标为(2，2)，半径为3.圆心到直线x－y＋2＝0的距离是＝，
故弦长的一半是＝，
所以弦长为2.
【答案】　2
6．过点A(－1，4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
【解】　设l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋4＝0，
∴d＝＝1，∴4k2＋3k＝0，
∴k＝0或k＝－，
∴切线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
7．已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，曲线C表示圆？
(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值．
【解】　(1)由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，
得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m，
由5－m>0时，得m<5，∴当m<5时，曲线C表示圆；
(2)圆C的圆心坐标为(－1，－2)，半径为.
∵直线l：y＝x－m与圆C相切，
∴＝，
解得：m＝±3，满足m<5.
∴m＝±3.

B组-[素养提升]
8．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】　圆心为(－1，－2)，半径r＝2，从而圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意．
【答案】　C
9．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1，0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n等于(　　)
A．10－2 B．5－ C．10－3 D．5－　
【解析】　圆的方程x2＋y2－4x＋6y－12＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
所以圆心为(2，－3)，半径长为5.
因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，
所以点(－1，0)在已知圆的内部，
则最大弦长即为圆的直径，即m＝10.
当(－1，0)为弦的中点时，弦长最小，
此时弦心距d＝＝3，
所以最小弦长为2＝2＝2，
所以m－n＝10－2.
【答案】　A
10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则a＝________．
【解析】　圆心到直线的距离d＝＝＝1，解得a＝0.
【答案】　0
11．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
【解析】　切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.
【答案】　
12．(1)求圆x2＋y2＝10的切线方程，使得它经过点M(2，)；
(2)求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3，0)．
【解】　(1)∵点M的坐标适合圆的方程，
∴点M在圆x2＋y2＝10上，由题可知圆心为O(0，0)，则直线OM的斜率kOM＝.
∵圆的切线垂直于经过切点的半径，
∴所求切线的斜率为k＝－.
故经过点M的切线方程为
y－＝－·(x－2)，
整理得：2x＋y－10＝0.
(2)容易判断点Q(3，0)在圆外．
设切线的方程为y＝k(x－3)，
即kx－y－3k＝0，
又圆的圆心为(0，0)，半径为2，所以＝2.
解得：k＝±.
∴所求切线方程为：y＝±(x－3)，即2x＋5y－6＝0或2x－5y－6＝0.
13．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程．
(1)【证明】　因为l的方程为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所以解得
即l恒过定点A(3，1)．
因为圆心为C(1，2)，所以|AC|＝<5(半径)，
所以点A在圆C内，
从而直线l与圆C恒交于两点．
(2)【解】　由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，所以l的斜率为2.
又l过点A(3，1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.
2.5.2 圆与圆的位置关系
A组-[应知应会]
1．圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是 (　　)
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【解析】　圆C1：x2＋y2＝9的圆心为C1(0，0)，半径r1＝3；圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，圆心为C2(4，－3)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝＝5.
因为|r1－r2|＜|C1C2|＜3＋4＝r1＋r2，所以两圆相交．
【答案】　B
2．过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是(　　)
A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0
C．5x＋3y－2＝0 D．不存在
【解析】　由
①－②得x＋y＋2＝0.
【答案】　A
3．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则实数m的值为 (　　)
A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定
【解析】　两圆的圆心分别为(－2，m)，(m，－1)，
两圆的半径分别为3，2，
由题意得＝3＋2，
解得m＝2或－5.
【答案】　C
4．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
【解析】　∵圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，
∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，
AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为
x＋y－3＝0.
【答案】　x＋y－3＝0
5．圆C1：x2＋y2－2mx＋m2－4＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4my＋4m2－8＝0相交，则实数m的取值范围是________．
【解析】　整理圆C1得(x－m)2＋y2＝4，整理圆C2得(x＋1)2＋(y－2m)2＝9，
∴C1的圆心为(m，0)，半径为2，圆C2的圆心为(－1，2m)，半径为3.
∵两圆相交，
∴圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差，即1<<5，解得：0 【答案】　(0，2)或
6．求圆C1：x2＋y2－2x＝0和圆C2：x2＋y2＋4y＝0的圆心距|C1C2|，并确定圆C1和圆C2的位置关系．
【解】　∵圆C1：x2＋y2－2x＝0化为(x－1)2＋y2＝1，圆C2：x2＋y2＋4y＝0化为x2＋(y＋2)2＝4，
∴圆C1，C2的圆心坐标，半径长分别为C1(1，0)，r1＝1；C2(0，－2)，r2＝2.
|C1C2|＝＝.
又2－1<|C1C2|＝<2＋1，故圆C1，C2的位置关系是相交．
7．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．
【解】　联立方程，可得
解得或
∴两个圆的交点是A(－2，6)，B(4，－2)，
∴|AB|＝＝10.[
B组-[素养提升]
8．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
【解析】　由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.
【答案】　D
9．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 (　　)
A．4 B．4 C．8 D．8
【解析】　因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上．
设圆C1，C2的圆心坐标分别为(x1，x1)，(x2，x2)，
则(4－x1)2＋(1－x1)2＝x，(4－x2)2＋(1－x2)2＝x，
即x1，x2是方程(x－4)2＋(x－1)2＝x2的两根．
即x1，x2是方程x2－10x＋17＝0的两根．
所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.
所以|C1C2|＝|x1－x2|＝·＝8.
【答案】　C
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最大值是________．
【解析】　圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．由题意知(4，0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故实数k的最大值为.
【答案】　
11．圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________．
【解析】　圆C1与圆C2的公共弦所在直线l的方程为
x－y＋1＝0，
点C1(1，0)到直线l的距离d＝＝，
圆C1的半径r1＝3，
圆C1和圆C2的公共弦长为2＝2＝2.
【答案】　2
12．已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若方程C表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若圆C与圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求实数m的值；
(3)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求实数m的值．
【解】　(1)把方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，配方得：(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
若方程C表示圆，则5－m>0，解得m<5；
所以m的取值范围为(－∞，5)．
(2)把圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0化为标准方程得：(x－4)2＋(y－6)2＝16，得到圆心坐标为(4，6)，半径为4，
则两圆心间的距离d＝＝5，
因为两圆的位置关系是外切，所以d＝R＋r即4＋＝5，解得m＝4；
(3)因为圆心C的坐标为(1，2)，则圆心C到直线l的距离d＝＝，
所以()2＝＋d2，
即5－m＝1，解得m＝4.
13．已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)直线l过点(6，3)与圆C1相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
【解】　(1)圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝10，其圆心为C1(2，1)，半径等于，
C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝16，其圆心为C2(－1，1)为圆心，半径等于4.由于两圆的圆心距等于＝3，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交．
(2)当AB的斜率不存在时，直线l的方程为x＝6，此时直线l与圆C1相离，不满足条件．
当AB的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－6)，即kx－y＋3－6k＝0，
由弦长公式可得圆心到直线l的距离d＝＝2，
再由点到直线的距离公式可得d＝2＝，解得k＝0或k＝.
故直线l的方程为y＝3或4x－3y－15＝0.

2.5.3直线与圆的方程的应用
A组-[应知应会]
1．方程＝x＋k有唯一解，则实数k的取值范围是(　　)
A．{－} B．(－，)
C．[－1，1) D．{k|k＝或－1≤k＜1}
【解析】　由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点，结合图形(图略)易得－1≤k<1或k＝.
【答案】　D
2．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是(　　)
A. B. C. D．π
【解析】　如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的.

【答案】　D
3．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m＝(　　)
A．－1 B．1 C．0 D．2
【解析】　由题意，可得
∵直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，
∴直线x＋2y＝0是线段MN的中垂线，得k·(－)＝－1，解之得k＝2，
又圆方程为x2＋y2＋2x＋my－4＝0，圆心坐标为(－1，－)，
将(－1，－)代入x＋2y＝0，解得m＝－1，得k＋m＝1.
故选B.
【答案】　B
4．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，过圆内一点P(2，3)作弦，则最短弦长为________．
【解析】　当P为弦的中点时，弦最短．
∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝9的圆心为(1，1)，半径r＝3，圆心(1，1)与(2，3)点的距离d＝＝，
∴所求最短的弦长为2＝4.
【答案】　4
5．一束光线从点A(－2，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是________．
【解析】　由题意可得圆心为C(2，3)，半径为r＝1，点A关于x轴的对称点为
A′(－2，－2)，求得|A′C|＝＝，则要求的最短路径的长为
|A′C|－r＝－1.

【答案】　－1
6．设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
【解】　如图所示，

以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为＋＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有解得
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇．
7．已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
【解】　(1)设k＝，则k表示圆上点P(x，y)与原点连线的斜率，直线OP的方程为y＝kx，当直线OP与圆C相切时，斜率取得最值．由点C(3，3)到直线y＝kx的距离d＝＝，得k＝3±2，即k＝3±2时，直线OP与圆C相切，所以＝3＋2，＝3－2.
(2)代数式表示圆C上的点到定点(2，0)的距离，圆心(3，3)与定点(2，0)的距离为＝，
又圆C的半径是，所以()max＝＋，()min＝－.

B组-[素养提升]
8．设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，若存在实数t，使得A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(0，] B．[0，) C．[0，] D．[0，2]
【解析】　首先集合A，B实际上是圆上的点的集合，即A，B表示两个圆，
A∩B≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，
因此两圆圆心距不大于半径之和2，即≤2，
整理成关于t的不等式：(a2＋1)t2－4(a＋2)t＋16≤0，
据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，
即Δ＝16(a＋2)2－4(a2＋1)×16≥0，解得0≤a≤.
【答案】　C
9．如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间为(　　)

A．6 s B．6 s或16 s
C．16 s D．8 s或16 s
【解析】　设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，
则圆心到直线l的距离为＝，得m＝－或m＝－，
∴该圆运动的时间为＝6(s)或＝16(s)．
【答案】　B
10．已知M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是________．
【解析】　数形结合法，

注意y＝，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．
结合图形不难求得，
当－3 直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点．
【答案】　(－3，3]
11．过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．
【解析】　由题意知点P(1，1)在圆x2＋y2＝4内，
若过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，
则所求直线与圆心O和P(1，1)的连线垂直，
∴该直线斜率为－1，
由点斜式方程得y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
【答案】　x＋y－2＝0
12．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)

【解】　如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，

圆O方程x2＋y2＝252.
直线AB方程：＋＝1，
即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，
则d＝＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，
则t＝＝(h)．
所以外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h.
13．如图，过半径为2的圆M上两点P，Q的切线相交于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R，S.试建立适当的直角坐标系用解析法证明：|RT|＝|ST|.

【证明】　如图，以圆心M为原点，平行于PQ的直径AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

则可得圆的方程x2＋y2＝4，A(0，2)，B(0，－2)，
设P(x0，y0)，则x＋y＝4.
直线AP的方程为：y＝x＋2，令y＝0得xR＝，
直线BP的方程为：y＝x－2，令y＝0得xS＝.
∵切线PT方程为x0x＋y0y＝4，由对称性知点T在x轴上，
故令y＝0得xT＝.
∴|RT|＝|xR－xT|＝＝＝，
|ST|＝|xS－xT|＝＝＝，
∴|RT|＝|ST|.