2020-2021学年江苏省南通市通州区高一（下）期中数学试卷

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在毎小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（4分）复数，则在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（4分）已知两个向量，，若，则的值等于　　

A． B． C． D．2

3．（4分）如图所示，在中，等于　　

A． B． C． D．

4．（4分）在中，，，，则等于　　

A． B．3 C． D．21

5．（4分）若，是任意两个单位向量，则下列结论中正确的是　　

A． B． C． D．

6．（4分）设复数（其中、，为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的　　

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

7．（4分）已知，，，且，则　　

A．，且与方向相同 B．，且与方向相反 

C．，且与方向相同 D．，且与方向相反

8．（4分）某机构调查了10种食品的卡路里含量，结果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195．则这组数据的第25百分位数和中位数分别是　　

A．138，160.5 B．138，146 C．138，175 D．135，160.5

9．（4分）如图所示，在中，为中点，过点的直线分别交，于不同的两点，，设，，则的值为　　

A． B．1 C．2 D．不确定

10．（4分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，，点是直线上的一个动点．的最小值是　　

A．18 B．3 C．2 D．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分

11．（5分）已知向量，那么　　．

12．（5分）是虚数单位，　　．

13．（5分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示，则成绩不低于80分的人数有 　　人．

14．（5分）如图所示，无弹性细绳，的一端分别固定在，处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且使得，则，，三根细绳受力最大的是 　　．

15．（5分）已知，，则　　；与的夹角为 　　．

16．（5分）给出下面四个类比结论：

①实数，，若，则；类比复数，，若，则；

②实数，，满足；类比复数，，，满足；

③实数，，，满足；类比向量，，，满足；

④向量，满足；类比复数，满足．

其中类比结论正确的序号是 　　．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．（12分）设复数，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）当时，求；

（Ⅲ）若为实数，求的值．

18．（13分）已知向量，，满足，．

（Ⅰ）求向量与的夹角；

（Ⅱ）求向量在向量上的投影向量；

（Ⅲ）若向量与垂直，求实数的值．

19．（13分）在中，，，的面积等于．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求及的值．

20．（14分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为类工人），现用分层抽样方法（按类，类分二层）从该工厂的工人中共抽取100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．

（1）类工人和类工人各抽取多少人？

（2）将类工人和类工人的抽查结果分别绘制成频率分布直方图（如图1和图．

①就生产能力而言，类工人中个体间的差异程度与类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

②分别估计类工人和类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

21．（14分）设向量，为两个相互垂直的单位向量，，，满足，且．

（Ⅰ）求关于的函数关系式及其定义域；

（Ⅱ）若，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

22．（14分）在中，已知．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）请从条件①：；条件②：这两个条件中任选一个作为条件，求和的值．

2020-2021学年江苏省南通市通州区高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在毎小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．

【解答】解：复数，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，

故选：．

2．【分析】利用向量共线的充要条件列出有关的方程，解方程求出的值．

【解答】解：，

故选：．

3．【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．

【解答】解：，，故错误，

，故正确，

，故错误．

故选：．

4．【分析】由已知利用余弦定理即可求解的值．

【解答】解：在中，，，，

由余弦定理可得，

可得．

故选：．

5．【分析】由单位向量的定义直接判断即可．

【解答】解：根据单位向量的定义，

其方向不一定相同，故选项、错误，

其模一定为1，故错误，正确；

故选：．

6．【分析】根据复数的概念可得当，且时，为纯虚数，再根据充分条件，必要条件的定义可以判断．

【解答】解：复数（其中、，为虚数单位），当，且时，为纯虚数，

则“”是“为纯虚数”必要非充分条件，

故选：．

7．【分析】根据已知条件，结合向量的共线定理，即可求解．

【解答】解：，，

，

当时，，

，与方向相反，故错误，正确，

当时，，与不共线，故，错误．

故选：．

8．【分析】根据已知条件，将10种食品的卡路里含量按从小到大排序，107，135，138，140，146，175，179，182，191，195，再结合第25百分位数和中位数的定义，即可求解．

【解答】解：将10种食品的卡路里含量按从小到大排序，107，135，138，140，146，175，179，182，191，195，

则，为第3项138，

中位数为．

故选：．

9．【分析】当三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1即可．

【解答】解：为中点，，，

，

，，三点共线，

，，

故选：．

10．【分析】写出直线的方程，可设，再结合平面向量数量积的坐标运算，得，然后结合配方法，得解．

【解答】解：直线的方程为，

因为点在直线上，所以不妨设，

所以，，，

所以当时，取得最小值为．

故选：．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分

11．【分析】由平面向量坐标下的模长公式代入即可．

【解答】解：由题意得，，

故答案为：．

12．【分析】先由对数的运算法则把等价转化为，再由虚数单位的性质进一步简化为．由此得到结果．

【解答】解：

．

故答案为：．

13．【分析】根据已知条件，结合频率分布直方图的性质可得，成绩不低于80分的频率，再结合频率与频数的关系，即可求解．

【解答】解：由频率分布直方图可得，低于80分的频率为，

则成绩不低于80分的频率为，

故成绩不低于80分的人数为．

故答案为：15．

14．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系得出拉力最大的是．

【解答】解：如图所示，

设绳与竖直方向的夹角为，对结点受力分析知，，

在中，，；

所以拉力最大的是．

故答案为：．

15．【分析】利用，结合模的运算性质求出，由此求解即可，利用平面向量数量积的定义，求解夹角即可．

【解答】解：因为，，

所以，

解得，

所以，

设与的夹角为，

则，

解得，

又，

所以，

则与的夹角为．

故答案为：1；．

16．【分析】由复数的运算性质和复数相等的条件，可得结论．

【解答】解：①实数，，若，则；类比复数，，若，则，类比错误．

比如，，可得，但；

②实数，，满足；类比复数，，，满足，类比正确；

③实数，，，满足；类比向量，，，满足，类比正确；

④向量，满足；类比复数，满足，类比错误．

比如，可得，而，显然不相等．

故答案为：②③．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．【分析】（Ⅰ）根据共轭复数的定义即可求出；

（Ⅱ）根据复数的运算法则即可求出；

（Ⅲ）根据复数的运算法则和复数的定义即可判断．

【解答】解：（Ⅰ）；

（Ⅱ），，则；

（Ⅲ），

为实数，

，

解得．

18．【分析】根据平面向量的坐标运算求得，和的值，

（Ⅰ）设向量与的夹角为，由，得解；

（Ⅱ）向量在向量上的投影向量为；

（Ⅲ）由，可得关于的方程，解之即可．

【解答】解：，，

，，，

（Ⅰ）设向量与的夹角为，则，

，

向量与的夹角为．

（Ⅱ）向量在向量上的投影为，

投影向量为，，．

（Ⅲ）向量与垂直，

，

解得．

19．【分析】（Ⅰ）在中，由已知利用三角形的面积公式可求的值．

（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得的值，利用余弦定理可求的值，进而根据二倍角的余弦公式即可求解的值．

【解答】解：（Ⅰ）在中，，，的面积等于，

解得；

（Ⅱ）由余弦定理可得，

可得，

可得，

可得．

20．【分析】（1）利用分层抽样方法能求出类工人中应抽取的人数和类工人中应抽取的人数．

（2）①从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小．

②由频率分布直方图能求出类工人生产能力的平均数，类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值．

【解答】解：（1）类工人中应抽取：人，

类工人中应抽取：人．

（2）①从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小．

②，，

，

类工人生产能力的平均数，类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1

21．【分析】（Ⅰ）将向量转化为坐标表示，然后由向量垂直的充要条件，求出与的关系，从而得到的解析式，然后由向量的模的定义，列出关于的不等式，求解定义域即可；

（Ⅱ）将问题转化为对于，恒成立，构造函数，利用基本不等式求解最值，即可得到的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）因为向量，为两个相互垂直的单位向量，，，

不妨以向量，为轴和轴正方向上的单位向量，

则，

因为，

则，可得，

所以，

因为，则，即，解得，

所以的定义域为，；

（Ⅱ）不等式对于，恒成立，

即对于，恒成立，

令，

当且仅当时取等号，

所以，

故实数的取值范围为，．

22．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据正弦定理可求，结合，，可得，可求的值．

（Ⅱ）若选条件①：，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的余弦公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理结合已知即可求解的值；

若选条件②：，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的余弦公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理结合已知即可求解的值．

【解答】解：（Ⅰ）因为，可得，

所以由正弦定理得，

因为，所以，

所以，所以．

（Ⅱ）若选条件①：，

在中，因为，所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

由正弦定理得，即，

因为，所以．

若选条件②：，

在中，因为，所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

因为，

所以，

由正弦定理得．

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日期：2022/3/11 19:13:03；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367