2023年河北省衡水重点中学高考数学第四次综合测评试卷（含解析）

2023年河北省衡水重点中学高考数学第四次综合测评试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2.  (    )

A.  B.  C.  D.

3.  设向量均为单位向量，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  已知函数的定义域为，则函数的定义域是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，连接，，对空间任意两点，，若线段与线段，都不相交，则称，两点可视，下列选项中与点可视的为(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

6.  垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动高一、高二、高三年级分别有名、名、名同学获一等奖若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7.  古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为(    )

A.   B.   C.   D.  

8.  已知定义在上的函数满足，对，，有，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  热搜是指网站从搜索引擎带来最多流量的几个或者是几十个关键词及其内容，热搜分为短期热搜关键词和长期热搜关键词两类，“搜索指数”是网友通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标，如图是年月到年月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图纵轴单位：人次．

根据该走势图，下列结论不正确的是(    )

A. 网友对该关键词相关的信息关注度不断减弱
B. 网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化，有规律可循
C. 年月份的方差小于年月份的方差
D. 年月份的平均值大于年月份的平均值

10.  已知直线：，圆：，是上一点，，分别是圆的切线，则(    )

A. 直线与圆相切
B. 圆上的点到直线的距离的最小值为
C. 存在点，使
D. 存在点，使为等边三角形

11.  一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是(    )

A.
B. 与平面所成的角的余弦值为
C. 平面与平面所成的二面角的平面角为
D. 设平面平面，则有

12.  华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点给出下列四个结论正确的是(    )

A. 若，则存在唯一个周期为的周期点
B. 若，则存在周期为的周期点
C. 若，则不存在周期为的周期点
D. 若，则对任意正整数，都不是的周期为的周期点

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知复数是纯虚数，则______．

14.  抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图像正好对应抛物线，则 ______ ．

15.  已知等比数列的各项均为正数，，且存在，使得，则的最小值为______ ．

16.  某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧劣弧沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心即三角形三条高线的交点如图，已知锐角外接圆的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点若，则______；若：：：：，则的值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若它们同时从点出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为单位：弧度秒，为线段的中点，记经过秒后其中，．
求的函数解析式；
将图像上的各点均向右平移个单位长度，得到的图像，求函数的单调递减区间．

18.  本小题分
如图，四棱锥中，是等边三角形，，．
证明：；
若，，求点到平面的距离．

19.  本小题分
已知是首项为的等差数列，公差，是首项为的等比数列，，．
求，的通项公式；
若数列的第项，满足_____在中任选一个条件，，则将其去掉，数列剩余的各项按原顺序组成一个新的数列，求的前项和．
．

20.  本小题分
已知直线：和直线：，过动点作平行的直线交于点，过动点作平行的直线交于点，且四边形为原点的面积为．
求动点的轨迹方程；
当动点的轨迹的焦点在轴时，记轨迹为曲线，若过点的直线与曲线交于，两点，且与轴交于点，若，求证：为定值．

21.  本小题分
某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有，，，四种疫苗且每种都供应充足前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有，，，四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的种疫苗后，再为居民们接种，记第位居民不包含张医生接种，，，四种疫苗的概率分别为，，，．
第位居民接种哪种疫苗的概率最大；
张医生认为，一段时间后接种，，，四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第位居民接种，，，四种的概率，解释张医生观点的合理性．
参考数据：．

22.  本小题分
已知函数，．
若，在区间上恒成立，求实数的取值范围；
若函数和有公切线，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，，A错误；时，，C错误；，，D错误．
故选：．
根据可判断B正确，D错误，并得出，从而判断，都错误．
本题考查了补集的运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式

．
故选：．
利用诱导公式以及和角公式可将原式化为，由此得解．
本题考查诱导公式以及和角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，均为单位向量，，
是的充要条件．
故选：．
，均为单位向量，利用数量积运算性质化简：，即可得出结论．
本题主要考查了平面向量的数量积运算，考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意，函数的定义域为，即，
则函数满足，
解得且，
所以函数的定义域是．
故选：．
根据函数的定义域列出使函数有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了抽象函数的定义域应用问题，也考查了定义法与转化思想，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：选项：四边形是平行四边形，与相交，故A错；
选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错；
选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错；
利用排除法可得选项B正确．
故选：．
根据异面直线的定义判断即可．
本题考查棱柱的结构以及异面直线的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”，
考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种．
故选：．
将各年级的学生进行捆绑，然后考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，结合分步乘法计数原理可得结果．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，

设球的半径为，则，
，

，
，
故选：．
根据三角函数可得，利用，求解即可．
本题考查解三角形问题，数形结合思想，化归转化思想，方程思想，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，对，，有，
可令，则，
再令，则，
解得，
所以，
则．
故选：．
由赋值法可令，求得，再令，求得的解析式，运用数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
本题考查抽象函数的性质和数列的裂项相消求和，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，走势图存在上下波动的情况，故关注度并非不断减弱，故A错误；
对于，走势图变化趋势并没有呈现出周期性，故B错误；
对于，走势图中，年月份的波动程度超过年月份的波动程度，故月份的方差大于月份的方差，故C错误；
对于，走势图中，年月份的数值明显高于年月份的数值，故年月份的平均值大于年月份的平均值，故D正确．
故选：．
根据走势图依次判断各个选项即可．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与圆的关系，属于基础题．
求出点到直线的距离判断结合圆的半径判断，；当，与圆相切时最大，求出此时，判断；结合及选项内容判断．

【解答】

解：对于，由题意得圆心到直线的距离为，故A错误；
对于，圆上的点到直线最小值为，故B正确；
对于，当最大时，，与圆相切，则，
所以最大为，故C错误
对于，由得当最大时，，与圆相切，，，
所以为等边三角形，故D正确．
故选BD．

11.【答案】 

【解析】解：由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得，，，
面，，故A正确；
面，与面所成角为，
与平面所成的角的余弦值为，故B错误；
对于选项可以考虑特殊位置法，由面得到面面，
点在平面内的射影在直线上，
不妨设点在平面内的射影为，过点作，
连接，由题意得平面，

则面，为平面与平面所成二面角的平面角，
设，，，，，
不等于，故C错误；
设平面与平面的交线为，
又，面，面，
面，由线面平行的性质定理得，故D正确．
故选：．
证明面可判断；根据与平面所成角为判断；利用特殊位置判断；先证明面，由线面平行的性质定理可判断．
本题考查命题真假的判断，考查线面垂直、线面平行的判定与性质、线面角、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的新定义的理解和运用，主要是周期点的定义，考查运算能力和推理能力，属于较难题．
由周期点的定义，可得直线与存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．

【解答】

解：对于，令，
若存在正整数使得，且当时，，
则称是的一个周期为的周期点．
对于，，当时，，
设，，当
所以在单调递减，单调递增，所以，
只有唯一一个零点，即直线与只有一个交点，故A正确；
对于，，时，，
所以存在周期为的周期点，故B正确；
对于，若，则当时，恒成立；
当时，，，，
显然在时成立，所以存在周期为的周期点，故错误；
对于，，所以，即，
所以不是周期点，故D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：是纯虚数，
则，，
解得．
故答案为：．
由纯虚数的定义可得，，解出即可得结论．
本题考查了纯虚数的定义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意可得抛物线的焦点坐标为，
抛物线的标准方程为，可得其焦点坐标为，
易知，绕原点顺时针旋转之后得到，
可得，
解得．
故答案为：．
根据抛物线旋转规律可得，其焦点坐标从轴负半轴旋转到轴正半轴，即可得．
本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，，因为，
所以由基本不等式得，，
所以，当且仅当，即时等号成立，
则，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
由递推关系结合基本不等式的性质，得，此时时等号成立，所以，再由条件，求得首项的最小值．
本题主要考查了等比数列的通项公式，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
 

16.【答案】  

【解析】解：设外接圆半径为，则，
由正弦定理，可知，
即，
又由题意可知，，
所以，所以；
设，，，则，
易知，
由题意可得，所以，
同理可得，
所以．
故答案为：；．
设外接圆半径为，则，由正弦定理得到，即可求；设，，，则，根据正弦定理和余弦定理，得到．
本题考查了三角形中的几何计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，它们同时从点出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为单位：弧度秒，
经过秒后其中，
则．
因为，
所以，
所以，
所以．
即．
依题意可知
由，得，
故函数在上的单调递减区间为． 

【解析】根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解；
根据已知条件，结合余弦函数的单调性，即可求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
 

18.【答案】证明：如图，连接，交于点，连接，

由，，，
可得≌，所以，
又，所以≌，
所以，即为中点，
在等腰中，可得，
在等腰中，，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以．
解：由可得，，
又，
所以，
由于为正三棱锥，点在底面的垂足一定在上，设垂足为，
根据正三棱锥的性质可得，
如图，过点作的平行线，以的平行线所在直线为轴，以，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系．

可得，
又，
或
设平面的法向量，可得
不妨令，可得，
所以，
故所以点到平面的距离为． 

【解析】连接，交于点，连接，结合题意和三角形全等得到，利用线面垂直的判定得到平面，再利用线面垂直的性质即可得证；
结合的结论，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面的法向量和所在直线的方向向量，利用空间向量的方法即可求解．
本题主要考查了线线垂直与线面垂直关系的转化，还考查了点到面的距离求解，属于中档题．
 

19.【答案】解：是首项为的等差数列，公差，是首项为的等比数列，，，
，，
解得，．
，．
数列的第项，满足．
则，化为，
则的前项和．
数列的第项，满足．
则，
，；，；，；，；，，．
则的前项和． 

【解析】由是首项为的等差数列，公差，是首项为的等比数列，，，可得，，解得，，即可得出，．
数列的第项，满足由，化为，可得的前项和，代入利用求和公式即可得出结论．
数列的第项，满足，化为，同理可得的前项和，代入利用求和公式即可得出结论．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设，过且平行的直线方程为，
由得交点的横坐标为，
所以，
又因为点到直线的距离为，
所以四边形的面积为，
即或，
故动点的轨迹方程为或．
证明：由题知的方程为．
设，，，当直线的斜率为时，，
若，，由，
即，
可得，所以；
若，，由，
知，所以；
当直线的斜率不为时，设直线的方程为显然，
则，即，
所以，，
解得，，，
由，
因为直线与曲线有两个交点，则在且判别式时，
有，，
所以，所以为定值． 

【解析】设，根据直线相交求出点的横坐标，再求出，点到直线的距离表示出四边形面积，化简方程可得解；
验证特殊情况可知，再由一般情况设直线的方程为，由题意求出．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题．
 

21.【答案】解：由题意得，记第位居民不包含张医生接种，，，四种疫苗的概率分别为，，，．
则，，，，
所以，
，
同理，，，
故第位居民接种疫苗的概率最大．
因为，
所以，
故数列是公比为的等比数列，
又，所以，
即，
从而，
同理，
，
所以，
第位居民接种，，，疫苗概率应该相差无几，
第位居民接种，，，疫苗概率应该相差将会更小，所以张医生的话合理． 

【解析】分类讨论，根据全概率公式计算；
根据的逻辑，讨论，，，的通项公式，运用等比数列求出第为居民使用，，，疫苗的概率即可．
本题主要考查全概率公式的应用，考查等比数列的应用，是中档题．
 

22.【答案】解：由题意，当时，设，
则，，
令，得舍负在上单调递减，在上单调递增，．
根据题意的取值范围为．
设函数在点处与函数在点处有相同的切线，
则，，
，代入，
得问题转化为：关于的方程有解，
设，则函数有零点，
，当时，，，
问题转化为：的最小值小于或等于．，
设，
则当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
由知，
故，
设，
则，
故在上单调递增，
，当时，，的最小值等价于．
又函数在上单调递增，． 

【解析】设，用导数法解即可；
设函数在点处与函数在点处有相同的切线，由，可得，化简得到，然后将问题转化为关于的方程有解求解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数求曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．