2024年新高考数学一轮复习 第六章 第二节 等差数列

课时跟踪检测（四十） 等差数列

一、全员必做题

1．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a5＝0，S10＝15，则a10＝(　 )

A．30      B．－15      C．－30        D．15

解析：选D　由题意得，a5＝a1＋4d，S10＝10a1＋45d，所以解得即a10＝a1＋9d＝15.

2．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则2S7＝(　 )

A．2        B．7      C．14  D．28

解析：选D　依题意，a6＋a3＝a5＋a4＝2＋a5，∴a4＝2，∴2S7＝2××7＝14×a4＝28.

3．把120个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和是较小的两份之和的7倍，则最小一份的面包个数为(　 )

A.         B．2         C．6  D．11

解析：选B　设最小的一份为a1个，公差为d，d>0，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝7(a1＋a2)，由题意，得解得则最小一份的面包个数为2.

4．(2023·石家庄模拟)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a5＝－4，S5＝－40，则(　 )

A．a10＝6

B．S10＝－30

C．当且仅当n＝6时，Sn取最小值

D．a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0

解析：选AB　设数列{an}的公差为d，由a5＝－4，S5＝－40，得 解得a1＝－12，d＝2，所以an＝2n－14，Sn＝＝n2－13n，则a10＝6，S10＝－30，A、B正确；令an＝2n－14≤0，得n≤7，且a7＝0，则n＝6或n＝7时，Sn取最小值，C不正确；因为a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝5a7＝0，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝6≠0，D不正确．

5．(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　 )

A．0.75      B．0.8     C．0.85      D．0.9

解析：选D　设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，

依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，

且＝0.725，

所以＝0.725，故k3＝0.9.

6．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2 022>0，a2 021＋a2 022<0，则(　 )

A．数列{an}是递增数列

B．数列{Sn}是递增数列

C．Sn的最小值是S2 021

D．使得Sn取得最小正数的n＝4 042

解析：选AC　因为a2 022>0，a2 021＋a2 022<0，所以a2 021<0，可得公差d>0，Sn的最小值是S2 021，故A、C正确；当1≤n≤2 021时，Sn单调递减，当n≥2 022时，Sn单调递增，B项错误；因为a2 021＋a2 022<0，所以S4 042＝＝<0，同理S4 043＝＝4 043a2 022>0，所以使Sn取得最小正数的n＝4 043，D项错误．

7．设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a4＝14，若am＝41，则m＝________.

解析：因为a2＋a4＝2a3＝14，所以a3＝7，又a1＝3，所以公差d＝2，从而am＝3＋2(m－1)＝41，解得m＝20.

答案：20

8．(2023·成都模拟)已知等差数列{an}满足a4＝a1＋a2，且a1≠0，则＝________.

解析：因为a4＝a1＋a2，所以a1＋3d＝a1＋a1＋d，即a1＝2d.因为a1≠0，所以d≠0，所以＝＝＝1.

答案：1

9．(2023·昭通高三期末)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，a1＝2，则{bn}的公差为________．

解析：∵＝，∴Sn＝kn(3n－2)，Tn＝kn(2n＋1)，k≠0，又∵2＝a1＝S1＝k×1×(3×1－2)，∴k＝2，∴Tn＝2n(2n＋1)＝4n2＋2n，∴T1＝4＋2＝6＝b1，T2＝16＋4＝20＝b1＋b2＝6＋b2，所以b2＝14，b2－b1＝14－6＝8，即{bn}的公差为8.

答案：8

10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则公差d＝______，m＝______.

解析：由题意知，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，

则am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，

所以等差数列{an}的公差d＝am＋1－am＝1；

因为Sm＝＝0，所以a1＝－am＝－2，

则am＝－2＋(m－1)×1＝2，解得m＝5.

答案：1　5

11．已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.

(1)求d及Sn;

(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，

将a1＝1代入上式，解得d＝2或d＝－5.

因为d>0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．

(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.

由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，

故解得

12．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1.

(1)证明：{an}是等差数列；

(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．

解：(1)证明：由已知条件，得Sn＝nan－＋.

当n＝1时，a1＝S1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－＋－，

∴(1－n)an＝－n＋1－(n－1)an－1.

等式两边同时除以1－n，得an＝1＋an－1，

∴an－an－1＝1.

∴数列{an}是公差为1的等差数列．

(2)由(1)知数列{an}的公差为1.

由a＝a4a9，得(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，

解得a1＝－12.

所以Sn＝－12n＋＝＝2－，

所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，最小值为－78.

二、重点选做题

1．(2023·沈阳模拟)(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　 )

A．若Sn＝(n＋1)2，则{an}是等差数列

B．若Sn＝2n＋1－2，则{an}是等比数列

C．若{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列

D．若{an}是等差数列，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1

解析：选BD　对选项A，a1＝S1＝4，a2＝S2－S1＝9－4＝5，a3＝S3－S2＝16－9＝7,2a2≠a1＋a3，不满足{an}是等差数列，故A错误；对选项B，当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n，当n＝1时，a1＝S1＝2，所以an＝2n，即{an}是等比数列，故B正确；对选项C，当an＝(－1)n时，{an}是等比数列，S2＝－1＋1＝0，S4＝－1＋1－1＋1＝0，S6＝－1＋1－1＋1－1＋1＝0，不满足S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，故C错误；对选项D，S2n＋1＝＝＝(2n＋1)an＋1，故D正确．故选B、D.

2．记数列{an}的前n项和为Sn，S5＝，数列{2nSn}是公差为7的等差数列，则{an}的最小项为(　 )

A．－2  B．－ 

C．－1  D.

解析：选C　依题意，25S5＝32×＝36，因为数列{2nSn}是公差为7的等差数列，所以2nSn＝25S5＋7(n－5)＝7n＋1，因此Sn＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，而a1＝S1＝4不满足上式，当n≥2时，an＋1－an＝－＝，即当n≥3时，an＋1>an，于是当n≥3时，数列{an}是递增的，而a2＝－，a3＝－1，则(an)min＝a3＝－1，所以{an}的最小项为－1.

3．如果有穷数列a1，a2，…，an(n∈N*)满足ai＝an－i＋1(i＝1,2,3，…，n)，那么称该数列为“对称数列”．设{an}是项数为2k－1(k∈N*，k≥2)的“对称数列”，其中ak，ak＋1，…，a2k－1是首项为50，公差为－4的等差数列，记{an}的各项和为S2k－1，则S2k－1的最大值为(　 )

A．622       B．624      C．626  D．628

解析：选C　由题意，ak，ak＋1，…，a2k－1是首项为50，公差为－4的等差数列，可得ak＋ak＋1＋…＋a2k－1＝50k＋×(－4)＝－2k2＋52k，所以S2k－1＝a1＋…＋ak＋ak＋1＋…＋a2k－1＝2(ak＋ak＋1＋…＋a2k－1)－ak＝－4k2＋104k－50＝－4(k－13)2＋626，当k＝13时，S2k－1取到最大值，且最大值为626.故选C.

4．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．

解：(1)设公差为d，因为{an}为等差数列，所以a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个实数根，又公差d＞0，所以a2＜a4，所以a2＝5，a4＝13.所以所以所以an＝4n－3.

(2)存在．由(1)知，Sn＝n＋×4＝2n2－n，假设存在常数k，使数列{}为等差数列．由＋＝2，得＋＝2，解得k＝1.所以＝＝n，当n≥2时，n－(n－1)＝，为常数，所以数列{}为等差数列．故存在常数k＝1，使得数列{}为等差数列．