人教版九年级数学上册25.2用列举法求概率参考教案1

25.2   用列举法求概率

教学设计思路

首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安排运用这种方法求概率的例题。在例题中，涉及列表及画树形图。

教学目标

知识与技能

能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；

过程与方法

用列举法求事件的概率，探究如何画出适当的表格，列举出事件的所有等可能结果，如何用树形图列举事件的所有等可能的结果。探究什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”方便。

情感态度价值观

合作探究如何画出适当的表格，如何用树形图列举事件的所有等可能的结果，养成合作意识，形成缜密的思维习惯。

教学重点和难点

重点是能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；

难点是计算较复杂的运用列举法计算事件发生的概率的题型。

教学方法

启发引导、合作探究

课时安排

3课时

教学媒体

电脑、flash课件

教学过程设计

第一课时

（一）引入

前面我们用随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数来作为这个事件发生的概率，这种方式具有一般性．然而，对于某些特殊类型的试验，实际上不需要做大量重复的试验，而通过列举法进行分析就能得到随机事件的概率．

（二）列举法求概率

请看下面两个试验．

1．从分别标有l，2，3，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根，抽出的签上的号码有5种可能，即

1，2，3，4，5．

由于纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以我们可以认为：每个号被抽到的可能性相等，都是．

2．掷一个骰子，向上的一面的点数有6种可能，即

l，2，3，4，5，6．

由于骰子的构造相同、质地均匀，又是随机掷出的，所以我们可以断言：每种结果的可能性相等，都是。（播放课件：掷骰子，多实验几次，观察用频率逐渐稳定到的常数来得出的概率是不是也是）

小组讨论，这种计算概率方法的合理性。以上两个试验有哪些共同的特点？满足什么特点的实验才能运用以上方法计算概率？怎样具体的得出具有上述特点的事件的概率？

以上两个试验有两个共同的特点：

1．一次试验中，可能出现的结果有限多个；

2．一次试验中，各种结果发生的可能性相等。

对于具有上述特点的试验，我们可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比分析出事件的概率．例如，在上面的抽签试验中，“抽到l号”的可能性是，即它在5种可能的结果中占1种．于是这个事件的概率

P（抽到1号）＝。

“抽到偶数号”这个事件包括抽到2，4这两种可能结果，在全部5种可能的结果中所占的比为，于是这个事件的概率

P（抽到偶数号）＝。

播放课件：转盘，思考指针落在红、黄、绿、白区域的概率各是多少？

（三）归纳

（四）例题

例l掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：

（1）点数为2；

（2）点数为奇数；

（3）点数大于2且小于5．

解：掷一个骰子时，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相等．

（1）P（点数为2）＝；

（2）点数为奇数有3种可能，即点数为l，3，5，

P（点数为奇数）＝＝；

（3）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，

P（点数大于2且小于5）＝＝．

例2  图25．2—1是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．求下列事件的概率：

（1）指针指向红色；

（2）指针指向红色或黄色；

（3）指针不指向红色．

分析  问题中可能出现的结果有7个，即指针可能指向7个扇形中的任何一个．由于这是7个相同的扇形，转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等．因此可以通过列举法求出概率．

解：按颜色把7个扇形分别记为：红1，红2，红3，绿1，绿2，黄1，黄2，所有可能结果的总数为7．

（1）指针指向红色（记为事件A）的结果有3个，

即红1，红2，红3，因此

P（A）＝，

（2）指针指向红色或黄色（记为事件B）的结果有5个，即红1，红2，红3黄1，黄2，因此

（3）指针不指向红色（记为事件C）的结果有4个，即绿1，绿2，黄1，黄2，因此

例3图25．2—2是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有9×9个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏l颗地雷．

小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相临的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域中有3颗地雷．那么第二步应该踩在A区域还是B区域?

分析：第二步应该怎样走取决于踩在哪部分遇到地雷的概率小，只要分别计算在两区域的任一方格内踩中地雷的概率并加以比较就可以了．

解：（1）A区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格各藏有1颗地雷．因此，踩A区域的任一方格，遇到地雷的概率是．

（2）B区域中共有

9×9-9=72

个小方格，其中有

10-3=7

个方格内各藏有1颗地雷．因此，踩B区域的任一方格，遇到地雷的概率是。

由于，所以踩A区域遇到地雷的可能性大于踩B区域遇到地雷的可能性，因而第二步应该踩B区域。

小组讨论以上3个例题的解法，首先分析透题意，如果在一次试验中，有n种可能的结果，分析出n是多少？事件A包含其中的m种结果，m是多少？最后利用式子P（A）＝。得出事件A发生的概率。

（五）练习

1．掷一枚质地均匀的硬币的试验有几种可能的结果?它们的可能性相等吗?由此怎样确定“正面向上”的概率．

2．回顾例3，如果小王在游戏开始时踩中的第一个格上出现了标号1，则下一步踩在哪一区域比较安全?

（六）小结

引导学生总结出本节的主要知识点。

（七）板书设计

第二课时

（一）引入

在上一课时，我们采用列举的方法计算出了一些简单事件的概率。例1～3都是通过列举的方法得到在一次实验中所有可能的结果数n，以及所求事件包含的结果数m，即而计算出所求事件的概率。

本课时学习例4，它与前三个例题有所不同，这个事件在实验时包含了两步，这就要求把两步可能的结果都列举出来，再利用古典定义来计算概率。

（二）例题

例4掷两枚硬币，求下列事件的概率：

（1）两枚硬币全部正面朝上；

（2）两枚硬币全部反面朝上；

（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上．

解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列举出来，它们是：

正正，正反，反正，反反．

所有的结果共有4个，并且这4个结果出现的可能性相等．

（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为事件A）的结果只有一个，即“正正”，所以

（2）满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件B）的结果也只有1个，即“反反”，所以

（3）满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件C）的结果共有2个，即“反正”“正反”，所以

要注意把掷两枚硬币所能产生的结果全部列举出来，“正反，反正”是两种不同的情况，如果列举的结果为：正正，正反，反反．可就错了。

（三）练习

袋子中装有红、绿各一个小球，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个．求下列事件的概率：

（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球．

（2）两次都摸到相同颜色的小球；

（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球．

（四）小结

引导学生总结本节的收获。

（五）板书设计

第三课时

（一）引入

上课时学习了例4，这个事件在实验时包含了两步，这就要求把两步可能的结果都列举出来，再利用古典定义来计算概率。本课时学习例5、例6。它们与例4相比更复杂了一些，下面我们来具体学习。

（二）例题

例5同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

（1）两个骰子的点数相同；

（2）两个骰子点数的和是9；

（3）至少有一个骰子的点数为2．

分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．我们不妨把两个骰子分别记为第1个和第2个，这样就可以用下面的方形表格列举出所有可能出现的结果．

解：由表25—4可以看出，同时投掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等．

（1）满足两个骰子点数相同（记为事件A）的结果有6个（表中的红色部分），即（1，1），（2，2），

（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以

（2）满足两个骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4个（表中的阴影部分），即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以

（3）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个（表中蓝色方框部分），所以

例6  甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I．从3个口袋中各随机地取出1个小球．

（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？

（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少?

分析：  当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

解：根据题意，我们可以画出如下的“树形图”：

从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有12个，即：

这些结果出现的可能性相等．

（1）只有一个元音字母的结果（红色）有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以

有两个元音字母的结果（绿色）有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以

全部为元音字母的结果（蓝色）只有1个，即AEI，所以

（2）全是辅音字母的结果共有2个：BCH，BDH，所以

对于复杂一点的题型要涉及用到“列表法”或者“树形图法”，具体的情况具体分析，要选取最合适的方法，使列出的结果一目了然，不重不漏。

（三）练习

1．在6张卡片上分别写有1～6的整数．随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张．那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少?

2．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同．三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：

（1）三辆车全部继续直行；

（2）两辆车向右转，一辆车向左转；

（3）至少有两辆车向左转．

（四）小结

引导学生总结本节的收获。

（五）板书设计