2022年上海市嘉定区高考数学二模试卷

这是一份2022年上海市嘉定区高考数学二模试卷，共19页。

2022年上海市嘉定区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）已知集合A＝（1，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝　 　．
2．（4分）不等式的解为 　 　．
3．（4分）若等差数列{an}满足a3+a5＝16，则a4＝　 　．
4．（4分）已知函数f（x）＝1+log2x，它的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（3）＝　 　．
5．（4分）在（2x+1）6展开式中，x2的系数为 　 　（结果用数值表示）．
6．（4分）若实数x、y满足，则z＝2x+y的最大值为 　 　．
7．（5分）《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为 　 　．

8．（5分）若数列{an}是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列{an}各项的和为a，则实数a的值为 　 　．
9．（5分）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为6的概率为 　 　（结果用最简分数表示）．
10．（5分）已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，．若函数y＝f（x）在[3，+∞）上的最小值为3，则实数a的值为 　 　．
11．（5分）已知椭圆（θ为参数，a＞0，b＞0）的焦点分别F1（﹣2，0）、F2（2，0），点A为椭圆Γ的上顶点，直线AF2与椭圆Γ的另一个交点为B．若|BF1|＝3|BF2|，则椭圆Γ的普通方程为 　 　．
12．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，恒成立，且y＝f（x）在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围是 　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）已知复数z＝（2sinα﹣1）+i（i为虚数单位），则“z为纯虚数”是“”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．（5分）若a＞0、b＞0，且，则ab的最小值为（　　）
A．16 B．4 C． D．
15．（5分）在△ABC中，AB＝AC＝3，．若，则＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段AB、BD1上的动点，且直线EF与AA1所成的角为，则下列直线中与EF所成的角必为的是（　　）
A．CD B．BD C．BC1 D．DC1
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）如图，圆锥的底面半径OA＝2，高PO＝6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．求：
（1）该圆锥的表面积；
（2）直线CD与平面PAB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

18．（14分）设常数a∈R，函数．
（1）若函数y＝f（x）是偶函数，求实数a的值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞3，求实数a的取值范围．
19．（14分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC＝，∠ACD＝，路宽AD＝24米．设∠ACB＝θ（）．
（1）当θ＝时，求△ABC的面积；
（2）求灯杆BC与灯柱AB长度之和L（米）关于θ的函数解析式，并求当θ为何值时，L取得最小值．

20．（16分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点A（﹣9，0）且不垂直于x轴的直线与双曲线C交于M、N两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M是线段AN的中点，求点N的坐标；
（3）设P、Q是直线x＝﹣9上关于x轴对称的两点，求证：直线PM与QN的交点必在直线上．
21．（18分）若项数为k（k∈N*且k≥3）的有穷数列{an}满足：|a1﹣a2|≤|a2﹣a3|≤⋅⋅⋅≤|ak﹣1﹣ak|，则称数列{an}具有“性质M”．
（1）判断下列数列是否具有“性质M”，并说明理由；
①1，2，4，3；②2，4，8，16．
（2）设bm＝|am﹣am+1|（m＝1，2，⋅⋅⋅，k﹣1），若数列{an}具有“性质M”，且各项互不相同．求证：“数列{an}为等差数列”的充要条件是“数列{bm}为常数列”；
（3）已知数列{an}具有“性质M”．若存在数列{an}，使得数列{an}是连续k个正整数1，2，⋅⋅⋅，k的一个排列，且|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+⋅⋅⋅+|ak﹣1﹣ak|＝k+2，求k的所有可能的值．

2022年上海市嘉定区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）已知集合A＝（1，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝　（2，3）　．
【分析】利用交集定义、不等式性质直接求解．
【解答】解：∵集合A＝（1，3），B＝（2，+∞），
∴A∩B＝（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）不等式的解为 　（﹣2，1）　．
【分析】不等式等价于（x﹣1）（x+2）＜0，解之即可．
【解答】解：不等式等价于（x﹣1）（x+2）＜0，
所以﹣2＜x＜1，
所以不等式的解集为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查分式不等式的解法，将其转化为一元二次不等式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（4分）若等差数列{an}满足a3+a5＝16，则a4＝　8　．
【分析】由{an}是等差数列可得a3+a5＝2a4，从而即可求出a4的值．
【解答】解：∵{an}是等差数列，
∴a3+a5＝2a4＝16，
∴a4＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生基本的运算能力，属于基础题．
4．（4分）已知函数f（x）＝1+log2x，它的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（3）＝　4　．
【分析】令1+log2x＝3，解得x＝4，再根据反函数的定义即可求解．
【解答】解：由题意令1+log2x＝3，解得x＝4，
根据反函数的定义可得f﹣1（3）＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反函数的定义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
5．（4分）在（2x+1）6展开式中，x2的系数为 　60　（结果用数值表示）．
【分析】根据二项式定理求出展开式中含x2的项，由此即可求解．
【解答】解：展开式中含x2的项为C＝60x2，
所以x2的系数为60，
故答案为：60．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
6．（4分）若实数x、y满足，则z＝2x+y的最大值为 　6　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（2，2），
由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，
由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2×2+2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
7．（5分）《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为 　2　．

【分析】根据题意求出直三棱柱的底面三角形面积，再求三棱柱的体积即可．
【解答】解：根据题意知，直三棱柱的底面三角形是底面边长为2，高为1的直角三角形，底面面积为S＝×2×1＝1，
且直三棱柱的高为2，所以该“堑堵”的体积为V＝Sh＝1×2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了利用三视图求简单几何体的体积应用问题，是基础题．
8．（5分）若数列{an}是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列{an}各项的和为a，则实数a的值为 　1　．
【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：由题意得＝＝a，
解得a＝1或a＝，
当a＝时，a﹣＝0显然不符合题意，
故a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了等比数列求和公式的应用，属于基础题．
9．（5分）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为6的概率为 　　（结果用最简分数表示）．
【分析】首先利用组合求出基本事件总数以及这5个不同的数的中位数为6的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式求解即可．
【解答】解：根据题意，从10个数中任取5个数，则基本事件总数为＝252，
而这5个数的中位数是6的基本事件数为＝45，
故这5个不同的数的中位数为6的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
10．（5分）已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，．若函数y＝f（x）在[3，+∞）上的最小值为3，则实数a的值为 　3　．
【分析】由已知结合奇函数定义先求出当x＞0时的函数解析式，然后结合基本函数的单调性对a进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求．
【解答】解：因为y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，．
当x＞0时，﹣x＜0，
则f（﹣x＝﹣x﹣+1＝﹣f（x），
所以f（x）＝x+﹣1，
因为函数y＝f（x）在[3，+∞）上的最小值为3，
当a≤0时，f（x）在[3，+∞）上单调递增，当x＝3时，函数取得最小值f（3）＝2+＝3，
解得a＝3（舍），
当0＜a≤9时，函数在[3，+∞）上单调递增，当x＝3时，函数取得最小值f（3）＝2+＝3，
解得a＝3，
当a＞9时，根据对勾函数的性质可知，当x＝时，函数取得最小值2+1＝3，
解得a＝1（舍），
综上，a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了函数解析式的求解，还考查了函数的单调性在函数最值求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
11．（5分）已知椭圆（θ为参数，a＞0，b＞0）的焦点分别F1（﹣2，0）、F2（2，0），点A为椭圆Γ的上顶点，直线AF2与椭圆Γ的另一个交点为B．若|BF1|＝3|BF2|，则椭圆Γ的普通方程为 　+＝1　．
【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标可得c＝2，即可得a2＝b2+4，结合椭圆的性质可得|BF1|、|BF2|的长，分析可得B的坐标，进而可得（3+2）2+＝a2，两式联立解可得a、b的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆（θ为参数，a＞0，b＞0），其普通方程为+＝1，
若其焦点分别F1（﹣2，0）、F2（2，0），则c＝2，则有a2＝b2+4，①
点A为椭圆Γ的上顶点，则A的坐标为（0，b），
又由|BF1|＝3|BF2|，而|BF1|+|BF2|＝2a，则|BF1|＝，|BF2|＝，
又由|AF2|＝a，且A、B、F2三点共线，则B的坐标为（3，），
又由|BF1|＝，则有（3+2）2+＝a2，②
联立①②，解可得：a2＝12，b2＝8；
故椭圆的方程为+＝1；
故答案为：+＝1．

【点评】本题考查椭圆的性质，涉及椭圆的参数方程，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，恒成立，且y＝f（x）在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围是 　（6，10）　．
【分析】由题意，利用正弦函数的周期性、零点和最值，分类讨论，求得ω的范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π， 恒成立，
∴f（）＝1，∴+φ＝2kπ+，k∈Z，
∴φ＝2kπ+﹣，k∈Z．
结合φ的范围，可得k＝0或k＝1．
①当k＝0时，φ＝﹣，
由ω＞0，且φ∈（0，π），可得ω∈（0，2 ）．
∵y＝f（x）在区间上恰有3个零点，ωx+φ∈（φ，+φ），
∴3π＜ωπ+φ≤4π，即3π＜ωπ+﹣≤4π，
即 ＜≤，即20＜ω≤28．
综合可得，ω∈∅．
②当k＝1时，φ＝2π+﹣＝﹣，
由ω＞0，且φ∈（0，π），可得ω∈（6，10 ）．
∵y＝f（x）在区间上恰有3个零点，ωx+φ∈（φ，ωπ+φ），
∴3π＜ωπ+φ≤4π，即3π＜ωπ+﹣≤4π，
即 4＜ω≤12．
综合可得，此时，φ∈（6，10）．
综上，结合①②可得，φ∈（6，10），
故答案为：（6，10）．
【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性、零点和最值，属中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）已知复数z＝（2sinα﹣1）+i（i为虚数单位），则“z为纯虚数”是“”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】由复数z＝（2sinα﹣1）+i（i为虚数单位）是纯虚数求得α值，再结合充分必要条件的判定得答案．
【解答】解：当α＝时，z＝（2sinα﹣1）+i＝（2×﹣1）+i＝i为纯虚数，
反之，若z为纯虚数，则2sinα﹣1，解得α＝+2kπ或α＝+2kπ，k∈Z．
∴“z为纯虚数”是“α＝”的必要非充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查充分必要条件的判断，是基础题．
14．（5分）若a＞0、b＞0，且，则ab的最小值为（　　）
A．16 B．4 C． D．
【分析】根据基本不等式即可得出1≥4，然后即可求出ab的最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，
∴1＝+≥4，当且仅当 ＝，即b＝2，a＝8时取等号，
∴解得ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，
∴ab的最小值为16．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
15．（5分）在△ABC中，AB＝AC＝3，．若，则＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【分析】用向量、表示出向量和，再利用求出•的值．
【解答】解：△ABC中，AB＝AC＝3，，
所以＝，
所以＝+＝+＝+（﹣）＝+，
因为，
所以（+）•（﹣）＝﹣•﹣＝×32﹣•﹣×32＝4，
解得＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题．
16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段AB、BD1上的动点，且直线EF与AA1所成的角为，则下列直线中与EF所成的角必为的是（　　）
A．CD B．BD C．BC1 D．DC1
【分析】连接A1D交AD1于N，过A作AH∥EF交BD1于H，过N作NM⊥AH于M，tan∠A1AH＝＝，计算可得tan∠MAN＝＝＝，可知直线BC1与EF所成的角必为．
【解答】解：连接A1D交AD1于N，过A作AH∥EF交BD1于H，过N作NM⊥AH于M，
∵E、F分别是线段AB、BD1上的动点，∴EF在平面ABD1内，
易证A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥AH，又A1D∩A1M＝A1，所以AH⊥平面A1NM，
∴AH⊥A1M，
则∠A1AH为直线EF与AA1所成的角，又直线EF与AA1所成的角为，
∴tan∠A1AH＝＝，设正方体的棱长为1，则可得AM＝，A1M＝，

又A1N＝A1D＝，∴NM＝＝，
在Rt△AMN中，tan∠MAN＝＝＝，
又AD1∥BC1，故直线BC1与EF所成的角必为，
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成的角，属中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）如图，圆锥的底面半径OA＝2，高PO＝6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．求：
（1）该圆锥的表面积；
（2）直线CD与平面PAB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

【分析】（1）求出圆锥的母线长，由此能求出该圆锥的表面积．
（2）由题意OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CD与平面PAB所成角的大小．
【解答】解：（1）∵圆锥的底面半径OA＝2，高PO＝6，
∴圆锥的母线长PA＝＝＝2，
∴该圆锥的表面积为：
S＝＝（4+4）π．
（2）由题意OC，OB，OP两两垂直，
以O为坐标原点，以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

C（2，0，0），A（0，﹣2，0），P（0，0，6），D（0，﹣1，3），
＝（﹣2，﹣1，3），平面PAB的法向量为＝（1，0，0），
设直线CD与平面PAB所成角为θ，
则sinθ＝＝＝，
∴直线CD与平面PAB所成角的大小为arcsin．
【点评】本题考查圆锥结构特征、圆锥的表面积、线面角、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（14分）设常数a∈R，函数．
（1）若函数y＝f（x）是偶函数，求实数a的值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞3，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由已知结合偶函数的定义即可求解a：
（2）由已知不等式恒成立先进行分离参数，然后结合二次函数的性质及指数函数性质可求．
【解答】解：（1）因为函数为偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x），
即21﹣x+a•2x＝，
整理得a（4x﹣1）＝2（4x﹣1），
所以a＝2：
（2）对任意x∈[1，+∞），＞3，
整理得a＞﹣2•22x+3•2x，
因为x≥1，所以2x≥2，
根据二次函数的性质可知，当2x＝2时，﹣2•22x+3•2x取得最大值﹣2，
所以a＞﹣2，
所以a的取值范围为（﹣2，+∞）．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的定义及不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
19．（14分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC＝，∠ACD＝，路宽AD＝24米．设∠ACB＝θ（）．
（1）当θ＝时，求△ABC的面积；
（2）求灯杆BC与灯柱AB长度之和L（米）关于θ的函数解析式，并求当θ为何值时，L取得最小值．

【分析】（1）当θ＝时，∠BAC＝，∠CAD＝，所用△ABC为边长为24的等边三角形，进而求出△ABC的面积．
（2）在△ACD中，∠ACD＝，AD＝24，∠ADC＝﹣θ，由正弦定理求出AC，再在△ABC中由正弦定理可得AB＝32sinθcosθ，BC＝16﹣16cosθsinθ，进而求出L关于θ的函数解析式，再结合三角函数的性质即可求出L的最小值．
【解答】解：（1）当θ＝时，∠BAC＝＝，
∴∠CAD＝＝，
又∵∠ACD＝，AD＝24，
∴△ABC为边长为24的等边三角形，
∴△ABC的面积为＝144．
（2）在△ACD中，∠ACD＝，AD＝24，∠ADC＝2π﹣﹣﹣＝﹣θ，
由正弦定理得，，解得AC＝＝16cosθ，
在△ABC中，∠ABC＝，，∠BCA＝θ，AC＝16cosθ，
由正弦定理得，，
∴AB＝32sinθcosθ，BC＝16﹣16cosθsinθ，
∴L＝BC+AB＝16﹣16cosθsinθ+32sinθcosθ＝16+16cosθsinθ＝8（1+cos2θ）+8sin2θ＝16（+）+8＝16sin（2θ）+8（），
∵，∴2∈[，]，
∴当2＝，即时，L取得最小值16sin+8＝8．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了正弦定理的应用，以及三角函数的性质，属于中档题．
20．（16分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点A（﹣9，0）且不垂直于x轴的直线与双曲线C交于M、N两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M是线段AN的中点，求点N的坐标；
（3）设P、Q是直线x＝﹣9上关于x轴对称的两点，求证：直线PM与QN的交点必在直线上．
【分析】（1）由题意得，解得，即可求解；（2）设N（x0，y0），因为M是线段AN的中点，所以，代入双曲线方程即可求解；
（3）由题意可设直线MN的方程为y＝k（x+9），与双曲线方程联立后整理即可得证．
【解答】解：（1）由题意得，解得，
所以双曲线C的标准方程为；
（2）设N（x0，y0），因为M是线段AN的中点，所以，
则得，
解得x0＝4，y0＝±13，
所以所求点N的坐标为（4，13）或（4，﹣13）；
（3）证明：由题意可设直线MN的方程为y＝k（x+9），
联立方程组，消去y，并整理得
（13﹣k2）x2﹣18k2x﹣3（27k2+13）＝0（13﹣k2≠0），
设M（x1，y1），N（x2，y2），
由一元二次方程根与系数的关系，得，
又设P（﹣9，t），Q（﹣9，﹣t）（t≠0），则得直线PM的方程为，
直线QN的方程为，两个方程相减得
①，
因为，
把它代入①得，
所以，
因此直线PM与QN的交点在直线上．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
21．（18分）若项数为k（k∈N*且k≥3）的有穷数列{an}满足：|a1﹣a2|≤|a2﹣a3|≤⋅⋅⋅≤|ak﹣1﹣ak|，则称数列{an}具有“性质M”．
（1）判断下列数列是否具有“性质M”，并说明理由；
①1，2，4，3；②2，4，8，16．
（2）设bm＝|am﹣am+1|（m＝1，2，⋅⋅⋅，k﹣1），若数列{an}具有“性质M”，且各项互不相同．求证：“数列{an}为等差数列”的充要条件是“数列{bm}为常数列”；
（3）已知数列{an}具有“性质M”．若存在数列{an}，使得数列{an}是连续k个正整数1，2，⋅⋅⋅，k的一个排列，且|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+⋅⋅⋅+|ak﹣1﹣ak|＝k+2，求k的所有可能的值．
【分析】（1）按照题目给出的定义：数列{an}具有“性质M”直接判断；
（2）根据充要条件的概念直接证明；
（3）根据条件可知|a1﹣a2|，|a2﹣a3|，⋅⋅⋅|ak﹣1﹣ak|逐渐增大，且最小值为1，分情况可求之．
【解答】解：（1）∵|2﹣4|＞|4﹣3|，∴该数列不具有“性质M”；
∵|2﹣4|＜|4﹣8|＜|8﹣16|，∴该数列具有“性质M”；
（2）证明：充分性，若数列{bm}是常数列，则，即|am﹣am+1|＝|am+1﹣am+2|，∴am﹣am+1＝am+1﹣am+2或am﹣am+1＝﹣（am+1﹣am+2）
又数列{an}且各项互不相同，∴am﹣am+1＝am+1﹣am+2，∴数列{an}为等差数列；
必要性，若数列{an}为等差数列，则|am﹣am+1|＝|d|，即bm＝|d|，∴数列{bm}为常数列；
（3）∵数列{an}是连续k个正整数1，2，⋅⋅⋅，k的一个排列，∴当k＝3时，|am﹣am+1|≤2（k＝1，2），∴||a1﹣a2|+|a2﹣a3|≤4＜5，不符合题意；
当k＝4时，数列3，2，4，1满足，|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|a3﹣a4|＝6，符合题意；当k＝5时，数列2，3，4，5，1满足a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|a3﹣a4|+|a4﹣a5|＝7，符合题意；
当k≥6时，令bm＝|am﹣am+1|（m＝1，2，⋅⋅⋅，k﹣1），则1≤b1≤b2≤b3≤•••≤bk﹣1，且b1+b2+•••+bk﹣1＝k+2，∴bm的取值有以下三种可能
①，②，③bm＝，
当时，b1＝b2＝b3＝•••＝bk﹣2，由（2）知a1，a2，a3•••，ak，﹣1是公差为1或﹣1的等差数列，
若公差为1时，由bk﹣1＝4得ak＝ak﹣1+4或ak＝ak﹣1﹣4，∴ak＝ak﹣1+4＝a1+k+2＞k，不合题意，ak＝ak﹣1﹣4＝a1+k﹣6＝ak﹣5不合题意；
若公差为﹣1，同上述方法可得不符合题意；
当满足②，③bm＝时，同理可证不符合题意，
故：k＝4或5．
【点评】本题考查了给出新定义求解问题，数列的通项公式，充要条件等知识，综合性较强，是难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/4 19:10:04；用户：李超；邮箱：lichao317807156@126.com；学号：19716718